Este documento trata sobre cálculo diferencial y maximización y minimización de funciones. Explica conceptos como funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos locales, concavidad, y criterios para encontrar extremos locales. También presenta varios problemas de optimización que involucran hallar dimensiones óptimas para áreas máximas o costos mínimos.

1. Calculo Diferencial
Máximos y Mínimos
Ciclo escolar 2013-2014

2. Funciones Crecientes y Decrecientes
• Una función 𝑓 𝑥 es creciente (estrictamente
creciente) en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, si dados 𝑚 y
𝑛 tales que 𝑎 ≤ 𝑚 < 𝑛 ≤ 𝑏 se tiene que
𝑓 𝑚 ≤ 𝑓 𝑛 (𝑓 𝑚 < 𝑓 𝑛 ).
• Una función 𝑓 𝑥 es decreciente (estrictamente
decreciente) en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, si dados
𝑚 y 𝑛 tales que 𝑎 ≤ 𝑚 < 𝑛 ≤ 𝑏 se tiene que
𝑓 𝑚 ≥ 𝑓 𝑛 (𝑓 𝑚 > 𝑓 𝑛 ).

3. Funciones Crecientes y Decrecientes
Teorema
• Si 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 (𝑓′ 𝑥 > 0) para todos los valores de
𝑥 en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces 𝑓 𝑥 es
creciente (estrictamente creciente) en el intervalo
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
• Si 𝑓′ 𝑥 ≤ 0 (𝑓′ 𝑥 < 0) para todos los valores de
𝑥 en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces 𝑓 𝑥 es
decreciente (estrictamente decreciente) en el
intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

4. Máximos y Mínimos locales
• Un valor de un función es un Máximo Local, si
es mayor que cualquiera de los valores que lo
anteceden o le siguen inmediatamente.
• Un valor de un función es un Mínimo Local, si
es menor que cualquiera de los valores que lo
anteceden o le siguen inmediatamente.

5. 1er Criterio para encontrar
Máximos y Mínimos Locales
Tenemos un Máximo Local en 𝒙 𝟎
cuando
Tenemos un Mínimo Local en 𝒙 𝟎
cuando
•
𝑓 ′ 𝑥0 = 0
•
𝑓 ′ 𝑥0 = 0
•
𝑓 ′ 𝑥 cambia de signo
pasando de ser Positivo a
Negativo cerca de 𝑥0 .
•
𝑓 ′ 𝑥 cambia de signo
pasando de ser Negativo a
Positivo cerca de 𝑥0 .

6. Concavidad
• Una función 𝑓 𝑥 es cóncava hacia arriba en 𝑥0
cuando la recta tangente a 𝑓 𝑥 en 𝑥0 queda
debajo de 𝑓 𝑥 .
• Una función 𝑓 𝑥 es cóncava hacia abajo en 𝑥0
cuando la recta tangente a 𝑓 𝑥 en 𝑥0 queda
arriba de 𝑓 𝑥 .
• Una función 𝑓 𝑥 tiene un punto de inflexión en
𝑥0 si separa arcos que tienen su concavidad en
sentidos opuestos.

7. Concavidad
Teorema
• Si 𝑓 ′′ 𝑥0 > 0, la grafica 𝑓 𝑥 es cóncava
hacia arriba en 𝑥0 .
• Si 𝑓 ′′ 𝑥0 < 0, la grafica 𝑓 𝑥 es cóncava
hacia abajo en 𝑥0 .
• Si tenemos un punto de inflexión en 𝑥0 ,
entonces 𝑓 ′′ 𝑥0 = 0.

8. 2o Criterio para encontrar
Máximos y Mínimos Locales
Tenemos un Máximo Local en 𝒙 𝟎
cuando
Tenemos un Mínimo Local en 𝒙 𝟎
cuando
•
𝑓 ′ 𝑥0 = 0
•
𝑓 ′ 𝑥0 = 0
•
𝑓 ′′ 𝑥 < 0
•
𝑓 ′′ 𝑥 > 0
Si 𝑓 ′′ 𝑥0 = 0 entonces el criterio falla, y es
necesario aplicar el primer criterio

9. Problemas de Optimización
• De una pieza cuadrada de hojalata de lado 12cm, se
desea construir una caja abierta por arriba, del mayor
volumen posible cortando de las esquinas cuadrados
iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar
las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado
de los cuadrados iguales?

10. Problemas de Optimización
• Se desea cercar un jardín rectangular, y para ello se
cuenta con 8 metros de alambrado. El terreno escogido
es a un costado de un rio, por lo que el lado que
coincide con el rio no es necesario cercar. Si queremos
que el área del jardín nos permita aprovecharlo al
máximo ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?

11. Problemas de Optimización
• Hallar dos números cuya suma sea 20 y
– su producto sea máximo.
– la suma de sus cuadrados sea mínima
– el producto del cuadrado del primero por el cubo del
segundo sea máximo.
• Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y
– su suma sea mínima
– la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea
mínima.
• Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del
solar de un vecino. Y ha de tener un área de 10800
metros cuadrados. Si el vecino paga la mitad de la
cerca medianera ¿Cuáles deben ser las dimensiones de
la huerta para que el costo de cercarla sea mínimo para
el dueño de la huerta?

12. Problemas de Optimización
• Un fabricante de radios averigua que vender 𝑥
radios a 𝑝 pesos cada uno, siendo 5𝑥 = 375 −
5𝑝. El costo de la producción es 500 + 15𝑥 +
1
𝑥 2 pesos. ¿Cuántos instrumentos debe
5
vender a la semana para tener ganancia máxima?
• El coste de producción de 𝑥 unidades diarias de
1 2
un producto es de 𝑥 + 35𝑥 + 25 pesetas, y el
4
precio de ventas de una de ellas es de 50 −
1
2
𝑥.
– Halle el numero de unidades que se deben vender
diariamente para que el beneficio sea máximo
– Encuentre cuantas unidades se deben vender para
que el coste sea mínimo.