Optimización Dinámica y Teoría Económica José Bonifaz y Ruy Lama (1999) Ejercicio III.3 página 158

1. Equipo T-Económica
José L. Bonifaz y Ruy Lama (1999) Optimización Dinámica y Teoría Económica
Ejercicio 3 (página 158).
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1. Sea el siguiente problema:
max ( ) = lim
→
ln
sujeto a:
= −
( ) =
lim
→
( ) = 0
( , , ) ∈
demostrar
( ) = (0)
Sea la función de Hamilton:
= ln + ( − + ) (1)
El principio del Máximo
= + = 0 (2)
=
′
⟹ − = ′ (3)
= − + = 0 (4)
a partir de (3) tenemos una ecuación diferencial de primer orden:
+ = 0 ⟺ ( ) = (5)
remplazando (5) en (2) tenemos
= − ⟹ ( ) = −
1 ( )
= − ( )
(6)
remplazando (6) en (4) y reordenando tenemos otra ecuación diferencial de primer orden:
− = ( )

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Ejercicio 3 (página 158).
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( ): − = 0 ( ) = ( )
( ): = ( − ) ( )
− ( )
= ( )
= −
( ) = ( ) = − ( )
siendo la solución general:
( ) = ( ) + ( ) = − ( )
(7)
por condición del ejercicio, sabemos que:
lim
→
( ) = 0
lim
→
− ( )
= 0 (8)
a partir del cual podemos deducir que, para que se satisfaga (8) debe cumplirse que: = 0 y
que > . Adicionalmente se satisface:
( ) = = − ( )
⟹ = − ( )
(9)
y remplazando (9) en (6) obtenemos el control óptimo del problema:
( ) = ( )( ) (10)
Remplazando (10) en la funcional del problema, se tiene:
∗( ) = lim
→
ln + ( − )( − ) (11)
el cual, podemos descomponerlo de la siguiente manera:
∗( ) = lim
→
ln + ( − ) − ( − ) (12)
siendo la integral I:

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Ejercicio 3 (página 158).
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Lim
→
= lim
→
−
1
= −
1
lim
→
− =
1
(13)
Ahora toca resolver la integral II, integrando por partes:
lim
→
= −
1
lim
→
[ ] +
1
lim
→
= −
1
lim
→
[ − ] +
1
= +
1
(14)
dado que el término lim → es una de las formas indeterminadas del tipo , aplicamos
la regla de L’Hôpital, esta regla nos indica lo siguiente:
lim
→
= =
1
=
1
∞
= 0
Remplazando (13) y (14) en (12) y reduciendo, tenemos que:
∗( ) =
1
ln +
−
Podemos observar que:
∗(0) =
1
ln +
−
por lo que concluimos que:
∗( ) = ∗
(0) QED.