En esta presentación de FdeT estudiaremos los extremos de una función racional. Calcularemos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Además calcularemos las asintotas de la función.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: ESTUDIO DE FUNCIONES
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular los extremos de una función.
- Calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función.
- Calcular las asíntotas de una función.

2. ENUNCIADO:
Sea 𝑓 𝑥 =
𝑥2+3
𝑥2+2
a) Calcula las asíntotas de la función.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. ¿Tiene extremos relativos?
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3. a) Calcula las asíntotas de la función.
• Asíntotas horizontales:
Recordemos que las asíntotas horizontales son de la forma 𝑦 = 𝑘, donde
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝑘
Por tanto debemos calcular los dos límites en ±∞
lim
𝑥→+∞
𝑥2
+ 3
𝑥2 + 2
= lim
𝑥→+∞
𝑥2
𝑥2 +
3
𝑥2
𝑥2
𝑥2 +
2
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
1 +
3
𝑥2
1 +
2
𝑥2
=
1 + 0
1 + 0
= 1
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 1
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4. Tenemos que hacer también el límite:
lim
𝑥→−∞
𝑥2 + 3
𝑥2 + 2
= lim
𝑥→+∞
−𝑥 2 + 3
−𝑥 2 + 2
= lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 3
𝑥2 + 2
= 1
Por lo tanto la única asíntota horizontal es 𝑦 = 1
• Asíntotas verticales.
Recordemos que las asíntotas verticales son de la forma 𝑥 = 𝑘, donde
lim
𝑥→𝑘
𝑓 𝑥 = ∞
Tendremos que buscar los posibles valores para hallar el límite de entre los puntos que no
estén en el dominio de la función. Por lo tanto tenemos que hallar en primer lugar el
dominio.
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5. Como la función es una función racional, su dominio será el conjunto de todos los números
reales salvo los que anulan al denominador. Calculamos por tanto las raíces del denominador:
𝑓 𝑥 =
𝑥2
+ 3
𝑥2 + 2
𝑥2 + 2 = 0 𝑥2 = −2
Esta ecuación no tiene solución, por lo tanto el dominio de la función es ℝ
En consecuencia la función no tiene asíntotas verticales.
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6. • Asíntotas oblicuas.
Recordemos que si una función tiene asíntotas horizontales, entonces no tiene asíntotas
oblicuas. Haciendo uso de este hecho tenemos que nuestra función no tiene asíntotas
oblicuas.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. ¿Tiene extremos relativos?
Para estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, vamos a estudiar los signos de
la primera derivada.
Calculamos la derivada y hallamos las raíces.
𝑓´ 𝑥 =
2𝑥 𝑥2 + 2 − 𝑥2 + 3 2𝑥
𝑥2 + 2 2
=
2𝑥3 + 4𝑥 − 2𝑥3 − 6𝑥
𝑥2 + 2 2
=
−2𝑥
𝑥2 + 2 2
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7. Calculamos las raíces de la derivada:
−2𝑥
𝑥2 + 2 2
= 0 𝑥 = 0
A continuación estudiamos el signo de la primera derivada:
Por lo tanto se tiene que:
0
Signo f´(x)
𝑓´ −1 =
2
9
> 0 𝑓´ 1 =
−2
9
< 0
+ -
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8. • 𝑓(𝑥) es monótona creciente en −∞, 0
• 𝑓(𝑥) es monótona creciente en 0, +∞
• 𝑓(𝑥) tiene un máximo relativo en x=0, y vale 0, 𝑓 0 = 0,
3
2
FIN
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