La detección de bordes se refiere a la identificación de píxeles en una imagen (un píxel es la unidad básica de una imagen) en los que existen variaciones significativas en su nivel de gris con respectos a los píxeles vecinos, en otras palabras, es una técnica utilizada para identificar los contornos de los objetos, aunque también se logran identificar detalles de textura.

1. Revista - Divulgación de Ciencia y Educación
Enero – Abril 2023, Vol. 1, No. 1
3
Matemáticas para la salud
Lavín-Delgado Jorge Enrique 1, Urueta-Hinojosa Daniel Edahi 2
Aplicaciones de las matemáticas
La detección de bordes se refiere a la
identificación de píxeles en una imagen (un píxel
es la unidad básica de una imagen) en los que
existen variaciones significativas en su nivel de
gris con respectos a los píxeles vecinos, en otras
palabras, es una técnica utilizada para identificar
los contornos de los objetos, aunque también se
logran identificar detalles de textura. Es
ampliamente utilizada para la extracción de
píxeles característicos de la imagen conservando
la estructura de la escena. En la figura siguiente se
muestra el proceso de detección de bordes
utilizando los métodos de orden fraccionario y de
Canny. Se aprecia la identificación de los píxeles
correspondientes a los límites de los objetos sin
perder los detalles, esto es, a pesar de que se
simplifica considerablemente la cantidad de
píxeles aún es posible apreciar el nido de pájaros
sobre el tronco de un árbol. Otro aspecto
importante a considerar es que con la técnica
fraccionaria se conservan más detalles de textura.
Comparación de métodos de detección de bordes:
imagen original (izquierda); método fraccionario
(centro); Canny (derecha). Tomada de la base de
datos (ieeexplore.ieee.org/document/937655)
La información obtenida en la detección de
bordes es útil en tareas como la localización y
mapeo simultáneo de robots móviles (SLAM, por
sus siglas en inglés), reconocimiento y seguimiento
de objetos y procesamiento de imágenes médicas,
por mencionar algunas. Sin embargo, esta no es
una tarea fácil debido al ruido que afecta el
proceso de adquisición y captura de una imagen,
así como los cambios de iluminación en el entorno.
Por tal motivo, las técnicas de detección de bordes
generalmente consideran una etapa de
eliminación del ruido presente en la imagen. Es
decir, el ruido provoca variaciones en el nivel de
gris de regiones homogéneas, de modo que al
aplicar algún detector de bordes se identifican
píxeles que no son de interés, tal como se aprecia
a continuación.
Comparación de imágenes: imagen original
afectada por ruido (izquierda); método
fraccionario (centro); c) Canny (derecha).
Elaboración propia.
El proceso de eliminación de ruido en una
imagen, usualmente realizado con un filtro
Gaussiano (este filtro se utiliza para eliminar el
ruido de imágenes digitales), el cual genera un
efecto de suavizado en la imagen haciéndola más
homogéneas. De este modo se evita la detección
de falsos bordes generados por el ruido de la
imagen. Esto se muestra a continuación.
Imagen sin ruido (izquierda); imagen con ruido,
suavizado (derecha). Elaboración propia.
Enseguida se aprecian las imágenes de bordes
obtenidas con el método fraccionario y de Canny,
correspondientes a las imágenes con ruido y
suavizada. Es notorio que después de eliminar el
ruido de la imagen sólo se obtienen los bordes
pertenecientes a los contornos de los objetos y a
detalles de textura.

2. Revista - Divulgación de Ciencia y Educación
Enero – Abril 2023, Vol. 1, No. 1
4
Imágenes con ruido utilizando el método
fraccionario (arriba-izquierda), el método Canny
(arriba-derecha); y con imagen suavizada con
método fraccionario (abajo-izquierda), y con el
método Canny (abajo-derecha). Elaboración
propia.
Ahora bien, el cálculo fraccionario es un área
de las matemáticas que se encarga del estudio del
cálculo de orden no entero (1, 2, 3, …). En el caso de
la derivada estudiada en cualquier curso de
cálculo diferencial, se aprende a calcular la
primera, segunda, tercera derivada, etc., siendo el
orden un número entero que representa el número
de veces a derivar. Pero qué ocurre si se desea
obtener la derivada de orden 1.7, ahora de un
número fraccionario. Esto es justamente el motivo
de estudio del cálculo fraccionario, la
generalización del cálculo a un orden no entero,
el cual ha sido introducido exitosamente en
diversas áreas de la ciencia y la ingeniería como
lo son física, química, teoría de control y
procesamiento de señales e imágenes, entre otras;
mostrando que puede representar fenómenos de
una mejor manera que los enfoques tradicionales
de orden entero.
Detector de bordes de orden
fraccionario
Los bordes de una imagen, al representar
variaciones en el nivel de gris pueden calcularse
mediante las derivadas de la imagen, las cuales se
definen como la razón o velocidad de cambio del
nivel de gris de la imagen. Por lo tanto, contienen
la información para determinar los píxeles que
representan contornos de los objetos (bordes
fuertes) o detalles de textura (bordes débiles).
Históricamente han sido propuestos diversos
métodos para detectar bordes como Sobel, Prewitt
y Canny, los cuales han mostrado un desempeño
aceptable, sin embargo, tienden a perder los
detalles de textura de la imagen debido
principalmente al filtro Gaussiano, el cual además
de eliminar el ruido de la imagen tiende a hacer lo
mismo con los detalles de textura. Para hacer
frente a este problema se introduce la derivada de
Caputo-Fabrizio, la cual tiene una alta capacidad
para detectar los contornos de los objetos,
manteniendo los detalles de textura de la imagen,
lo que no ocurre con las técnicas tradicionales. Por
lo tanto, resulta interesante implementar un
detector de bordes de orden fraccionario basado
en la derivada de Caputo-Fabrizio, en imágenes
médicas para extraer más detalles de las
características que permitan identificar
enfermedades o patologías. En la siguiente figura
se muestran imágenes de la arteria renal
accesoria y las imágenes de bordes obtenidas con
los métodos fraccionario (orden de 0.85), Prewitt y
Canny. Se aprecia que el primero tiene una mejor
calidad de detalle en términos de conservación de
la estructura de los pulmones del paciente.
a b c d
Arteria renal accesoria: a) imagen original, b)
operador fraccionario, c) Prewitt, d) Canny.
Tomada de: radiopaedia.org
En las siguientes ilustraciones se muestran
imágenes de un estudio de esófago superior de un
paciente con cáncer, en la cual nuevamente se
aprecia la mejora de contraste en comparación
con otros métodos, facilitando la detección visual
de la enfermedad.

3. Revista - Divulgación de Ciencia y Educación
Enero – Abril 2023, Vol. 1, No. 1
5
a b c d
Imágenes de un estudio de cáncer de esófago
superior: a) imagen original, b) operador
fraccionario, c) Prewitt, d) Canny. Tomada de:
radiopaedia.org
Comentario final
El detector de bordes de orden fraccionario,
basado en la derivada de Caputo-Fabrizio, tiene
un mejor desempeño en términos de identificación
de los límites de objetos y detalles de textura de la
imagen en comparación con los métodos
tradicionales. Los resultados obtenidos en el
procesamiento de algunas imágenes médicas
demostraron que los bordes son precisos y útiles
para identificar arterias renales accesorias,
cáncer de esófago superior, etc. Por lo tanto, esta
técnica de detección de bordes tiene un gran
potencial en la identificación de patologías, lo que
conduce a un mejor diagnóstico.
Palabras clave del artículo: detección de bordes;
cálculo fraccionario; imágenes médicas.
1, 2 Universidad Politécnica del Estado de Guerrero.
Dirección de Redes y Telecomunicaciones.
Carretera Federal Iguala-Taxco km 105.
Comunidad Puente Campuzano. C.P. 40321. Taxco
de Alarcón, Guerrero.
1 Jorge Enrique Lavín Delgado: obtuvo el grado de
Doctor en Ciencias en Control Automático
por el CINVESTAV-IPN; actualmente es
Investigador Nacional (SNI) Nivel I. Sus
áreas de investigación son: robótica,
teoría de control, procesamiento de
imágenes y cálculo fraccionario.
jlavin@upeg.edu.mx
2 Daniel Edahi Urueta Hinojosa: obtuvo el grado
de Maestro en Ciencias y Tecnologías de
la Información en el área de Inteligencia
Artificial por la UAM-Iztapalapa;
actualmente es doctorante en la misma
institución. Sus áreas de investigación
son: reconocimiento de patrones,
optimización, clasificación supervisada y
no supervisada.
daniel.urueta@upeg.edu.mx