El documento presenta la resolución de dos ecuaciones diferenciales. La primera ecuación tiene soluciones en la forma de y = c1 x^{-2} + c2 x^{-2} ln(x) y la segunda en la forma y = [c1 cos(√3/6 ln(x)) + c2 sin(√3/6 ln(x))] x^{-1/2}. Ambas se obtienen a través de la sustitución de y = x^m y el uso de derivadas.

1. Resuelve lassiguientesecuacionessegúnloestudiadola clase pasada:
a. 𝑥2 𝑦′′ + 5𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0
Solución:
Resolvemoslaecuacióndiferenciade lasiguientemanera;sea 𝑦 = 𝑥 𝑚 unasoluciónala ecuación
diferencialhomogénea,derivandodosvecesyreemplazandoenlaecuacióndiferencial dada
tenemosque:
𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 y 𝑦′′ = 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2
Reemplazandoenlaecuacióndiferencial,tenemos:
𝑥2[ 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2] + 5𝑥[ 𝑚𝑥 𝑚−1] + 4( 𝑥 𝑚) = 0
𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2+2 + 5𝑚𝑥 𝑚−1+1 + 4𝑥 𝑚 = 0 → 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚 + 5𝑚𝑥 𝑚 + 4𝑥 𝑚 = 0
[ 𝑚( 𝑚 − 1) + 5𝑚 + 4] 𝑥 𝑚 = 0
Como 𝑥 𝑚 ≠ 0, entoncestenemosque:
𝑚( 𝑚 − 1) + 5𝑚 + 4 = 0 → 𝑚2 − 𝑚 + 5𝑚 + 4 = 0 → 𝑚2 + 4𝑚 + 4 = ( 𝑚 + 2)2 = 0
Por loque tenemosdosraíces iguales ( 𝑚1 = 𝑚2 = −2) ylasoluciónesde la forma:
𝒚 = 𝑪 𝟏 𝑿−𝟐 + 𝑪 𝟐 𝑿−𝟐 𝐥𝐧(𝒙)

2. b. 3𝑥2 𝑦′′ + 6𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0
Solución:
Resolvemoslaecuacióndiferenciade lasiguientemanera;sea 𝑦 = 𝑥 𝑚 unasoluciónala ecuación
diferencialhomogénea,derivandodosvecesyreemplazandoenlaecuacióndiferencial dada
tenemosque:
𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 y 𝑦′′ = 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2
Reemplazandoenlaecuacióndiferencial,tenemos:
3𝑥2[ 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2] + 6𝑥[ 𝑚𝑥 𝑚−1] + ( 𝑥 𝑚) = 0
3𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2+2 + 6𝑚𝑥 𝑚−1+1 + 𝑥 𝑚 = 0 → 3𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚 + 6𝑚𝑥 𝑚 + 𝑥 𝑚 = 0
[3𝑚( 𝑚 − 1) + 6𝑚 + 1] 𝑥 𝑚 = 0
Como 𝑥 𝑚 ≠ 0, entoncestenemosque:
3𝑚( 𝑚 − 1) + 6𝑚 + 1 = 0 → 3𝑚2 − 3𝑚 + 6𝑚 + 1 = 0
3𝑚2 + 3𝑚 + 1 = 0
Resolviendoporlaecuacióncuadráticatenemosque:
𝑚 =
−3 ± √9 − 4(3)(1)
2(3)
=
−3 ± √9 − 12
2(3)
=
−3 ± √−3
2(3)
=
−3 ± √3𝑖
2(3)
Por loque tenemosdosraíces diferentesconjugadas (𝑚1 = −
1
2
+
√3𝑖
6
y 𝑚2 = −
1
2
−
√3𝑖
6
) yla
soluciónesde laforma:
𝒚 = [ 𝑪 𝟏 𝐜𝐨𝐬(
√ 𝟑
𝟔
𝒍𝒏𝒙) + 𝑪 𝟐 𝐬𝐢𝐧(
√ 𝟑
𝟔
𝒍𝒏𝒙)] 𝒙−
𝟏
𝟐