La ecuación de Bernoulli describe la conservación de la energía en un fluido en movimiento. Expresa que la energía total de un fluido (energía cinética más energía potencial más energía debido a la presión y volumen) se mantiene constante a lo largo de una corriente de fluido sin fricción. Existe una versión de la ecuación que utiliza el peso específico y otra que usa la densidad para simplificar los términos y expresar esta conservación de la energía como una igualdad entre la velocidad, altura y presión al inicio y

1. Ecuación de Bernoulli
I.Q. RAMÓN MONREAL VERA ROMERO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ”ORIENTE”
UNIVERSIDAD NACIONALAUTÓNOMA DE MÉXICO

2. 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝐸𝑐 + 𝐸 𝑝 + 𝐸 𝑃𝑉
Donde:
Ec = Energía Cinética
Ep = Energía Potencial
EPV = Energía debido al producto de
Presión-Volumen

3. La Energía mecánica está
establecida por Energía Cinética y
Potencial, cuando existe un proceso
donde no haya pérdida de energía,
por lo tanto la energía inicial será
igual a la energía final (Principio de
la conservación de la energía.

4. Conservación de la energía en
un fluido:
𝐸𝑖 = 𝐸𝑓
𝐸𝑐 𝑖
+ 𝐸 𝑝 𝑖
= 𝐸𝑐 𝑓
+ 𝐸 𝑝 𝑓

5. La energía cinética es calculada:
𝐸 𝐶 =
𝑚 𝑣2
2
La energía cinética es calculada:
𝐸 𝑝 = 𝑚𝑔ℎ

6. Conservación de la energía en
un fluido, entonces queda:
𝐸𝑖 = 𝐸𝑓
𝐸𝑐 𝑖
+ 𝐸 𝑝 𝑖
= 𝐸𝑐 𝑓
+ 𝐸 𝑝 𝑓
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2

7. Pero el cambio de energía de un
sistema se debe a las variables de
proceso:
∆𝐸 = 𝑄 + 𝑊
En el caso del estudio de fluidos
newtonianos no se toma en cuenta el
calor y solo se toma en cuenta el trabajo

8. Trabajo se define como:
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝐷
Pero en termodinámica los
sistemas cuantifica el cambio de
desplazamiento por el cambio de
volumen, veamos:

9. Trabajo Termodinámico:

10. 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
Por lo tanto:
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ∙ Á𝑟𝑒𝑎

11. Por otro lado el volumen es igual a:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = Á𝑟𝑒𝑎 ∙ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑉 = 𝐴 ∙ ℎ
Donde la altura es el desplazamiento
de la tapa:
𝑉 = 𝐴 ∙ 𝐷 ∴ D =
𝑉
𝐴

12. Calculando el trabajo:
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝐷
Susituyendo:
𝑊 = 𝑃 ∙ 𝐴 ∙
𝑉
𝐴
Se elimina el área (A)
𝑊 = 𝑃 ∙ 𝑉

13. Pero realmente se refiere al cambio
de volumen, no al volumen del gas:

14. Calculando el trabajo:
𝑊 = 𝑃 ∙ 𝑉
Por lo tanto, realmente se
representa por:
𝑊 = 𝑃 ∙ ∆𝑉
Donde ∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1

15. Pero la ecuación:
𝑊 = 𝑃 ∙ ∆𝑉
Es siempre y cuando, la presión es
constante, pero en los fluidos la presión
varia en función de las áreas de las
tuberías, en cambio los líquidos no
cambian los volúmenes, entonces:
𝑾 = ∆ 𝑷𝑽 = 𝑷 𝟐 𝑽 − 𝑷 𝟏 𝑽 = (𝑷 𝟐 − 𝑷 𝟏)V

16. Quedando finalmente la
conservación de la energía:
𝐸1 = 𝐸2 + 𝑊
La energía inicial es igual a la
energía final + el trabajo que
pudiera presentarse.

17. 𝐸1 = 𝐸2 + 𝑊
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2 + W
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2 + (𝑃2 𝑉 − 𝑃1 𝑉 )
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2 + 𝑃2 𝑉 − 𝑃1 𝑉
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2 + 𝑃2 𝑉

18. Versión 1 de la ecuación
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2 + 𝑃2 𝑉
El peso (W) es igual a masa por gravedad W=mg
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑊ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑊ℎ2 + 𝑃2 𝑉
Pero para quitar la masa de la energía cinética se
sustituye por:
𝑚 =
𝑊
𝑔

19. 𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑊ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑊ℎ2 + 𝑃2 𝑉
Sustituyendo la masas: 𝑚 =
𝑊
𝑔
𝑊
𝑔
𝑣1
2
2
+ 𝑊ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑊
𝑔
𝑣2
2
2
+ 𝑊ℎ2 + 𝑃2 𝑉
Simplificando:
𝑊 𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑊ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑊 𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑊ℎ2 + 𝑃2 𝑉

20. 𝑊 𝑣1
2
2𝑔
+ 𝑊ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑊 𝑣2
2
2𝑔
+ 𝑊ℎ2 + 𝑃2 𝑉
Se divide entre el volumen:
𝑊 𝑣1
2
𝑉 2𝑔
+
𝑊
𝑉
ℎ1 + 𝑃1
𝑉
𝑉
=
𝑊 𝑣2
2
𝑉 2𝑔
+
𝑊
𝑉
ℎ2 + 𝑃2
𝑉
𝑉
Se elimina
𝑉
𝑉
=1 quedando:
𝑊 𝑣1
2
𝑉 2𝑔
+
𝑊
𝑉
ℎ1 + 𝑃1 =
𝑊 𝑣2
2
𝑉 2𝑔
+
𝑊
𝑉
ℎ2 + 𝑃2

21. 𝑊 𝑣1
2
𝑉 2𝑔
+
𝑊
𝑉
ℎ1 + 𝑃1 =
𝑊 𝑣2
2
𝑉 2𝑔
+
𝑊
𝑉
ℎ2 + 𝑃2
Se sustituye
𝑊
𝑉
es el peso específico que se representa
por ϒ (gama)
ϒ𝑣1
2
2𝑔
+ ϒℎ1 + 𝑃1 =
ϒ𝑣2
2
2𝑔
+ ϒℎ2 + 𝑃2

22. ϒ𝑣1
2
2𝑔
+ ϒℎ1 + 𝑃1 =
ϒ𝑣2
2
2𝑔
+ ϒℎ2 + 𝑃2
Para simplificar se divide entre el peso específico:
ϒ𝑣1
2
ϒ2𝑔
+
ϒ
ϒ
ℎ1 +
𝑃1
ϒ
=
ϒ𝑣2
2
ϒ2𝑔
+
ϒ
ϒ
ℎ2 +
𝑃2
ϒ
Se simplifica
ϒ
ϒ
:
𝑣1
2
2𝑔
+ ℎ1 +
𝑃1
ϒ
=
𝑣2
2
2𝑔
+ ℎ2 +
𝑃2
ϒ

23. Quedando finalmente la ecuación de Bernoulli:
𝒗 𝟏
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒉 𝟏 +
𝑷 𝟏
ϒ
=
𝒗 𝟐
𝟐
𝟐𝒈
+ 𝒉 𝟐 +
𝑷 𝟐
ϒ

24. Versión 2 de la ecuación
𝑚 𝑣1
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ1 + 𝑃1 𝑉 =
𝑚 𝑣2
2
2
+ 𝑚𝑔ℎ2 + 𝑃2 𝑉
Para buscar simplificar se divide entre la masa:
𝑚 𝑣1
2
𝑚 2
+
𝑚
𝑚
𝑔ℎ1 +
𝑃1 𝑉
𝑚
=
𝑚 𝑣2
2
𝑚 2
+
𝑚
𝑚
𝑔ℎ2 +
𝑃2 𝑉
𝑚
Simplificando obtenemos:
𝑣1
2
2
+ 𝑔ℎ1 +
𝑃1 𝑉
𝑚
=
𝑣2
2
2
+ 𝑔ℎ2 +
𝑃2 𝑉
𝑚

25. 𝑣1
2
2
+ 𝑔ℎ1 +
𝑃1 𝑉
𝑚
=
𝑣2
2
2
+ 𝑔ℎ2 +
𝑃2 𝑉
𝑚
Recordando la densidad es igual: ρ =
𝑚
𝑉
su inverso es
1
ρ
=
𝑉
𝑚
Buscando simplificar en la ecuación queda:
𝑣1
2
2
+ 𝑔ℎ1 + 𝑃1
𝑉
𝑚
=
𝑣2
2
2
+ 𝑔ℎ2 + 𝑃2
𝑉
𝑚

26. Sustituyendo
1
ρ
=
𝑉
𝑚
:
𝑣1
2
2
+ 𝑔ℎ1 + 𝑃1
1
ρ
=
𝑣2
2
2
+ 𝑔ℎ2 + 𝑃2
1
ρ
Finalmente queda:
𝑣1
2
2
+ 𝑔ℎ1 +
𝑃1
ρ
=
𝑣2
2
2
+ 𝑔ℎ2 +
𝑃2
ρ

27. Finalmente queda:
𝒗 𝟏
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒉 𝟏 +
𝑷 𝟏
ρ
=
𝒗 𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝒈𝒉 𝟐 +
𝑷 𝟐
ρ

28. Reflexion final:
Las dos ecuaciones son
equivalentes y e obtendrán los
mismos resultados, la diferencia
reside en que una se simplifica
con el peso específico y en la otra
se utiliza la densidad.

29.  Una ultima observación es que se podría
pensar en una densidad 1 y una densidad 2,
pero la masa no varia en el flujo del fluido, y
se toma que los líquidos no son comprensibles
por lo tanto el volumen no varía, por lo tanto
la densidad inicial es igual a la final al ser
constante la masa y el volumen en líquidos.
 En caso de los gases si son dos densidades