Series de tiempo estacionarias

Análisis de Series de Tiempo Univariadas y Metodolog´ıa
Box - Jenkins para predicción
Series de Tiempo Estacionarias
Juan Carlos Campuzano S.
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Semestre I 2013
J. Campuzano (E.S.P.O.L) Metodolog´ıa Box - Jenkins Semestre I 2013 1 / 30

Contenido
Introducción al análisis Series de Tiempo
Proceso Estocástico
Procesos Estacionarios
Función de Autocorrelación
Ejemplos de procesos de series temporales
Ruido Blanco Normal
AR(1)
Paseo aleatorio
Operadores de Rezago
Procesos Autoregresivos
Media Móvil
Procesos ARMA
Ejemplos

Análisis Series de Tiempo
Uno de los objetivos del análisis de las series de tiempo es la predicción.
1 De la teor´ıa a los datos.- Se establecen las ecuaciones de regresión en
función de lo que dice la teor´ıa económica. Supone que la relación se
va a mantener en el tiempo.
2 De los datos a la teor´ıa.- No hay mejor forma de predecir una variable
que en función del comportamiento de dicha variable en el pasado.
Luego se trata de dar la interpretación económica a estos resultados.

La predicción cient´ıfica pretende alcanzar dos grandes objetivos:
Proporcionar un valor probable o previsto de algunos resultados.
Reducir la incertidumbre sobre el rango de valores que pueden resultar
de un evento futuro
La esencia de cualquier decisión de riesgo es que no se puede conocer con
certeza cual será el resultado futuro de una decisión que se tomará con la
información disponible en el presente. El riesgo es básicamente la falta de
conocimiento sobre el futuro.

Proceso Estocástico - Definición
Un proceso estocástico {yt}∞
t=−∞ es una colección de variables aleatorias
indexadas por un conjunto t.
La teor´ıa de procesos estocásticos nos da una visión formal de observar las
series de tiempo de las variables económicas.

Procesos Estoc´asticos

Procesos Estacionarios
El problema fundamental en el análisis de series de temporales es que
unicamente se pueden observar las realizaciones del proceso sólo una
vez. De esta manera, si la distribución de una determinada variable
permanece sin cambio, se dice que el proceso es estacionario.
Por ahora el interés se centra en procesos estocásticos estacionarios,
en particular sobre los estacionarios en covarianza.

Proceso estrictamente estacionario
Un proceso estocastico zi (i = 1, 2, ...) es (estrictamente) estacionario si,
para cualquier valor r ﬁnito de enteros y para cualquier conjunto de
subindices, i1, i2, i3, ..., ir , la distribucion conjunta de (zi , zi1 , zi2 ..., zir )
depende solo de i1 − i, i2 − i, ..., ir − i, pero no de i. Por ejemplo, la
distribucion conjunta de (z1, z5) es la misma de (z12, z16).
Proceso estacionario en convarianza
Un proceso zi es debilmente estacionario (o estacionario en covarianza) si:
1 E(zi ) no depende de i, y
2 cov(zi , zi−j ) existe, es ﬁnito y depende solo de j pero no de i.

Proceso Estacionario en Covarianza
Sean los elementos de una serie de tiempo aquellos denotados por:
{Yt} = y1, y2, ..., yt, ...
y sean la media y la varianza de las observaciones en el momento t
aquellas dadas por:
µt = E[Yt]
σ2
t = E[(Yt − µ)2
]
Sea adem´as la covarianza de Yt, Ys
cov(Yt, Ys) = E[(Yt − µt)(Ys − µs)] = λt,s
Una serie es estacionaria de segundo orden si:
µt = µ
σ2
t = σ
λt,s = λt−s

Autocorrelaciones
En ocasiones se utilizan las correlaciones en lugar de las covarianzas. As´ı,
la autocorrelación en el rezago τ, ρτ se define como:
ρτ =
λt,t+τ
λ0
= λτ
λ0
= E[(Xt−µ)(Xt+τ −µ)
E[(Xt−µ)(Xt−µ)]
Una gráfica de ρτ contra τ se conoce como autocorrelograma o
función de autocorrelación y usualmente es una buena gu´ıa para
analizar las propiedades de las series.

Ruido Blanco Normal (Gaussiano)
Si los εt son variables aleatorias independientes y normalmente distribuidas
con media cero y varianza σ2, entonces se dice que siguen un proceso
denominado ruido blanco normal. Esto es:
µ = E[εt]
µ = 0
Var(εt) = σ2
ε
ρ0 = 1
ρτ = E[εtεt+τ ]
ρτ = 0, siτ = 0

Proceso AR(1)
Sea εt un ruido blanco. Entonces Xt sigue un proceso AR(1) si:
Xt = αXt−1 + εt, |α| < 1
Xt = εt + α(αXt−2 + εt−1)
= εt + αεt−1 + α2
Xt−2
= εt + αεt−1 + α2
(αXt−3 + εt−2)
= εt + αεt−1 + α2
εt−2 + α3
Xt−3
. . .
= εt + αεt−1 + α2
εt−2 + α3
εt−3 + ...
=
∞
0
αi
εt−i
E[Xt] = 0

Proceso AR(1)
Las autocovarianzas est´an dadas por:
λk = E[XtXt+k]
= E
∞
0
αi
εt−i
∞
0
αi
εt+k−i
=
∞
0
αi
αk+i
σ2
ε
= . . .
= σ2
ε
αk
1 − α2
y las autocorrelaciones por:
ρk =
γk
γ0
= αk
, k = 0, 1, ...

Paseo Aleatorio
Consideremos un proceso AR(1) con α = 1. Adem´as mantengamos el
supuesto de que εt es ruido blanco. Xt es un paseo aletorio si:
Xt = Xt−1 + εt
Es estacionario el proceso?
Sea el valor en t = 0, X0 = 0. Por sustituci´on:
Xt = εt + εt−1 + ... + ε1 + X0
De esta manera:
E[Xt] = X0
Var[Xt] = tσ2
ε
El proceso NO es estacionario.

Operadores de Rezago
Sean X1, ..., Xt una serie de tiempo, se define el operador de rezago L
como:
LXt = Xt−1
L2Xt = Xt−2
LpXt = Xt−p
Sea ahora el polinomio de rezagos aquel expresado como:
α(L) = 1 − α1L − α2L2 − ... − αpLp
un proceso AR(p) se define como:
Xt = α1Xt−1 + α2Xt−2 + ... + αpXt−p + εt
Donde εt es un ruido blanco. En términos de operadores de rezago se
puede expresar como:

Xt = α1LXt + α2L2Xt + ... + αpLpXt + εt
(1 − α1L − α2L2 − ... − αpLp)Xt = εt
α(L)Xt = εt
Los operadores de rezago son manipulados usando las reglas ordinarias del
algebra. Dhrymes(1976).

Procesos Autoregresivos
Proceso AR(2)
Sea el proceso AR(2) aquel deﬁnido como:
Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + εt
En t´erminos de los operadores de rezago se puede expresar como:
(1 − φ1L − φ2L2)Xt = εt
Se puede escribir el proceso como:
Xt = ψ(L)εt
= (1 + ψ1L + ψ2L2
+ ...)εt
donde
(1 − φ1L − φ2L2
)−1
≡ (1 + ψ1L + ψ2L2
+ ...)

Recordemos que el proceso AR(1) era estacionario si |α| < 1. Qué
condiciones se deber´ıan imponer en un proceso AR(2) para que éste sea
estacionario?
Sean g1 y g2 las ra´ıces de:
(1 − φ1L − φ2L2) = 0
La ecuación se puede escribir como:
(1 − g1L)(1 − g2L) = 0
El proceso es estacionario si |g1| < 1 y |g2| < 1. Las ra´ıces pueden ser
reales o complejas. Estas restricciones imponen las siguientes condiciones
sobre φ1 y φ2:
φ1 + φ2 < 1
−φ1 + φ2 < 1
|φ2| < 1

La funci´on de autocorrelacion (ACF) de un proceso AR(2) estacionario se
puede obtener de la siguiente manera: multiplique el proceso
Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + εt
por Xt−k y tome las expectativas, esto es:
Xt − φ1Xt−1 − φ2Xt−2 = εt
E[XtXt−k] − φ1E[Xt−1Xt−k] − φ2E[Xt−2Xt−k] = E[Xt−kεt]
γk − φ1γk−1 − φ2γk−2 = E[Xt−kεt]
E[Xt−2Xt−k] = {
σ2
ε , k = 0
0, k = 1, 2, ...
γ0 − φ1γ−1 − φ2γ−2 = σ2
ε = γ0 − φ1γ1 − φ2γ2
γk − φ1γk−1 − φ2γk−2 = 0, k = 1, 2, ...

En t´erminos de las autocorrelaciones, se tiene:
ρk − φ1ρk−1 − φ2ρk−2 = 0 , k=1,2,...
Dadas las condiciones iniciales (ρ0 = 1, ρ−1 = ρ1) se puede resolver el
problema por sustituci´on directa:
Para k=1
ρ1 − φ1ρ0 − φ2ρ−1 = 0
ρ0 = 1
ρ1 = ρ−1
ρ1 =
φ1
1 − φ2

Para k=2
ρ2 − φ1ρ1 − φ2ρ0 = 0
ρ2 = φ1ρ1 + φ2ρ0
=
φ2
1
1 − φ2
+ φ2
de la misma manera se pueden obtener los otros valores para k=3,4,...

Varianza de un proceso AR(2)
Sea k = 0
γ0 − φ1γ−1 − φ2γ−2 = σ2
ε
γ0(1 − φ1ρ1 − φ2ρ2) = σ2
ε
γ0 1 −
φ2
1
1 − φ2
−
φ2
1φ2
1 − φ2
− φ2
2 = σ2
ε
γ0
1 − φ2 − φ2
1 − φ2
1φ2 − φ2
2(1 − φ2)
1 − φ2
= σ2
ε
γ0 (1 + φ2)(1 − φ2 − φ2
2) − φ2(1 + φ2) − φ2
1(1 + φ2) = (1 − φ2)σ2
ε
γ0 1 − 2φ2 + φ2
2 − φ2
1 =
1 − φ2
1 + φ2
σ2
ε
γ0 =
1 − φ2
1 + φ2
σ2
ε
(1 − φ2 − φ1)(1 − φ2 + φ1)
que es independiente de t.

Proceso AR(p)
Un proceso AR(p) se define como aquel proceso estocástico que sigue la
siguiente expresión:
xt − φ1xt−1 − φ2xt−2 − ... − φpxt−p = εt
de manera equivalente
(1 − φ1L − φ2L2 − ... − φpLp)xt = εt
o
Φ(L)xt = εt
Para un proceso AR(p)las condiciones de estacionariedad se deben
plantear como sigue:
Φ(L) = (1 − g1L)(1 − g2L)...(1 − gpL)
las condiciones de estacionariedad requieren que:
|gi | < 1, para i=1,2,...,p

Proceso de Medias M´oviles
Proceso MA(1)
Sea el proceso MA(1) aquel deﬁnido como:
Xt = εt + θεt−1
donde εt es ruido blanco. Entonces, se tiene que:
E[Xt] = 0
var[Xt] = E[εt + θεt−1]2
= E[εt]2
+ θ2
E[εt−1]2
(independencia)
= (1 + θ2
)σ2
ε

Las autocovarianzas y autocorrelaciones vienen dadas por:
λ1 = E[xtxt−1]
= E[(εt + θεt−1)(εt−1 + θεt−2)]
= θE[ε2
t−1]
= θσ2
ε
por lo tanto:
ρ1 =
θ
1 + θ2
λ2 = E[xt−1xt−2]
= E[(εt−1 + θεt−2)(εt−2 + θεt−3)]
= 0

Proceso MA(q)
Un proceso MA(q) se deﬁne como sigue, en donde εt es el usual ruido
blanco gaussiano.
Xt = εt + θ1εt−1 + ... + θqεt−q
Su media y varianza est´an dadas por:
E[Xt] = 0
var[Xt] = (1 + θ2
1 + θ2
2 + ... + θ2
q)σ2
ε

Las autocovarianzas y autocorrelaciones vienen dadas por:
λk = COV (XtXt−k)
= E[XtXt−k]
= E[(εt + θ1εt−1 + ... + θqεt−q)(εt−k + θ1εt−k−1 + ... + θqεt−k−q)]
= (θk + θk+1θ1 + ... + θqθq−k)σ2
ε
y
ρk = λk
var[Xt ]
El punto importante a notar es que la funci´on de autocorrelaci´on para un
proceso MA(q)es cero para rezagos mayores a q.

Invertibilidad
Una propiedad requerida en ocasiones en el an´alisis de series de tiempo es
la de invertibilidad. Recordemos que el proceso AR(1)
Xt = αXt−1 + εt
era estacionario si |α| < 1. En cuyo caso, el proceso AR(1) tiene una
representaci´on MA(∞).
xt = (1 − αL)−1
εt
= (1 + αL + α2
L2
+ ...)εt
= εt + αεt−1 + α2
εt−2 + ...
y esta serie converge debido a sus propiedades estacionarias.

Consideremos ahora un proceso MA(1) con |θ| < 1 o, lo que es lo mismo
|θ|
−1
> 1
xt = (1 + θL)εt
(1 + θL)−1
xt = εt
(1 + θL + θ2
L2
+ ...)xt = εt
xt + θxt−1 + θ2
xt−2 + ... = εt
el lado izquierdo converge si |θ| < 1. En cuyo caso el proceso MA(1) tiene
una representaci´on AR(∞) y se dice que el proceso es invertible. Si el
proceso MA(q) xt = Θ(L)εt es invertible, las raices de Θ(L) = 0 est´an
fuera del c´ırculo unitario.

El Proceso ARMA(p,q)
Considere ahora el proceso (mixto) ARMA(p,q) siguiente:
Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + ... + φpXt−p + εt + θ1εt−1 + ... + θqεt−q
(1 − φ1L − φ2L2
− ... − φpLp
)Xt = (1 + θ1L + θ2L2
+ ... + θqLq
)εt
Φ(L)Xt = Θ(L)εt
Las condiciones de estacionariedad son las mismas que para un
proceso AR(p). Esto es, Φ(L) = 0 tiene sus ra´ıces fuera del c´ırculo
unitario.
Las condiciones de invertibilidad son las mismas que para un proceso
MA(q). Esto es, las ra´ıces de Θ(L) = 0 caen dentro del c´ırculo
unitario.
En el autocorrelograma de un proceso ARMA(p, q), los rezagos est´an
determinado por la parte del proceso AR(p) mientras que el efecto del
proceso MA decae lentamente.

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