Introducción a los pensamientos y procesos en matemáticas

1. INTRODUCIÒN A LOS
PENSAMIENTOS EN MATEMÀTICAS

2. PENSAMIENTO
NUMÉRICO
… se refiere a la comprensión en general
que tiene una persona sobre los números
y las operaciones junto con la habilidad y
la inclinación a usar esta comprensión en
formas flexibles para hacer juicios
matemáticos y para desarrollar
estrategias útiles al manejar números y
operaciones…(McIntosh, 1992,
Lineamientos Curriculares Matemáticas
MEN, 1998)

3. Medida
Ordinalidad
Códigos
Secuencia verbal
Conteo
Cardinalidad
ASPECTOS BÁSICOS PARA
DESARROLLAR EL PENSAMIENTO
NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS
Comprensión de los números y
numeración, según el contexto
Contar (ordenar y
comparar)
Agrupar
SignificadodeNúmero
Significado de las
operaciones
Modelos usuales y
prácticos
Algoritmos informales
Comprensión del concepto
de operaciones
Cálculo mental
Aproximación
Estimación
Calculadora
Cálculos con
números y
aplicaciones
Propiedades
Efecto y
relaciones entre
operaciones
Tecla Valor posicional
Fraccionarios
Sistemasnuméricos
Racionales
Reales
Naturales
Complejos
Enteros
Irracionales
Solución de problemas

4. Así llegaron a la meta los caballos de una carrera.
EJEMPLO 1
¿Cuál es el número del primer caballo en
llegar?
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
EJEMPLO 2
Una papelería ofrece la siguiente
promoción:
Con $8.000, ¿cuántos cuadernos de la promoción se
puede comprar sin que sobre dinero?
A. 4 B. 8
C. 12 D.16

5. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE
DATOS

9. PRIVILEGIAN EL USO DE ALGUNAS TÉCNICAS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, EN UNA
SECUENCIA QUE VA DESDE LOS DATOS, LA CONSTRUCCIÓN DE TABLAS Y GRÁFICOS
(LA MAYORÍA DE LAS VECES HISTOGRAMAS Y PASTELES) , PASANDO AL CÁLCULO DE
LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE LA MEDIDAS DE DISPERSIÓN. ESTA
SECUENCIA PROPUESTA PRIVILEGIA LOS ASPECTOS INTENCIONALES, VISTOS COMO
PRÁCTICAS DE CÁLCULO, QUE SE RELACIONAN MÁS CON LA ARITMÉTICA QUE CON
LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS.
LOS ESTÁNDARES CURRICULARES, INTEGRA EL CAMPO DE SIGNIFICADO (LOS
PROBLEMAS, LAS SITUACIONES) QUE DAN SENTIDO A LOS CONCEPTOS, SIN
DESCUIDAR EL ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES ESTRUCTURALES DE DICHOS
OBJETOS.
Las prácticas de enseñanza usuales en estadística

10. EJEMPLO
JUEGA CON TUS AMIGOS EN LA PISTA DEL HIPODROMO (NECESITARAS DOS DADOS, FICHAS DE PARQUES Y VARIOS AMIGITOS PARA JUGAR)
REGLAS
-ESCOGE TU CABALLO
-LANZA LOS DOS DADOS SI LA SUMA DE LOS DADOS COINCIDE CON EL NUMERO DE CABALLO QUE ESCOGISTE PUEDES AVANZAR UN PASO EN LA
PISTA.
-EL QUE LLEGUE PRIMERO A LA META GANA

11. Tiene que ver con:
El reconocimiento, la percepción,
la identificación y caracterización
de la variación y el cambio en
diferentes contextos.
Así como:
La descripción, la modelación y la
representación en distintos
sistemas ó registros simbólicos
(verbales, icónicos, gráficos ó
algebraicos)
Papel del P-variacional
-resolución de problemas
sustentados en el estudio de la
variación y el cambio.
-modelación de los procesos de
la vida cotidiana en cualquier
ciencia.
Relación con los otros
pensamientos
Requiere de conceptos y
procedimientos relacionados con
distintos sistemas: numérico,
geométrico, de medida y de
datos.
PENSAMIENTO VARIACIONAL Y LOS SISTEMAS
ALGEBRAICOS Y ANALITICOS

13. SITUACIONES
El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación
puede establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios sean los referidos a fenómenos de cambio y
variación de la vida práctica.
Análisis:
Pensamiento ó Componente: Numérico-Variacional
Competencia ó Proceso: Razonamiento
Rta: A
Análisis:
Pensamiento ó Componente: Numérico-Variacional
Competencia ó Proceso: Comunicación
Rta: B

15. RAZONAR EN MATEMÁTICAS
• Dar cuenta del como y del porque de los procesos que siguen para llegar a conclusiones.
• Justificación de estrategias y los procedimientos puestos en acción en el tratamiento de problemas.
• Formular hipótesis, hacer conjeturas y predicciones, encontrar contraejemplos, usar hechos conocidos propiedades y relaciones para
explicar otros hechos.
• Encontrar patrones y expresarlos matemáticamente.
• Utilizar argumentos propios para exponer ideas, comprendiendo que las matemáticas más que una memorización de reglas y
algoritmos, son lógicas y potencian la capacidad de pensar.
PARA FAVORECER EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO EN EL AULA SE DEBE:
- Propiciar una atmósfera que estimule a los estudiantes a explorar, comprobar y aplicar ideas. Esto implica que los maestros escuchen
con atención a sus estudiantes, orienten el desarrollo de sus ideas y hagan uso extensivo y reflexivo de los materiales físicos que
posibiliten la comprensión de ideas abstractas.
- Crear en el aula un ambiente que sitúe el pensamiento crítico en el mismo centro del proceso docente. Toda afirmación hecha, tanto por
el maestro como por los estudiantes, debe estar abierta a posibles preguntas, reacciones y reelaboraciones por parte de los demás.

17. PENSAMIENTO ESPACIAL

18. EL PENSAMIENTO ESPACIAL, SE DEFINE COMO EL CONJUNTO DE LOS
PROCESOS COGNITIVOS MEDIANTE LOS CUALES SE CONSTRUYEN Y SE
MANIPULAN LAS REPRESENTACIONES MENTALES DE LOS OBJETOS DEL
ESPACIO, LAS RELACIONES ENTRE ELLOS, SUS TRANSFORMACIONES, Y
SUS DIVERSAS TRADUCCIONES O REPRESENTACIONES MATERIALES, EN
ELLO SE CONTEMPLA LAS ACTUACIONES DEL SUJETO EN TODAS SUS
DIMENSIONES Y RELACIONES ESPACIALES PARA INTERACTUAR DE
DIVERSAS MANERAS CON LOS OBJETOS SITUADOS EN EL ESPACIO,
DESARROLLAR VARIADAS REPRESENTACIONES Y, A TRAVÉS DE LA
COORDINACIÓN ENTRE ELLAS, HACER ACERCAMIENTOS CONCEPTUALES
QUE FAVOREZCAN LA CREACIÓN Y MANIPULACIÓN DE NUEVAS
REPRESENTACIONES MENTALES.
PENSAMIENTO ESPACIAL

19. EL PENSAMIENTO ESPACIAL NECESARIAMENTE INCLUYE AL PENSAMIENTO VISUAL.
NUESTRO CEREBRO EVIDENCIA PREPONDERANCIA DE REDES VIDEO ESPACIALES.
UN PENSAMIENTO ESPACIAL EFICAZ REQUIERE DE: A) COMPRENDER OBJETOS
TRIDIMENSIONALES PARTIENDO DE GRÁFICOS BIDIMENSIONALES, Y VICEVERSA B)
HABILIDAD PARA IMAGINAR UNA REPRESENTACIÓN TRIDIMENSIONAL DESDE
DISTINTAS PERSPECTIVAS, Y C) HABILIDAD PARA VISUALIZAR – CONCRETAMENTE E
IMAGINARIAMENTE - EFECTOS DE REFLEXIÓN E INVERSIÓN DE OBJETOS-IMÁGENES.
EL ÉNFASIS EN ENSEÑAR A PENSAR CIENTÍFICAMENTE PRESUPONE LA APLICACIÓN
DE HABILIDADES DE PENSAMIENTO ESPACIAL, LAMENTABLEMENTE NO SUPONE EL
DESARROLLO DE ESTA HABILIDAD TANTO COMO LA UTILIZACIÓN DE TECNOLOGÍA
AUXILIAR.
ESTO REQUIERE DEL ESTUDIO DE CONCEPTOS Y PROPIEDADES DE LOS OBJETOS EN
EL ESPACIO FÍSICO Y DE LOS CONCEPTOS Y PROPIEDADES DEL ESPACIO
GEOMÉTRICO EN RELACIÓN CON LOS MOVIMIENTOS DEL PROPIO CUERPO Y LAS
COORDINACIONES ENTRE ELLOS Y CON LOS DISTINTOS ÓRGANOS DE LOS
SENTIDOS.
Características

20. SISTEMAS QUE LO SOPORTAN
SISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDAS
El sistema geométrico y de medidas busca
formalizar y potenciar el conocimiento intuitivo
que tiene el estudiante de su realidad espacio-
temporal, por medio de la identificación de
formas y medidas de sólidos.
El tratamiento de la noción de medida favorece la interpretación
numérica de la realidad, estimando de manera objetiva las
características físicas de distintos elementos y situaciones en su
contexto.
Este sistema posibilita el desarrollo de destrezas y habilidades
desarrolladas con la comprensión y el manejo de entes
matemáticos distintos de los numéricos, mediante el contacto con
formas y cuerpos tomados de su entorno.

21. PENSAMIENTO MÉTRICO

22. LOS CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS PROPIOS DE ESTE PENSAMIENTO HACEN
REFERENCIA A LA COMPRENSIÓN GENERAL QUE TIENE UNA PERSONA SOBRE LAS
MAGNITUDES Y LAS CANTIDADES, SU MEDICIÓN Y EL USO FLEXIBLE DE LOS
SISTEMAS MÉTRICOS O DE MEDIDAS EN DIFERENTES SITUACIONES.
ACTIVIDADES DE LA VIDA DIARIA RELACIONADAS CON LAS COMPRAS EN EL
SUPERMERCADO, CON LA COCINA, CON LOS DEPORTES, CON LA LECTURA DE
MAPAS, CON LA CONSTRUCCIÓN, ETC., ACERCAN A LOS ESTUDIANTES A LA
MEDICIÓN Y LES PERMITEN DESARROLLAR MUCHOS CONCEPTOS Y DESTREZAS
MATEMÁTICAS.
LOS PROCESOS DE MEDICIÓN COMIENZAN “DESDE LAS PRIMERAS ACCIONES CON
SUS ÉXITOS Y FRACASOS CODIFICADOS COMO MÁS O MENOS, MUCHO O POCO,
GRANDE O PEQUEÑO, EN CLASIFICACIONES SIEMPRE RELACIONADAS EN ALGUNA
FORMA CON IMÁGENES ESPACIALES, ESTO ES CON MODELOS GEOMÉTRICOS, AÚN
EN EL CASO DEL TIEMPO.”(CARLOS E. VASCO, EL CONSTRUCTIVISMO GENÉTICO,
BOGOTÁ, UNIVERSIDAD NACIONAL)
PENSAMIENTO MÉTRICO

23. ESTE PENSAMIENTO LO SOPORTA EL SISTEMA DE MEDIDAS. EL ESTUDIO DE LA MEDIDA ES
IMPORTANTE EN EL CURRÍCULO DE LAS MATEMÁTICAS DESDE PREESCOLAR HASTA EL
GRADO UNDÉCIMO DEBIDO A SU PRACTICIDAD EN MUCHOS ASPECTOS DE LA VIDA DIARIA. EL
ESTUDIO DE LA MEDICIÓN TAMBIÉN OFRECE UNA OPORTUNIDAD PARA APRENDER A APLICAR
LAS OPERACIONES, LAS IDEAS GEOMÉTRICAS, LOS CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Y LAS
NOCIONES DE FUNCIÓN. ESTAS CONEXIONES SE COMPLEMENTAN CON LAS RELACIONES QUE
EXISTEN ENTRE LAS MEDIDAS Y LAS CIENCIAS SOCIALES, LA CIENCIA, EL ARTE Y LA
EDUCACIÓN FÍSICA.
SISTEMAS QUE LO SOPORTAN

24. * LA CONSTRUCCIÓN DE LA MAGNITUD.
* EL DESARROLLO DEL PROCESO DE CONSERVACIÓN.
* LA ESTIMACIÓN DE MAGNITUDES.
* LA APRECIACIÓN DEL RANGO DE LAS MAGNITUDES.
* LA SELECCIÓN DE UNIDADES.
* EL TRASFONDO SOCIAL DE LA MEDICIÓN.
propiedades

25. SE PROPONE A LOS ESTUDIANTES CONSTRUIR UNA
TORRE UTILIZANDO UN ÚNICO TIPO DE MATERIAL
(VASOS DESECHABLES) TENIENDO EN CUENTA
CIERTAS INDICACIONES DADAS POR EL DOCENTE.
ENTONCES SE PIDE CONSTRUIR LA TORRE MÁS
ALTA POSIBLE UTILIZANDO LA MISMA CANTIDAD DE
VASOS DESECHABLES. TODA LA INFORMACIÓN AL
RESPECTO SE DEBE REGISTRAR EN DIFERENTES
TABLAS (CANTIDAD DE PISOS, TIEMPO QUE TARDÓ
EN CONSTRUIRLA, ANCHO, SIN UTILIZAR
PATRONES DE MEDIDA CONVENCIONALES).
LUEGO SE LES PIDE CONSTRUIR UN CASTILLO, ESA
ACTIVIDAD SI SERÁ DE CONSTRUCCIÓN LIBRE. LOS
DATOS TAMBIÉN SERÁN REGISTRADOS.
ACTIVIDAD
TORRE DE VASOS

26. INTRODUCIÒN A LOS PROCESOS
GENERALES

27. POLYA, CITADO EN MEN (1998) CONSIDERA QUE:
“RESOLVER UN PROBLEMA ES ENCONTRAR UN CAMINO ALLÍ DONDE NO SE CONOCÍA
PREVIAMENTE CAMINO ALGUNO, ENCONTRAR LA FORMA DE SALIR DE UNA
DIFICULTAD, ENCONTRAR LA FORMA DE SORTEAR UN OBSTÁCULO, CONSEGUIR EL
FIN DESEADO, QUE NO ES CONSEGUIBLE DE FORMA INMEDIATA, UTILIZANDO LOS
MEDIOS ADECUADOS”.
Resolución Problemas

28. COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA, ESTÁ RELACIONADA CON LOGRAR UN
ENTENDIMIENTO DE LA INTENCIÓN Y EL SENTIDO DEL PROBLEMA. ¿QUÉ SE DESEA
AVERIGUAR? ¿POR QUÉ? ¿PARA QUÉ?
DISEÑO DE UN PLAN, ESTA FASE ESTÁ RELACIONADA CON LA CREACIÓN DE
ESTRATEGIAS POR PARTE DEL ESTUDIANTE REPRESENTA EL ¿QUÉ HACER? ¿CÓMO
HACERLO?
EJECUCIÓN DEL PLAN, CONSISTE EN LA PUESTA EN PRÁCTICA DE LAS ESTRATEGIAS
SUGERIDAS POR EL RESOLUTOR. EN ESTA FASE, EL RESOLUTOR HACE USO DE
TÉCNICAS Y PROCEDIMIENTOS QUE LE PERMITAN LLEVAR A CABO EL PLAN
DISEÑADO PREVIAMENTE
MIRADA RETROSPECTIVA, CONSISTE EN LA VALIDACIÓN DE LOS RESULTADOS
OBTENIDOS, ES DECIR CONFIRMAR O VERIFICAR SI EL RESULTADO ENCONTRADO
CUMPLE CON LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA.
Etapas de resolución

29. proceso de resolución de problemas Vs desempeños
DESEMPEÑO ETAPA
Lectura e interpretación del enunciado del problema.
 Lectura de tablas, gráficos, etc.
 Lectura de enunciados verbales
Entendimiento del problema
Reconocimiento e identificación de los datos y las
incógnitas del problema
Entendimiento del problema
Establecer relaciones, ya sean numéricas, algebraicas,
geométricas, métricas entre los datos y las incógnitas
según el caso
Diseñar un plan
Expresar numéricamente o algebraicamente las
relaciones mediante el lenguaje matemático
(operaciones matemáticas, ecuaciones)
Diseñar un plan
Realizar las operaciones expresadas para hallar la
solución del problema
Ejecutar el plan
Validar la solución del problema Mirada retrospectiva

30. EL SIGUIENTE ESQUEMA MUESTRA PARTE DEL
SISTEMA DE TRANSPORTE DE LA CIUDAD DE
MEDELLÍN, CON 3 LÍNEAS DE FERROCARRIL.
MUESTRA ADEMÁS DÓNDE SE ENCUENTRA UNA
PERSONA Y A DÓNDE TIENE QUE IR:
Sistema de transporte

31. EL PRECIO DEL BILLETE SE
CALCULA EN FUNCIÓN DEL
NÚMERO DE ESTACIONES
QUE SE RECORREN. CADA
ESTACIÓN QUE SE RECORRE
CUESTA $1.000 Y EL TIEMPO
QUE SE TARDA EN IR DE UNA
ESTACIÓN A LA SIGUIENTE
ES DE APROXIMADAMENTE 2
MINUTOS, EN LOS
TRANSBORDOS DE UNA
LÍNEA A OTRA SE TARDA
UNOS 5 MINUTOS.

32. EN EL ESQUEMA ANTERIOR SE SEÑALA LA ESTACIÓN EN LA
QUE CAMILO SE ENCUENTRA EN ESE MOMENTO (DESDE
AQUÍ), Y LA ESTACIÓN A DONDE TIENE QUE IR (HASTA
AQUÍ).
MARCA EN EL ESQUEMA EL MEJOR TRAYECTO EN
TÉRMINOS DE DINERO Y TIEMPO
CALCULA EL PRECIO DEL BILLETE A PAGAR
CALCULA EL TIEMPO APROXIMADO DEL VIAJE.

33. *LOS ESTUDIANTES DEBEN APRENDER MATEMÁTICAS
“HACIENDO MATEMÁTICAS ”, LO QUE SUPONE COMO
ESENCIAL LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE LA VIDA
DIARIA.
*LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN UN AMPLIO SENTIDO
SE CONSIDERA SIEMPRE EN CONEXIÓN CON LAS
APLICACIONES Y LA MODELACIÓN. LA FORMA DE
DESCRIBIR LA INTERRELACIÓN ENTRE EL MUNDO REAL Y
LAS MATEMÁTICAS ES LA MODELACIÓN.
La Modelación

34. FIGURA PROPUESTA POR EL MATEMÁTICO HANS FRUEDENTHAL

35. *LA MODELACIÓN ES UN PROCESO MUY IMPORTANTE EN EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS, QUE PERMITE A LOS
ESTUDIANTES OBSERVAR, REFLEXIONAR, DISCUTIR,
EXPLICAR, PREDECIR, REVISAR Y DE ESTA MANERA
CONSTRUIR CONCEPTOS MATEMÁTICOS EN FORMA
SIGNIFICATIVA.
*HAY QUE TENER EN CUENTA QUE LOS PROCESOS DE
MODELACIÓN TIENEN QUE VER CON EL NIVEL DE LENGUAJE
DE LOS NIÑOS; A VECES EL LENGUAJE FACILITA O RETARDA
LA COMPRENSIÓN DE LA REALIDAD

36. UN ANTIGUO PERGAMINO DABA, AL DESCRIBIR LA SITUACIÓN DE UN TESORO
ENTERRADO EN UNA ISLA DESIERTA, ESTAS INSTRUCCIONES: EN LA ISLA HAY TAN
SÓLO DOS ÁRBOLES Y LOS RESTOS DE UNA HORCA. A PARTIR DE LA HORCA SE
CUENTAN LOS PASOS NECESARIOS PARA LLEGAR EN LÍNEA RECTA HASTA EL ÁRBOL
A. UNA VEZ ALLÍ SE GIRA UN CUARTO DE VUELTA A LA IZQUIERDA Y SE CAMINA AL
FRENTE EL MISMO NÚMERO DE PASOS, MARCANDO EL PUNTO ALCANZADO CON UNA
ESTACA. VOLVIENDO A LA HORCA, SE CUENTAN LOS PASOS EN LÍNEA RECTA DESDE
ELLA HASTA EL ÁRBOL B. CUANDO SE LLEGA AL ÁRBOL SE GIRA UN CUARTO DE
VUELTA A LA DERECHA Y SE CAMINA DE FRENTE ESE NÚMERO DE PASOS. SE CLAVA
OTRA ESTACA EN EL PUNTO DE DETENCIÓN. CAVANDO EN EL PUNTO SITUADO
EXACTAMENTE A MEDIO CAMINO ENTRE LAS ESTACAS SE ENCONTRARÁ EL TESORO.
UN JOVEN AVENTURERO DESCUBRIÓ EL PERGAMINO, FLETÓ UN BARCO Y NAVEGÓ
HASTA LA ISLA. NO TUVO DIFICULTAD EN ENCONTRAR LOS ÁRBOLES, PERO LA
HORCA HABÍA DESAPARECIDO, POR LO QUE NO TUVO FORMA DE ENCONTRAR EL
TESORO.
¿SE HABRÁ PERDIDO EL TESORO PARA SIEMPRE O HABRÁ UNA FORMA DE
HALLARLO?
LA ISLA DEL TESORO

37. Propuesta para la modelización: Utilizar regla y compás.
.
Para matematizar:
¿Las posiciones de los árboles en el mapa es importante para la
modelización de la situación?
¿Qué opinas si la ubicación de los árboles de tu propuesta de
modelización se cambian de lugar? ¿podrías de igual forma
encontrar el tesoro?
¿Cuál serán las herramientas o conceptos matemáticos necesarios
para abordar la situación?
¿existe un lenguaje en el enunciado que impide la comprensión del
problema?

38. ¡GRACIAS!