Analiza a 12 a primitive

Clasa a XII-a - Analiza - 1
Partea I - Primitive
Primitive
 Definitia 11 :
- Fie I un interval R si o functie RIf : ;
- Spunem ca f admite primitive pe I daca exista o functie RIF : astfel incat :
1). F este derivabila pe I ;
2).    xfxF '
, Ix .
Functia F se numeste pprriimmiittiivvaa a functiei f .
 Propozitie :
- Fie F1 o primitiva a functiei RIf : ;
- Atunci orice alta primitiva a lui f este de forma :
    cxFxF  1
unde : c o functie constanta pe I .
 Definitia 22 :
- Fie RIf : , unde RI  , o functie care admite primitive ;
- Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste iinntteeggrraallaa nneeddeeffiinniittaa a functiei f si se
noteaza cu :
  dxxf

Primitive
 Observatii :
11)).. Exprimarile “ Sa se calculeze o primitiva a functiei f “ si “ Sa se calculeze   dxxf ”
sunt sinonime .
22)).. Daca F este o primitiva a lui f pe I , atunci multimea tuturor primitivelor lui f este :
     CxFdxxf
unde :   cxcRIccC
def
 ,:

Primitive
11)).. O functie care admite primitive aarree proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate).
22)).. O functie care nu are proprietatea lui Darboux , nnuu aaddmmiittee pprriimmiittiivvee .
33)).. Orice fffuuunnnccctttiiieee cccooonnntttiiinnnuuuaaa RIf : , unde RI  , aaddmmiittee pprriimmiittiivvee .
44)).. Daca RIf : si     IxxfIf  ; nnnuuu eeesssttteee uuunnn iiinnnttteeerrrvvvaaalll , atunci f nnuu aaddmmiittee
pprriimmiittiivvee pe I .
55)).. Exista functii care aaadddmmmiiittt ppprrriiimmmiiitttiiivvveee si nnuu ssuunntt ccoonnttiinnuuee (discontinuitati de speta a doua) .
66)).. Daca doua functii RIgf :, admit primitive , atunci orice combinatie liniara a lor :
gf   aaddmmiitt pprriimmiittiivvee , R ,
si avem relatia :
          dxxgdxxfdxxgxf 
77)).. Daca dintre doua functii RIgf :, , uuunnnaaa aaadddmmmiiittteee ppprrriiimmmiiitttiiivvveee si ccceeeaaalllaaallltttaaa nnnuuu aaadddmmmiiittteee ppprrriiimmmiiitttiiivvveee ,
atunci functiile :
gf  si gf 
nnuu aaddmmiitt pprriimmiittiivvee .

Primitive
Fie RIgf :, , RI  , doua functii care admit primitive pe I si 0,   R
, atunci functiile gf  si f admit primitive si au loc relatiile :
1).            dxxgdxxfdxxgxf ;
2).      dxxfdxxf  ;
3).        CxFCdxxfdxxf
unde C este multimea functiilor constante pe I si F este o primitiva a lui f .

Primitive
11)).. Cxdx   Rx
22)).. C
n
x
dxx
n
n




1
1
RxNn  ,
33)).. C
a
x
dxx
a
a




1
1
  ,0,1, xaRa
44)).. C
a
a
dxa
x
x
 
ln
Rxaa  ,1,0
55)).. Cxdx
x
 ln
1
Rx
*

66)).. C
ax
ax
a
dx
ax



 

ln
2
11
22
 aaRx ,
77))..  

C
a
x
arctg
a
dx
ax
11
22
0,  aRx
88))..   Cxxdx cossin Rx
99))..   Cxxdx sincos Rx
1100))..   Ctgxdx
xcos
1
2
 






 ZkkRx /
2
12

1111))..   Cctgxdx
xsin
1
2
 ZkkRx  /
1122))..   Cxtgxdx cosln  






 ZkkRx /
2
12

1133))..   Cxctgxdx sinln  ZkkRx  /
1144))..   

Caxxdx
ax
22
22
ln
1
0,  aRx
1155))..  

Caxxdx
ax
22
22
ln
1
0,  aax
1166))..  

C
a
x
dx
xa
arcsin
1
22
0,  aax .

Primitive
Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :
1).   32
2
 xxxf , Rx ; 2).  
x
xxf
1
 ,   ;0x ;
3).  
x
xxf
1
 ,  0;x ; 4).   xbxaxf cossin  , Rx ;
5).  
x
xf
41
1
2

 , 






2
1
;
2
1
x ; 6).  
x
xf


4
1
2
,  2;2x ;
7).  
xx
xf
cos
1
sin
2
22
 , 






2
;0

x ; 8).  
xx
xf
cossin
2
22

 , 






2
;0

x ;
9).  
4
1
2


x
xf , Rx ; 10).  
14
1
2


x
xf , Rx ;
11).   exf xx
 2 , Rx ; 12).  
1
1
2


x
xf ,  1;1x ;
13).  
1
1
2


x
xf ,  1;x ; 14).   3 2
11
xx
xf  ,   ;0x ;
15).   3 2
2 xxxxxf  ,   ;0x ; 16).   53
42 xxxxf  ,   ;0x ;
17).   3 24
312
xxx
xf  ,   ;0x ; 18).  
x
xf
91
1
2

 , Rx ;
19).  
254
1
2


x
xf , 





 ;
2
5
x ; 20).  
72
1
2


x
xf , Rx ;
21).  
x
xf


8
1
2
,  22;22x ; 22).  
x
x
xf



4
45
2
2
,  2;2x ;
23).  
x
xxf
cos
cos1
2
3

 , 






2
;0

x ; 24).   xxxf  2
, Rx ;
25).   42
3
 xxxf , Rx ; 26).     21  xxxxf , Rx ;
27).  
x
xxf
15
 ,   ;0x ; 28).    3 2
1
3
xxf  , Rx ;
29).     11  xxxxf ,   ;0x ;

Primitive
30).    
x
x
xf


1
4
,   ;0x ; 31).     
3 2
22
21
x
xxxf

 ,   ;0x ;
32).  
x
xf 2
1 ,   ;0x ; 33).    
 1
2
2
2



x
xxf ,  1;1x ;
34).  
x
xx
xf 4
22
1
11


 ,  1;1x .

Primitive
 Teorema :
- Daca RIgf :, sunt functii derivabile cu derivatele continue , atunci functiile :
gf  , gf 
'
, gf
'

admit primitive pe I si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia :
          dxxgxfgfdxxgxf
''
numita formula de integrare prin parti pentru integrale nedefinite .
Exercitiul nr. 1 :
1).   xxf ln , 0x ; 2).   xxxf ln , 0x ;
3).   xxf ln
2
 , 0x ; 4).   xxxf ln
22
 , 0x ;
5).   x
x
xf ln
1
 , 0x ; 6).   xxxf ln
23
 , 0x ;
7).     xxxxf ln2
24
 , 0x ; 8).    xxf  1ln
2
, Rx ;
9).   exxf x
 , Rx ; 10).     exxxf x
 1
2
, Rx ;
11).     exxxf x
 1
3
, Rx ; 12).   xxxf sin
2
 , Rx ;
13).     xxxxf sin1
2
 , Rx ; 14).   xxxf sin
23
 , Rx ;
15).   xexf x
sin , Rx ; 16).   xexf x
2sin , Rx ;
17).   xexf x

sin , Rx ; 18).   xexf x

cos , Rx ;
19).   xexxf x
sin , Rx ; 20).    xxexf x
cossin  , Rx ;
21).   xxf sin
2
 , Rx ; 22).   xxxf cos2sin
33
 , Rx ;

Primitive
23).   xxxf cos3sin2
44
 , Rx ; 24).   4
2
 xxf ,   ;2x ;
25).   1
2
 xxf , Rx ; 26).   1
22
 xxxf , Rx ;
27).   1
23
 xxxf , Rx ; 28).   4
24
 xxxf ,   ;2x ;
29).   4
25
 xxxf ,   ;2x ; 30).   xxf 2
9  ,  3;3x ;
31).   xxxf 22
9  ,  3;3x .
Exercitiul nr. 2 :
1).     exxf x
 52 , Rx ; 2).     xxxf sin52  , Rx ;
3).     xxxf ln52  , 0x ; 4).     xxxxf cos53
2
 , 0x
5).  
x
x
xf
ln
 , 0x ; 6).    xxf lnsin , 0x ;
7).   xexf x
cos , 0x ; 8).   xexf x
sin 
, Rx ;
9).   2
2
 xxf , Rx ; 10).   xxf 2
3  ,  3;3x .
Exercitiul nr. 3 :
1).   arctgxxf  , Rx ; 2).    xxf ln
2
 , 0x ;
3).   xexxf x
sin , Rx ; 4).   xexxf x
cos
2
 , Rx ;
5).  
x
xxf 3
ln , 0x ; 6).  
x
x
xf



1
1
ln ,  1;1x ;
7).   xxxf arccos , 1x ; 8).    xxxf 2
1ln  , 0x ;
9).    
x
xxxxf 2
2
1
1ln


 , Rx ; 10).   exxf x33
 , Rx ;
11).   exxf x
 3
, Rx ; 12).   exxf
x
2
2 
 , Rx .

Primitive
Metoda schimbarii de variabila , denumita si metoda substitutiei , permite calculul
primitivelor (integralelor nedefinite) pornind de la formulele uzuale de integrare si cele de
derivare a functiilor compuse .
 Teorema :
- Fie RJI , doua intervale si
RJf : si RI :
doua functii . Daca :
1).   JI  ;
2). Functia  este derivabila pe I ;
3). Functia f admite primitive pe J ;
atunci functia  
'
f admite primitive pe I .
Mai mult , daca RJF : este o primitiva a functiei f pe J , atunci functia F
este o primitiva a functiei  
'
f , adica are loc egalitatea :
      CFdxxxf  
'

Primitive
SS--aa pprreessuuppuuss RI  iinntteerrvvaall ssii RI : ddeerriivvaabbiillaa ccuu ddeerriivvaattaa ccoonnttiinnuuaa .
1).      
 



C
n
x
dxxx
n
n
1
1
' 
 , Nn
2).      
 



C
r
x
dxxx
r
r
1
1
' 
 ,       ;0,1 IRr 
3).
 
 
   Cxdx
x
x



ln
'
,   Ixx  ,0
4).  
 
 
  C
a
a
dxxa
x
x
ln
'


 , 1,0  aa
5).        Cxdxxx  cossin
'
,
6).        Cxdxxx  sincos
'
,
7).
 
 
   Cxtgdx
x
x



cos
2
'
,     IxZkkx 






 ,
2
12


8).
 
 
   Cxctgdx
x
x



sin
2
'
,     IxZkkx  ,
9).
 
 
 
 

C
a
x
dx
xa
x 


arcsin22
'
,    aaIa ;,0  
10).
 
 
 
 

C
a
x
arctg
a
dx
xa
x 

 1
22
'
, 0a
11).
 
 
     

Cxaxdx
xa
x


 22
22
'
ln , 0a
12).
 
 
    

Caxxdx
ax
x 22
22
'
ln 


,
 
 







Ixax
sau
Ixax
a
,
,
,0


13).         Cxdxxxtg  cosln
'
,     IxZkkx 






 ,
2
12


14).         Cxdxxxctg  sinln
'
,     IxZkkx  ,

Primitive
 Teorema :
- Fie RJI , doua intervale si
RJf : si RI :
doua functii . Daca :
1). Functia  este bijectiva ;
2). Functia  este derivabila pe J si   0
'
x oricare ar fi Jx ;
3). Functia  
'
fh  admite primitive pe J ,
atunci functia f admite primitive pe I .
Mai mult , daca RJH : este o primitiva a functiei  
'
fh  pe J , atunci
functia 
1
H este o primitiva a functiei f pe I , adica are loc egalitatea :
  

CHdxxf 
1

 Observatia 1 :
Denumirile de prima formula de schimbare de variabila si a doua formula de schimbare
de variabila sunt pur conventionale .
In realitate avem o singura formula de schimbare de variabila si mai multe variante de
aplicare a ei :
Avem de calculat :    Ixdxxf , .
Atunci :
1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui f , o functie derivabila RI : si o functie
primitivabila   RIg : astfel incat       xxgxf 
'
 oricare ar fi Ix .
2). Facem inlocuirile formale   tx : si   dtdxx :
'
 ;
Obtinem primitiva    Itdttg  , , pe care o calculam . Fie      ItCtGdttg  , .
3). Revenim la vechea variabila x , punand  xt : in expresia primitivei G ;
Obtinem       IxxGdxxf ,C .

Primitive
Atunci :
1). Punem in evidenta un interval RJ  si o functie IJ : bijectiva si derivabila .
2). Facem inlocuirile formale  tx : si   dttdx 
'
: ;
Obtinem      Jtdtttf ,
'
 , pe care o calculam .
Fie        JtHdtttf  ,Ct
'
 .
3). Revenim la vechea variabila x , punand  xt 
1
:

 in expresia primitivei H ;
Obtinem      IxCxHdxxf  

,
1
 .
Atunci :
1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui f , o functie injectiva RI : cu
  II 

 :
1
derivabila , si o functie   RIg : , astfel incat      Ix,  xgxf  .
2). Facem inlocuirile formale   tx : si   dttdx  1 '
: 
 ;
Obtinem primitiva       
Itdtttg  ,1 '
, pe care o calculam .
Fie         
Itdtttg  ,CtF
1 '
.
3). Revenim la vechea variabila x , punand  xt : in expresia primitivei F ;
Obtinem :      IxCxFdxxf  , .
 Observatia 2 :
In toate cele trei variante ale formulei schimbarii de variabila expuse mai sus , expresia
functiei  se impune din context , analizand expresia functiei f .

Primitive
 Observatia 3 :
Nu exista reguli de calcul al primitivelor decat pentru clase restranse de functii elementare .
 Observatia 4 :
Problema gasirii primitivelor este inversa aceleia a derivarii . Problema gasirii primitivelor
este insa mult mai dificila decat problema derivarii .
Daca derivatele functiilor elementare sunt de asemenea functii elementare , primitivele
functiilor elementare nu sunt totdeauna functii elementare .
Pentru unele functi elementare nici nu se stie daca primitivele lor sunt tot functii
elementare .
Exercitiul nr. 1 :
1). ?
3
24
2



dx
xx
x , Rx ; 2).  


?
532
68
24
3
dx
xx
xx , Rx ;
3).  

?
cos1
sin
2 dx
x
x
, Rx ; 4).   ?tgxdx , 






2
;
2

x ;
5).   ?
cos
1
dx
x
, 






2
;
2

x ; 6).  

?1
2
dx
xtg
xtg
, 






2
;0

x ;
7).    
  
?1sin2 1
2
cos2
dxexx x
, Rx ;
8).   ?
3
2
dxex x
, Rx ; 9).    ?
3
dxxtgxtg , 






2
;
2

x ;
10).   ?cossin
2
dxxx , Rx ; 11).   ?cossin
23
dxxx , Rx ;
12).  ?sin
3
dxx , Rx ; 13).  


?
cossin
cossin
dx
xx
xx
, 






4
;
4

x ;
14).    ?
42
dxxtgxtg , 






2
;
2

x ;
15).  ?
cos
sin
3
dx
x
x
, 






2
;
2

x ;

Primitive
16).  


?
1
1
2
dx
xtg
xtg
, 






4
;
4

x ; 17).  

?
1
3
dx
x
x ,  1;0x ;
18).  

?
1
4 dx
x
x , Rx ; 19).  

?
1
6
2
dx
x
x , Rx ;
20).  

?
1
4
dx
x
x ,  1;1x ; 21).  

?
1
2
dx
e
e
x
x
,  0;x ;
22).
  

?
ln1
1
dx
xx
,   ;ex ;
23).      ?sincossinsincos dxxxx Rx ;
24).  

?
cos1
2sin
4
dx
x
x ,  ;0x ; 25).
  

?
ln1
1
2 dx
xx
,   ;0x ;
26).   ?1
2
dxx , Rx ; 27).   ?23
2
dxxx ,   ;2x ;
28).   ?1
2
dxxx , Rx ; 29).   ?23
2
dxxx ,  2;1x ;
30).   ?49
2
dxx , 






2
3
;
2
3
x ; 31).   ?22
22
dxxxx , Rx ;
32).    ?1
3
dxxx ,   ;1x ; 33).  

?
1
1
2
dx
xx
,   ;1x ;
34).  ?
arcsin
2 dx
x
x
,  1;0x ; 35).  

?
1
1
24
dx
xxx
,   ;0x .
Exercitiul nr. 2 :
1).  

?
sin1
2sin
2 dx
x
x
, Rx ; 2).   ?2sinsin
2
dxxx , Rx ;
3).
 
 


?
1
12
24
2
dx
xx
xx
, Rx ; 4).  

?
1
2 dx
e
e
x
x
, Rx ;
5).
 
 

?
11 2 32
dx
xx
x
, Rx ; 6).    ?14
5
dxx , Rx ;
7).    ?1
3 42
dxxx , Rx ; 8).    ?23
7
dxx , Rx ;

Primitive
9).
 
 ?
ln
2
dx
x
x
, 0x ; 10).  

?
1
2 dx
x
arctgx
, Rx ;
11).   ?cossin
5
dxxx , Rx ; 12).    ?2ln
1 3
dxx
x
, 0x ;
13).   

?arcsin
1
1 4
2
dxx
x
,  1;0x ; 14).   ?cossin
45
dxxx , Rx ;
15).  ?cos
3
dxx , Rx ; 16).  ?sin
5
dxx , Rx ;
17).    ?sin1cos3cos
2
dxxxx , Rx ;
18).
 
 

?
1
1
5
dx
x
, 1x ; 19).
  

?
1
4 4
3
dx
x
x , Rx ;
20).
 
 

?
1arcsin
1
22
dx
xx
,  1;0x ; 21).
  

?
1ln
1
4
dx
xx
,  1;0x ;
22).
  

?
1
2
dx
e
e
x
x
, Rx ; 23).
 
 

?
15
1
2
dx
x
,







5
1
x ;
24).
  

?
53
2 4 dx
x
x , Rx ; 25).
  


?
43
16
2 2
dx
xx
x
, Rx ;
26).
   ?
ln
1
3
dx
xx
, 0x ; 27). ?23   dxx ,
3
2
x ;
28).  

?
2
1
3
dx
x
, 2x ; 29).   ?543 2
dxxx , Rx ;
30).  

?
1
4
3
dx
x
x
, Rx ; 31).   ?
sin
cos
dx
x
x
, 






2
;
2

x ;
32).  

?
sin1
2sin
2
dx
x
x
, 






2
;
2

x ; 33).   ?4 dxee
xx
, Rx ;
34).
  

?
arcsin1
1
2 dx
xx
,  1;0x ; 35). ?54   dxx ,







4
5
x ;
36).  

?
2
1
dx
x
, 2x ; 37).   ?13
32
dxxx , 1x ;
38).  

?
32
2
dx
x
x
, Rx ; 39).  


?
52
1
2
dx
xx
x
, 2x ;

Primitive
40).  

?
8
4
3 2
dx
x
x
, 22x ; 41).   ?2cos2sin xdxx , 






2
;
2

x ;
42). ?5sin15cos  dxxx ; Rx ; 43).  ?
cos
1
2
dx
xtgx
, 






2
;
2

x ;
44).   ?
cos
sin
3 2
dx
x
x
, 






2
;
2

x ; 45).    ?cossin43 3
4
dxxx , Rx ;
46).   ?ln1
1
dxx
x
, 0x ; 47).   ?52 dxx ,
2
5
x ;
48).   ?52 dxxx ,
2
5
x ; 49).  

?
12
1
dx
x
,
2
1
x ;
50).  


?
12
53
dx
x
x
,
2
1
x ; 51).  

?
32
1
dx
xxx
, 0x ;
52).
 
 

?
ln
1
dx
xxx
x
, 0x ; 53).  

?
2log3log 32
dx
x
xx
, 0x ;
54).  

?
1
1
dx
xx
, 0x ; 55).   ?122 dxxx , 1x ;
56).  

?
5
1
dx
x
, 5x ; 57).  

?
53
1
dx
x
,
3
5
x ;
58).  

?
4
2
dx
x
x
, Rx ; 59).  


?
2
36
2
dx
xx
x
, Rx ;
60).  

?
12
3
2
dx
x
x , 0x ; 61).  

?
53
dx
x
x
, 0x ;
62).  


?
53
42
dx
x
x
, 0x ; 63).  


?
4
35
2
dx
x
x
, Rx ;
64).  


?
4
35
2
dx
x
x
, 2x ; 65).  

?
14
dx
x
x
,
4
1
x ;
66).  


?
14
12
dx
x
x
,
4
1
x ; 67).  


?
5
43
2
dx
x
x
, Rx ;
68).  


?
9
2
2
dx
x
x
, 3x ; 69).  


?
4
123
2
2
dx
x
xx
, Rx ;
70).
 
 

?
cos2
sin
3
dx
x
x
, Rx ; 71).  


?
3cossin
cossin
dx
xx
xx
, Rx ;

Primitive
72).   ?
cos
2
dx
x
tgx
, 






2
;
2

x ; 73).  





 ?
1
ln
1
ln dx
xx
x , 0x ;
74).
 
  ?
lnsin
dx
x
x
, 0x ; 75).   ?
cos
dx
x
x
, 0x ;
76). ?5sin  xdx , Rx ; 77).   ?
4
cos dx
x
, Rx ;
78).
  

?
13sin
dx
x
x
, 0x ; 79).      ?lncosln1 dxxx , 0x ;
80).    ?sin
2
dxxx , 0x ; 81).  ?sin
2
dxx , Rx ;
82).  ?cos
2
dxx , Rx ; 83).  ?3sin
2
dxx , Rx ;
84).  ?4cos
2
dxx , Rx ; 85).   ?5cos3sin xdxx , Rx ;
86).  ?sin
3
dxx , Rx ; 87).   ?cossin
3
dxxx , Rx ;
88).   ?3sin xdx , Rx ; 89).  ?cos
3
dxx , Rx ;
90).   ?3cos xdx , Rx ; 91).    ?cos
2
dxxx , Rx ;
92).   ?cos
2
dxxx , Rx ; 93).    ?lncos dxx , 0x ;
94).
 
  ?
lncos
dx
x
x
, 0x ; 95).  

?
5
dxe
x
, Rx ;
96).   
?
7
6
dxex x
, Rx ; 97).   ?cos
sin
dxex
x
, Rx ;
98).  ?3
4
dx
x
, Rx ; 99).   
?5
2
dxx x
, Rx ;
100).  

?
14
dxe
x
, Rx ; 101).   ?2
1
dx
x
ex
, 0x ;
102).   
?1
4
3
dxex x
, Rx ; 103).   
?234
2
dxxe xx
, Rx ;
104).  

?
1
1
2 dxe
x
arctgx
, Rx ; 105).  


?
5
5
dx
x
e
x
, 5x ;
106).   ?2 dxe
xx
, Rx ; 107).  
 
?
10
52
11
dxx
xx
, Rx ;
108).  


?
1
1
3
dx
e
e
x
x
, Rx ; 109).   
?
2
3
dxxex , Rx ;
110).   
?
2
dxex x
, Rx ; 111).   
?
2
dxex
x
, Rx ;
112).    ?12
2
23
dxexxx x
, Rx ;

Primitive
113).  

?
23
1
2
dx
x
,
3
2
x ; 114).  

?
23
1
2
dx
x
, Rx ;
115).
 
 

?
912
1
2
dx
x
, 2x ; 116).
 
 

?
1
22
dx
bax
, Rx ;
117).  

?
sin4
cos
2
dx
x
x
, Rx ; 118).
  

?
1ln
1
2
dx
xx
, 0x ;
119).  

?
92
1
2
dx
x
,
2
9
x ; 120).  

?
92
2
dx
x
x
,
2
9
x ;
121).  

?
92
2
2
dx
x
x ,
2
9
x ; 122).  

?
75
1
2
dx
x
, Rx ;
123).  

?
75
2
dx
x
x
, Rx ; 124).  

?
75
2
2
dx
x
x , Rx ;
125).
 
 

?
251
1
2
dx
x
,  6;4x ; 126).
 
 

?
165
1
2
dx
x
, Rx ;
127).
 
 

?
329
1
2
dx
x
,  0;3x ; 128).  


?
1
2
1
dx
x
x
n
n
, Rx ;
129).  


?
1
2
12
dx
x
x
n
n
, Rx ; 130).  

?
1
4
dx
x
x , Rx ;
131).  

?
1
4
3
dx
x
x , Rx ; 132).  

?
1
8
3
dx
x
x , Rx ;
133).  

?
1
8
7
dx
x
x , Rx ; 134).  

?
sin4
cos
2
dx
x
x
, Rx ;
135).  

?
cos4
sin
2
dx
x
x
, Rx ; 136).  

?
5
4
2
dx
e
e
x
x
, 0x ;
137).  

?
5
2
dx
e
e
x
x
, 0x ; 138).
  

?
5ln
1
2
dx
xx
, 0x ;
139).  

?
126
1
2
dx
xx
, Rx ; 140).  

?
869
1
2
dx
xx
, Rx ;
141).  

?
544
1
2
dx
xx
, Rx ; 142).  

?
2
1
2
dx
xx
, Rx ;
143).  

?
542
1
2
dx
xx
, Rx ; 144).  

?
54
1
2
dx
xx
,  1;5x ;

Primitive
145).  

?
45
2
dx
xx
x
,  4;1x ; 146).  

?
33
2
dx
xx
x
, Rx ;
147).  


?
62
34
2
dx
xx
x
, Rx ; 148).  


?
1
1
2
dx
xx
x
, Rx ;
149).  

?
52
24
dx
xx
x
, Rx ; 150).  

?
3343
3
2
dxxx
x
, 0x ;
151).  

?
106
2
2
dx
xx
x , Rx ; 152).
 
 


?
43
1
2
2
dx
xx
x
, Rx ;
153).  

?
75
1
2
dx
x
,







7
5
;
7
5
x ; 154).  

?
43
1
2
dx
x
,
3
2
x ;
155).  

?
43
1
2
dx
x
, Rx ; 156).
 
 

?
316
1
2
dx
x
,  1;7x ;
157).
 
 

?
912
1
2
dx
x
,     ;12;x ;
158).  

?
9
6
2
dx
x
x ,  1;1x ; 159).  

?
54
1
2
dx
x
, Rx ;
160).  

?
54
1
2
dx
x
,












 ;
2
5
2
5
;x ;
161).  

?
45
1
2
dx
x
,







2
5
;
2
5
x ;162).  

?
2
10
4
dx
x
x
, 1x ;
163).  

?
1
4
dx
x
x
,  1;1x ; 164).
 
 

?
281
1
2
dx
x
,  7;10x ;
165).  

?
1
1
2
dx
x
,  1;1x ; 166).  

?
1
1
2
dx
x
,     ;11;x
167).  

?
1
2
dx
x
x
,  1;1x ; 168).  

?
1
2
2
dx
x
x
,  1;1x ;
169).  

?
cos9
2sin
4
dx
x
x
, Rx ; 170).  

?
1
2
dx
e
e
x
x
,  1;1x ;
171).  

?
1
2
dx
e
e
x
x
, Rx ; 172).  

?
ln4
1
2
dx
xx
 1;0x ;

Primitive
173).  

?
3
dx
e
e
x
x
, 1x ; 174).   ?
arcsin
dx
e
e
x
x
,  0;x ;
175).  

?
1
1
2
dx
xx
,   ;1x ; 176).  

?1
2
dx
x
x ,   ;1x ;
177).   ?49
2
dxx , 






2
3
;
2
3
x ; 178).   ?59
2
dxx , 1x ;
179).   ?216
2
  dxx ,  2;6x ; 180).    ?215
2
dxx , Rx ;
181).   ?161
2
dxx , 






4
1
;
4
1
x ; 182).   ?4
2
dxee
xx
, 1x ;
183).   ?sin9cos
2
dxxx , Rx ; 184).   ?91
2
dxx , 






3
1
;
3
1
x ;
185).   ?91
2
dxxx . 






3
1
;
3
1
x .

Primitive
 Definitia ffuunnccttiieeii rraattiioonnaallee :
- Fie I un interval din R ;
- Functia RIf : se numeste rationala daca exista doua polinoame P si Q cu
coeficienti numere reale , astfel incat :
    0 xQIx si    
 xQ
xP
xf 
 Definitia ffuunnccttiieeii rraattiioonnaallee ssiimmppllee :
- O functie rationala se va numi simpla daca este de una din urmatoarele forme :
1).   axaxaxaxf nn
nn
 

1
1
10 ..... ;
2).  
 ax
A
xf n

 , unde Nn
*
 ;
3).  
 cbxax
CBx
xf n


 2
, unde Nn
*
 si 04
2
 acb .
 TEOREMA ddee ddeessccoommppuunneerree aa ffuunnccttiiiilloorr rraattiioonnaallee :
- Afirma ca orice functie rationala se scrie , in mod unic , ca o suma finita de functii
rationale simple .
In consecinta , integrarea functiilor rationale se reduce la integrarea
functiilor rationale simple .

Primitive
La calculul integralei unei functii rationale pot aparea doua cazuri :
Daca in integrala
 
  dx
xQ
xP
, polinoamele QP, nu au radacini comune si grQgrP 
vom scrie
Q
P
ca o suma de functii rationale simple .
Daca :
a). Q are radacini simple , atunci        xxxxxxxQ n .....21 si functia
rationala    
 xQ
xP
xf  se poate scrie in mod unic sub forma :
 
xx
A
xx
A
xx
A
xf
n
n





 .....
2
2
1
1
b). Q are radacini multiple , de exemplu      xxxxxQ
mn
21  , atunci f se poate
scrie sub forma :
 
           xx
B
xx
B
xx
B
xx
A
xx
A
xx
Axf m
m
m
m
n
n
n
n
222111
1
11
1
11
......











 



c).  xQ se poate descompune sub forma :
     cxbxacxbxaxQ
n
22
2
211
2
1  ,
unde 04 11
2
1  cab , 04 22
2
2  cab
atunci f se poate scrie sub forma :
 
   cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xf n
nn
n
nn
22
2
222
2
222
2
211
2
1
1
112211
...











 


Primitive
Daca QP gradgrad  se imparte P la Q si atunci f se poate scrie :
     
 xQ
xR
xCxf 
unde :  xC si  xR sunt respectiv catul si restul impartirii .
Pentru determinarea coeficientilor , se aduce la acelasi numitor in membrul drept si se
pune conditia ca numaratorii celor doi membri sa coincida . Se obtine un sistemliniar in care
necunoscutele sunt coeficientii cautati ( metoda coeficientilor nedeterminati ).

Primitive
Exercitiul nr. 1 :
1).
   

?
231
1
dx
xx
,
3
2
x ; 2).
 
 

?
1
1
2
dx
xx
, 0x ;
3).  

?
1
4
4
dx
x
x , 1x ; 4).  

?
1
1
3
dx
x
, 1x ;
5).
   
 

?
21
2
dx
xx
x , 1x ; 6).
  


?
1
1
2
3
dx
xx
xx
, 0x ;
7).  

?
1
3
dx
x
x , 1x ; 8).  


?
1
1
23
4
dx
xxx
x , 1x .
Exercitiul nr. 2 :
1).  

?
32
1
2 dx
xx
, Rx ; 2).  


?
1
1
23
23
dx
xxx
xxx ,  0;x ;
3).
    


?
11
1
2 23
2
dx
xxx
xx
,  1;x ;
4).
    


?
231
1
23
2
dx
xxx
x
,  1;2 x ;
5).  


?
1
1
24
2
dx
xx
x , Rx ; 6).  


?
1232
1
234
2
dx
xxxx
x , Rx ;
7).
  


?
1
1
32
7
dx
xx
x
,  1;0x ; 8).
  

?
1
1
dx
xx
, 1x ;
9).
   

?
321
1
dx
xx
,
2
3
x ; 10).
   

?
21
1
dx
xxx
,   ;0x ;
11).
    

?
321
1
dx
xxxx
,   ;0x ;
12).  

?
1
1
3 dx
x
,   ;0x ; 13).  

?
1
4
2
dx
x
x
, Rx ;

Primitive
14).  


?
54
3
2
2
dx
xx
x , Rx ; 15).
   

?
13
2 dx
xx
x ,   ;0x ;
16).
  

?
1
1
2 2 dx
xx
,   ;0x .
Exercitiul nr. 3 :
1).  


?
23
12
2 dx
xx
x ,   ;2x ; 2).  

?
2
1
2 dx
xx
,  0;x ;
3).  

?
5
1
2 dx
xx
,   ;0x ; 4).  


?
65
4
2 dx
xx
x ,   ;3x ;
5).
 
 


?
1
2
3
dx
xx
x
,   ;1x ; 6).  


?
323
3
2
dx
xx
xx ,   ;1x ;
7).
   

?
21
2
dx
xxx
,   ;2x ;
8).
     


?
4321
75
2
dx
xxxx
xx
,   ;4x ;
9).  


?
65
95
2
2
dx
xx
xx ,  2;x ;
10).
    

?
321
dx
xxx
x
,   ;3x ;
11).  

?
2
1
2 dx
xx
,   ;1x ; 12).  

?
123
1
2 dx
xx
,   ;1x ;
13).  


?
65
1
23
3
dx
xxx
x ,   ;3x ;
14).
    

?
312
1
dx
xxx
  ;3x ;
15).
     


?
4321
1
2
dx
xxxx
xx
,   ;4x .

Primitive
Exercitiul nr. 4 :
1).
   
 

?
11
4
2 dx
xx
, 1x ; 2).  

?
1
43 dx
xx
, 1x ;
3).
   
 


?
11
132
2
2
dx
xx
xx , 1x ; 4).
   
 


?
21
152
3
23
dx
xx
xxx , 1x ;
5).
  

?
1
4
2 2 dx
x
x ,  1;1x ; 6).
   
 


?
11
24
23
23
dx
xx
xxx , 1x ;
7).
   
 


?
11
182
23
23
dx
xx
xxx , 1x ; 8).
  


?
1
23
2
2
dx
xx
xx , 1x ;
9).
   
 

?
42
22
2
dx
xx
x , 2x ; 10).
   
 


?
11
81
32
43
dx
xxx
xx , 1x ;
11).
  


?
1
27882
43
234
dx
xx
xxxx , 0x ;
12).  


?
2
152
23
2
dx
xxx
xx , 1x ; 13).  


?
23
15
3 dx
xx
x , 2x ;
14).  

?
1
24 dx
xx
, 1x ; 15).  


?
1
23
3
dx
xx
x , 1x ;
16).
   
 


?
13
965
22
2
dx
xx
xx , 1x ; 17).
  


?
103
78
2 2
2
dx
xx
xx
, 5x ;
18).
  

?
1
1
5 dx
xx
, 0x ; 19).
  

?
1
1
22
dx
xx
, 0x ;
20).
  

?
1
2 2
2
dx
x
x
,  1;1x ; 21).
 
 

?
1
100
2
dx
x
x , 1x ;
22). ?
23
2 

dx
xx
x , 1x ; 23).
     
 

?
321
1
32 dx
xxx
, 1x ;
24).
   
 

?
11
32 dx
xx
x , 1x ; 25).  


?
2
2
23 dx
xxx
x
, 1x ;
26).
 
 

?
1
5
2
dx
x
x
, 1x .

Primitive
Exercitiul nr. 5 :
1).  

?
1
1
2 dx
xx
, Rx ; 2).  

?
13
1
2 dx
xx
, Rx ;
3).  


?
54
3
2
2
dx
xx
x , Rx ; 4).  


?
1
1
24
2
dx
xx
x , Rx ;
5).  

?
1
1
6 dx
x
, Rx ; 6).
   

?
21
1
22 dx
xx
, Rx ;
7).  

?
23
4 dx
xx
x , Rx ; 8).  

?
45
24
4
dx
xx
x , Rx ;
9).  

?
1
2
4
dx
xx
x , Rx ; 10).  


?
1
4
45
dx
x
xxx , Rx ;
11).  

?
2
10
4
dx
x
x , Rx ; 12).  


?
1
1
4
2
dx
x
x , 0x .
Exercitiul nr. 6 :
1).
 

,
1
2 2 dx
x
x
Rx ; 2).
 


,
1
32
2 2
23
dx
xx
xxx
Rx ;
3).
 


,
1
2322
2 2
23
dx
xx
xxx
Rx ; 4).
 


,
33
673
2 2
2
dx
xx
xx
Rx ;
5).
 


,
2
1
2 2 dx
x
x
Rx ; 6).
 


,
52
12
2 2 dx
xx
x
Rx ;
7).
 

,
1
1
2 4 dx
x
Rx ; 8).
 

,
22
2 2 dx
xx
x
Rx ;
9).
 


,
54
1
2 2 dx
xx
x
Rx ; 10).
 
 


,
22
1
2 3
4
dx
xx
x
Rx ;
11).
 

,
1
2 3
5
dx
x
x
Rx ; 12).
 

,
1
1
2 2 dx
xx
Rx ;
13).
 

,
22
2 2
2
dx
xx
x
Rx ; 14).
 

,
1
1
2 3 dx
xx
Rx ;

Primitive
15).
 


,
1
25
2 5 dx
xx
x
Rx .
Exercitiul nr. 7 :
1). 


,1
3
2
dx
xx
xx   ;0x ; 2). 


,1
3
2
dx
xx
xx  0;x ;
3). 


,1
234 dx
xxxx
x   ;0x ; 4). 


,1
234 dx
xxxx
x  0;1x ;
5). 


,
1
13
2
dx
x
x   ;1x ; 6). 


,
13332
3
234
2
dx
xxxx
xx






 ;
2
1
x ;
7). 


,
2
14
234
2
dx
xxxx
xx   ;1x ;
8). 


,
44
122
234
2
dx
xxxx
xx   ;0x ;
9).
  

,
13
2 dx
xx
x
  ;1x ; 10).
  


,
11
12
2
2
dx
xxx
xx
  ;0x ;
11).
  


,
12
824
22
2
dx
xxx
xx
  ;0x ; 12). 

,
8
1
3 dx
x
  ;2x ;
13).
  

,
23
1
22 dx
xx
  ;3x ; 14). 

,
1
1
3 dx
x
  ;1x ;
15).
  

,
31
2 dx
xx
x
  ;1x ; 16).
  

,
31
2 dx
xx
x
  ;1x ;
17).
  

,
11
1
2 dx
xxxx
  ;0x .
Exercitiul nr. 8 :
1).
   


,
11
1
22
23
dx
xx
xxx   ;1x ; 2).
   


,
11
342
22
23
dx
xxx
xxx   ;1x
3). 


,223
35
3
dx
xx
xx   ;0x ; 4). 

 ,12
46
3
dx
xx
x   ;0x ;

Primitive
5).
   

 ,
11
354
23
2
dx
xxx
xx   ;1x ; 6).
   

,
542
1
22 dx
xxx
  ;2x
7).
 

,
1
1
24 dx
xx
  ;0x ; 8).
   


,
521
1053
22
3
dx
xxx
xx   ;1x ;
9).
   


,
11
23
23
2
dx
xx
xx   ;1x .
Exercitiul nr. 9 :
1).
   


,
11
12
2 2
2
dx
xx
xx   ;1x ; 2).
 


,
1
1
2 3
2
dx
xx
x   ;0x ;
3).
 


,
1
2
2 2 dx
xxx
x   ;0x ; 4).
   

,
11
4
2 2 dx
xx
x   ;1x ;
5).
   

,
41
1
22 2 dx
xxx
  ;0x ; 6).
 

,
1
1
10 2 dx
xx
  ;0x .
Exercitiul nr. 10 :
1).
 
 


,
1
1
2 22
2
dx
xx
x   ;0x ; 2).
   


,
11
5973
2 22
34
dx
xxx
xxx   ;1x ;
3).
 

,
1
1
4 2 dx
x
 1;x ; 4).
 

,
1
1
3 3 dx
x
  ;1x ;
5).
 

,
1
1
4 3 dx
x
  ;1x ; 6).
 

,
1
1
3 dx
xx
  ;0x ;
7).
   


,
11
23
2 22
2
dx
xxx
xx   ;1x .

Primitive

Daca functia de sub integrala este de forma :
 kk n
xxxR ,...,, 1
unde 2,  kNk ii , atunci punand tx
k
 , unde k este cel mai mic multiplu comun al
ordinelor radicalilor kkk n,...,, 21 se ajunge la oo iinntteeggrraallaa ddee ffuunnccttiiee rraattiioonnaallaa .
Exercitiul nr. 1 :
1).     ,11 dxxxx 0x 2).    ,3
dxxx 0x
3).
 

,
1
3
3
dx
x
x
0x 4). 

,
43 2
dx
x
xx 0x
5).  







 ,
11
4 3
dx
xx
0x 6).
 

,
1
dx
xx
x
0x
7). 

,3
dx
xx
x
1x 8).
 

,
1
1
33
dx
xx
1x
9). 

,
1
4
dx
xx
0x 10). 

,
11
1
dx
x
1x

Primitive
11). 

,
1
3
dx
x
x 1x 12). 


,
2
1
dx
xx
x
2x
13).
 

,
1
5 2
dx
xxx
0x 14). 

,
2
1
43
dx
xxx
0x
15). 

,
11 3
dx
xx
x
0x 16). 


,
1
1
3
dx
x
xx
0x
17). 

,
1
1
3
dx
x
0x 18). 

,
1
dx
x
x
0x
19).
  

,
12112
1
dx
xx
0x 20). 

,
11
1
dx
xx
1x
21). 

,
313
dx
x
x
3
1
x 22). 

,
2
2
dx
x
x 2x
23). 

,
4
dx
x
x
0x 24). 

,
2
3
3
6
dx
xx
x
0x
25).   ,313
dxx Rx 26). 

,
1
1
dx
xx
0x
27).    ,1
3
dxxx 1x 28). 


,
1
1
dx
x
x
0x
29).    ,11 dxxxx 1x 30).
   


,
11
1
3 2
dx
xx
1x
31).
 


,
1
3 2
dx
xxx
x
0x 32). 


,
2
2
3
3
dx
xx
xx
1x
33). 


,
1
1
3
dx
x
x
0x 34). 

,
11
1
dx
xx
0x
35). 

,
112
1
3
dx
xx
1x 36). 

,1
2
dx
x
x
1x

Primitive

I.
Daca functia de sub integrala este de forma :







n
dcx
bax
xR ,
atunci se face substitutia t
dcx
baxn 


, iar de aici
tca
bdt
x n
n


 ajungand in final la o
integrala asociata de functie rationala in t .
Exercitiul nr. 1 :
1). 


,
11
1
dx
xx
x
1x 2). 


,
1
11
dx
x
x
x
 1;0x
3). 


,
1
11 3 dx
x
x
x
0x 4). 



,
1
1
1
1 3 dx
x
x
x
1x
5). 

,
11
1
dx
xx
0x 6). 


,
4
22
4
22
dx
x
xx
 2;2x
7). 


,
11
11
dx
xx
xx
1x 8).
   


,
11
1
3 42
dx
xx
1x
9). 

,1
2
dx
x
x
0x 10). 


,
1
1
dx
x
x
x     ;11;x
11). 


,
1
13 dx
x
x
1x .

Primitive
II.
In cazul integralelor de tipul
 


,2
dx
cbxax
xPm
 xPm fiind polinom de grad m
Se scrie :
 
  ,
1
2
2
12


 


dx
cbxax
cbxaxxQdx
cbxax
xP
m
m
 (*)
unde  xQm 1
este un polinom de grad 1m cu coeficienti nedeterminati , iar  este un
parametru real . Se determina polinomul  xQm 1
si numarul  prin derivarea identitatii (*) .
III.
In cazul integralelor de tipul :
 


dx
cbxaxx
n 2
1

cu ajutorul substitutiei :
t
x


1
aceasta se reduce la tipul precedent .

Primitive
In cazul integralelor binome :
   dxbaxx n pm
, Qpnm ,,
calculul primitivelor functiilor binomiale se reduce la calculul functiilor rationale numai in
urmatoarele cazuri stabilite de Cebisev :
 Zp
Se face substitutia :
zx
r

unde r este multiplu comun al numitorului lui m si n .
 Z
n
m

1
zbax
sn

unde s este numitorul lui p .
 Zp
n
m

1
zbxa
sn
 
.

Primitive
Exercitiul nr. 1 :
1). 

,
2
2
3
dx
x
x
 2;2x 2). 


,
4
4
2
24
dx
x
xx
Rx
3). 

,
1
1
2
dx
xx
0x 4). 

,
1
1
22
dx
xx
0x
5). 


,
1
1
2
dx
x
x
Rx 6). 


,
2
14
2
dx
xx
x
2x
7). 

,
1
1
2
dx
xx
1x 8).
 


,
31
1
22
dx
xx
Rx
9). 

,1
2
dx
x
x
0x 10).
 


,
221
1
2
dx
xxx
1x
11). 

,
23
1
2
dx
xxx
2x 12).   ,45
2
dxxx 1x
13).
 



,
11
1
22
2
dx
xx
x
Rx 14).   ,2
23
dxxx Rx
15). 

,
122
22
dx
xx
x
Rx 16). 

,
42
2
3
dx
x
x  2;2x
17).
 


,
21
1
2
dx
xxx
  ;2x 18). 

,
4
2
2
dx
x
x  2;2x
19). 

,
45
2
2
dx
xx
x  5;1x 20). 

,
1
1
23
dx
xx
0x
21). 

,
123
1
2
dx
xxx






 1;
3
1
x 22). 

,
2
1
2
dx
xxx
0x
23). 

dx
x32
1
2
,
3
2
x 24). 

dx
xx 1
1
2
, 0x
25). 

dx
xx 1
1
2
, 1x 26).
 


dx
xx 11
1
22
, Rx

Primitive
27). 

,1
2
dx
xx
0x 28). 

,1
2
dx
xx
 1;0x
29). 

,
1
2
5
dx
x
x 1x 30). 

,
5
2
dx
xx
x  2;0x .
Exercitiul nr. 2 :
1). 

,
1
2
2
dx
xx
x
Rx 2). 

,
12
2
3
dx
xx
x 21 x
3).
 


,
21
1
25 dx
xxx
0x 4). 


,
1
2
2
2
dx
x
x
Rx
5). 


,
11
1
2
2
dx
xxx
xxx Rx 6).
 


,
231
1
2
dx
xxx
2x
7). 

,
14
1
2
dx
xx
Rx 8). 

,
34
1
2
dx
xx
 4;1x
9). 


,
1
2
23
dx
x
xx
Rx 10).
 


,
11
1
2
dx
xxx
1x
11). 


,
21
1
2
2
dx
x
x
Rx 12). 

,
1
1
2
dx
xxx
Rx
13). 

,22
2
dx
x
xx
0x 14).
 
,
542
54
2
2
2
dx
xxx
xx



Rx
Exercitiul nr. 3 :
Fie   ;0a . Sa se calculeze :
1).   ,22
dxax Rx 2). 

,
22
dx
x
ax
0x
3). 

,
22
dx
x
ax
ax  4).   ,22
dxxa  aax ;
5).   ,222
dxaxx Rx 6).
 


,
1
22 3
dx
ax
Rx

Primitive
7). 

,1
22
dx
xa
ax  8).   ,22
dxax ax 
Exercitiul nr. 4 ( Duca )
Fie baRba  ,, . Sa se calculeze :
1).
  


dx
axxb
1
,  bax , 2).     dxxbax ,  bax ,
3).     dxxbax , ax  4).     dxxbax , bx 
Exercitiul nr. 5 ( Duca )
Sa se calculeze :
1). 

,
13 4
dx
x
x
0x 2).
 

,
1 3
2
dx
x
x
0x
3). 

dx
x
x
3 2
1
, Rx 4).   ,33 3
dxxx 3x
5). 

,
1
dx
xx
x
 1,0x 6). 

dx
x
x
1
,  1;1x
7).   ,43 32
dxxx Rx 8). 

,
1
3
dx
x
x 0x
9). 

,1
3
dx
xx
0x 10). 

,1
3
3 2
dx
x
x 0x
11).    ,1 32
dxxx Rx 12). 

,1
3
dx
xx
0x
13).   ,1 dxx 0x 14). 

,
1
3
dx
x
x
0x
15).
 

,
1
3
3
dx
x
x
0x 16). ,
1
1


dx
x
Rx
17).
 


,
1
1
4
3 dx
xx
0x 18).    ,52
3 3
2
5
dxxx Rx

Primitive
19).  



  ,1 3
2 2
3
dxxx 1x 20).  



  


,1 3
4 8
5
2
1
dxxx 1x
21).   ,43
dxxx 0x 22).    ,13
2
dxxx 0x
23). 

,
13
dx
x
x
0x 24).
 

,
1
1
3
2
3 2
dx
xx
0x
25).   ,13 23
dxxx Rx 26). ,
1
1
3 2


dx
xx
0x

Primitive
Integralele de tipul
   dxcbxaxxR
2
,
se rationalizeaza prin ssuubbssttiittuuttiiiillee lluuii EEUULLEERR :

Daca ecuatia
0
2
 cbxax are radacinile reale x1 si x2
se face substitutia :
 xxtcbxax 1
2

sau
 xxtcbxax 2
2


Daca
0a , atunci
axtcbxax 2

Daca
0c , atunci
cxtcbxax 2

Primitive
Exercitiul nr. 1 :
1).
 


,
231
1
2
dx
xxx
2). 

,
221
1
2
dx
xx
3).
 


,
11
1
2
dx
xxx
4). 

,
65
1
2
dx
xxx
5).
 


,
11
2
dx
xxx
x 6). 

,
21
2
2
dx
xx
x
7). 

,
112
1
22
dx
xx
8).
 


,
11
1
22
dx
xx
9).
 


,
11
1
22
dx
xx
10).   ,2
dxxx
11).   ,22
2
dxxx 12). 


dx
xxx
xx
1
1
2
2
13). 


.
54
1
2
dx
xx
x
Exercitiul nr. 2 :
1). 

dx
xx 221
1
2
, 1x 2).
 


dx
xxx
2
11
1
,





 

2
51
;0x
3). 

dx
xxx 42
1
2
, Rx 4). 

dx
xxx 1
1
2
, Rx
5).
 


dx
xx
x
2
107
3
,  5;2x 6). 

dx
xx 121
1
2
,  21;0 x
7).
 


dx
xx
x
23
11
,  1;1x 8). 


xxx
xxx
2
2
11
1 , Rx

Primitive
9).   dxxxx 54
22
,  5;1x 10). 


dx
xx
x
43
1
2
11). 

dx
xxx 273
1
2
, 0x 12). 

dx
xxx 44
1
2
, 2x
13). 

dx
xxx 441
1
2
14). 

dx
xxx 65
1
2

Primitive
Cazul in care functiile au in structura functiile xx cos,sin la puterea intai :
Daca functia de sub semnul integrala este de forma :
 xxR cos,sin adica avem :   dxxxR cos,sin
unde  vuR , este o functie rationala
Atunci folosindu-ne de formulele trigonometrice :
2
1
2
2
sin
2 x
tg
x
tg
x

 si
2
1
2
1
cos
2
2
x
tg
x
tg
x



prin substitutia universala :
2
x
tgt 
se poate obtine o integrala asociata de functie rationala in t .
Intr-adevar :
t
t
x 2
1
2
sin

 ,
t
t
x 2
2
1
1
cos



iar din :
tx arctg2 
t
dt
dx 2
1
2


 Observatii :
Prezenta functiilor trigonometrice xx cos,sin la puteri mai mari conduce la functii
rationale mai complicate si deci calcule mai greoaie .

Primitive
Cazul in care functiile au in structura functiile xx cos,sin la puteri mai mari :
In astfel de situatii se recomanda scrierea functiei sub una din formele :

Daca
    xsincos,cos1xsincos,sin
2
~
2
~
xxRxxR 
se recomanda substitutia :
tx cos

Daca
    xcossin,sin1xcossin,cos
2
~
2
~
xxRxxR 
se recomanda substitutia :
tx sin

Daca
 xxR cos,sin
22
~
atunci se recomanda :
1). Trecerea de la patrate la cosinusuri de argument dublu dupa formulele :
2
2cos1
sin
2 x
x

 ,
2
2cos1
cos
2 x
x


sau
2). Substitutia
ttgx  cand arctgtx  
t
dt
dx 2
1 

iar :
t
t
xtg
xtg
x 2
2
2
2
2
11
sin



 ,
txtg
x 2
2
2
2
1
1
1
1
cos





Primitive

Daca
    dxxxxRxxR
nnnn
2sincos,sincos,sin
22
~
1212
~
1
atunci se recomanda exprimarea puterilor pare ale lui xx cossisin in functie de :
xt 2cos
Exercitiul nr. 1 :
1). 

,
cos3
1
dx
x
 ,x 2). 

dx
xsin1
1
2
, 






2
,
2

x
3). 

dx
xx 3cos2sin
1
,  ,x 4).
 

,
sin2cos2sin
1
dx
xxx







6
,0

x
5). 

,
sin1
sin
dx
x
x







2
,
2

x 6). 


,
cossin
cossin
2
dx
xx
xx







4
,
4

x
7). 


,
cos2sin
32
22 dx
xx
tgx






 ZkkRx
2



8). 

,
sincos
1
24 dx
xx







2
,0

x 9). 


,
cossin
cos3sin2
22
dx
xx
xx







4
,
4

x
10). 


,
sin21
1
2
2
dx
xaa
a







2
,
2

x , unde a este un numar real 10  a .
Exercitiul nr. 2 :
1). 

,
cossin
1
dx
xx







2
,0

x 2).   ,cossin
23
dxxx Rx
3).   ,sincos
23
dxxx Rx 4).   ,cossin
42
dxxx Rx

Primitive
5). 

,
cossin
1
24 dx
xx







2
,0

x 6).   ,cossin
55
dxxx 






2
,0

x
7). 

,
cossin
sin
dx
xx
x







2
,0

x 8). 


,
cos5sin4
cos3sin2
dx
xx
xx





2
,0

x
9).  ,sin
2
dxax RxRa  , 10).  ,cos
2
dxax RxRa  ,
11).    ,sin21
2
dxx Rx 12).    ,3sin1
2
dxx Rx
13).  ,cos
3
dxx Rx 14).   ,cossin
2
dxxx Rx
15).   ,cossin
2
22
dxxx Rx
17).   ,cossin
32
33
dxxx Rx
19).  ,
sin
cos
2
3
dx
x
x







2
,0

x 20).  ,
sin
1
dx
x







2
,0

x
21). 

,
cos35
1
dx
x







2
,0

x 22). 

,
cossin3
1
dx
xx
 2,0x
23). ,2sinsin dxxx  Rx 24). 

,
sin1
1
2 dx
x
 ,0x
25). 


,
cos2sin3
cossin
2
dx
xx
xx







2
,0

x 26). 

,
coscos1
sin
2
dx
xx
x







2
,0

x
27). 

,
cossin
sin
dx
xx
x







2
,0

x 28).  ,
4
dxxtg 






2
,0

x
29).   ,2
2
dxxtg 






2
,0

x 30). 


,
cossin
cossin
2
dx
xx
xx







2
,0

x
31).  ,3sin
2
dxx Rx 32).    ,cos21
2
dxx Rx
33).    ,2sin1
2
dxx Rx 34).  ,cos
4
dxx Rx
35).   ,cos3sin xdxx Rx 36).   ,5sin3sin xdxx Rx
37).   ,6cos3coscos xdxxx Rx 38).   ,cossin
22
dxxx Rx
39).   ,cossin
44
42
dxxx Rx
41).  ,sin
5
32
dxxx Rx
43).  ,cos
7
24
dxxx Rx
45).   ,sincos
32
dxxx Rx 46). 

,
cos
sin1
2
3
dx
x
x







2
;0

x

Primitive
47).  ,
cos
sin
4
3
dx
x
x







2
;0

x 48). 

,
sincos
1
3 dx
xx







2
;0

x
49). 

,
sincos
1
33 dx
xx







2
;0

x 50). 

,
sincos
1
44 dx
xx







2
;0

x
51).  ,
5
dxxtg 






2
;0

x 52).  ,1
8 dx
xtg







2
;0

x
53). 

,
sin45
1
dx
x
daca  ;0x ; si apoi pentru  2;0x
54). 


,
cos2
sin2
dx
x
x







2
;0

x 55). 

,
cossin
1
dx
xx







2
;0

x
56). 

,
cossin1
1
dx
xx







2
;0

x 57). 

,
sin
1
dx
tgxx







2
;0

x
58). 

,
cos4sin3
1
dx
xx







2
;0

x 59). 

,
3cos2sin
1
dx
xx
 ;x
60). 

,
cos53
1
dx
x
 ;x 61). 

,
cos7sin48
1
dx
xx
 ;x
62).
  

,
sin3sin2
1
dx
xx
 ;x 63). 

,
cos3sin1
1
dx
xx
 ;x
64).
  

,
cos3cos2
1
dx
xx
 ;x 65). 

,
cossin
1
44 dx
xx







2
;
2

x
66).  ,
sin
1
6 dx
x
 ;0x 67). ,cos1 dxx   2;0x
68).  ,
cos
sin
3
dx
x
x







2
;0

x 69). 

,
sin1sin
cos
2
dx
xx
x







2
;0

x
70).  ,
cos
sin
dx
x
x







2
;0

x 71). 

dx
xxe
x
x
cossin
sin
, 0x
72). 

dx
xxe
x
x
cossin
sin
, 






2
;0

x 73). 


,
cos2sin6
cos3sin5
dx
xx
xx







2
;0

x
74). 

 
,
lnsin
ln
2
cos2sin
12
dx
xxx
x
x
x
x
 2;1x 75). 


,
sincos
cos
dx
xxe
xe
x
x
 2;1x

Primitive
Exercitiul nr. 3 ( Duca ) :
1).   ,cossin
25
dxxx Rx 2). 

,
cos31
1
2 dx
x







2
;
2

x
3). ,
cos2
1


dx
x
 ;0x 4). 

,
sin1
1
2 dx
x







2
;
2

x
5). 

,
cossin
1
55 dx
xx







2
;0

x 6). 


,
cos1
32
2 dx
x
xtg







2
;0

x
7).  ,
5
dxxtg 






2
;
2

x 8). ,
cos3
1


dx
x







2
;
2

x
9). 

,
sin31
1
2 dx
x







2
;
2

x 10).  ,
cos
1
4 dx
x







2
;
2

x
11). 

,
2sinsin2
1
dx
xx







2
;0

x 12). ,
cossin
1


dx
xx







2
;0

x
13). 

,
2sin
1
dx
x
tgx







2
;0

x 14).  ,
sin
cos
4
2
dx
x
x







2
;0

x
15).  ,
sin
cos
2
dx
x
x  ;0x 16).
 


,
cossin
1
2 dx
xx







2
;0

x
17).  ,
4
dxxctg  ;0x 18).  ,
3cos
cos
dx
x
x







2
;0

x
19).  ,
cos
2sin
4 dx
x
x







2
;
2

x 20).  ,
sin
2cos
4 dx
x
x  ;0x
21). 

,
sin
cos1
2
3
dx
x
x  ;0x 22). 

,
cos2sin
1
22 dx
xx







2
;0

x
23).  ,
cos
1
dx
x







2
;
2

x 24). 

 ,
cossin
cossin
44 dx
xx
xx







2
;
2

x
1).  ,sin
4
dxx Rx 2).  ,
2
dxxctg  ;0x

Primitive
3).  ,
3
dxxtg 






2
;
2

x 4). 

,
cossin
1
2 dx
xx







2
;0

x
5).  ,
sin
cos
3
dx
x
x  ;0x 6). ,
sin
1
 dx
x
 ;0x
7). 


dx
x
xx
cos1
cossin
2
3
, Rx 8). 

,
3cos2sin
1
dx
xx
 ;x
9).  ,
sin
cos
3 dx
x
x  ;0x 10).  ,
5
dxxctg 






2
;0

x
11). 

,
5cossin2
1
dx
xx
 ;x 12). 


,
cos4sin3
cossin2
22 dx
xx
xx
Rx
13). 

,
sin2
1
dx
x
 ;x 14). 

,
cos2sin
sin
2
dx
xx
x







2
;0

x
15). 

,
cossin
1
66 dx
xx
Rx 16). 


,
2cos2sin
sin1
2
dx
xx
x







4
;0

x
17). 

,
cos2sin
1
22 dx
xx
Rx 18). 


,
sin1
cossin
4 dx
x
xx
Rx
19). 


,
cos1
sin1
dx
x
x







2
;
2

x 20). 

,
sin45
1
dx
x







2
;0

x
21).  ,
cos
sin
5
dx
x
x







2
;0

x 22). 

,
cossin
1
24 dx
xx







2
;0

x
1). 


,
cossin
cossin
3
dx
xx
xx







4
;0

x 2).  ,
2cos
sin
dx
x
x







4
;0

x
3). 

,
2cos2
cos
dx
x
x
Rx 4). 

,
sin1cos
sin
2
dx
xx
x







2
;
2

x
5).  ,
cos
sin
2
2
dx
xtgx
x







2
;0

x 6). 

,
2sin2
sin
dx
x
x







2
;0

x
7). 


,
cos2sin4
cossin
22
dx
xx
xx
Rx 8). 

,
cossin
1
53
dx
xx







2
;0

x

Primitive
Exercitiul nr. 6 ( Mihalca + Nita ) :
1). ,5cos dxx 2).  ,2xdxtg 3).   ,2
dxxtgx
4). ,cos
1
dxx
x
 5).
 

dx
x1cos
1
2
, 6).  ,
3sin
1
2 dx
x
7).   ,5sinsin xdxx 8).   ,cos3cos xdxx 9).   xdxx 5cos3sin ,
10).  ,
4cos
1
dx
x
11).  ,
8sin
1
dx
x
12).  ,sin
3
dxx
13).      ,sincossinsincos dxxxx 14).  ,cos
5
dxx
15).   ,cossin
2
dxxx 16).   ,cossin
23
dxxx 17). 

,
cos1
1
2 dx
x
18). 

,
cos1
2sin
4
dx
x
x
19).  ,
cos
sin
3
dx
x
x 20).    ,
3
dxxtgxtg
21).    ,
42
dxxtgxtg 22). 


,
1
1
2
dx
xtg
xtg
23).  ,
cos
2 dx
x
xtg
24).  ,
sin
2 dx
x
xctg
25). 

,
1cos
1
2
dx
xtgx
26). 

,
sin9
cos
2 dx
x
x
27). 

,
sin9
2sin
2 dx
x
x 28). 

,
2cos2
cos
dx
x
x
29).
 


,
2cos1
2sin
2
dx
x
x
30). 

,
coscos1
sin
2 dx
xx
x 31). 

,
1
2 dx
xtgxtg
xtg
32). 


,
cossin
cos3sin2
22
dx
xx
xx
33). 

,
cos2
sin
3
dx
x
x 34). 

,
sin3
1
dx
x
 ;x
35). 

,
sin54
1
dx
x
 ;x 36). 

,
cos35
1
dx
x
 ;x .

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