SEMESTRE AGOSTO 2011 -ENERO 2012

1. GUÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL PARA EL EXAMEN SEMESTRAL.
INDICACIONES generales para el semestral: los procedimientos y operaciones son indispensables en la solución
de cada problema. La resolución del problema debe ser clara, legible y coherente, nada de borrones o
ambigüedades. De no cumplir con esto, tu respuesta NO se tomará en cuenta.
UNIDAD UNO
Se te presentan a continuación tres gráficas.
En orden: una función cúbica, una cuadrática y una lineal, calcula el límite que se te indica para cada una de
ellas, puedes
Ejemplo resuelto: práctica:
lim  x3  x  2   (2)3  (2)  2  8 lim  x 2  2   lim  x  2  
x 3
x 0
x 2
2.5 7
También usando la 10
2
gráfica, lo resuelves, 6
8
sin necesidad de 1.5
5
operaciones, solo 6 1
busca el valor de y 4
0.5
para la x dada, donde 4
0 3
corte a la curva. 2 -3 -2 -1 0 1 2 3
-0.5 2
0 -1
1
-4 -2 0 2 4
-2 -1.5
0
-2
-4 -6 -4 -2 0 2 4 6
-2.5 -1
-6
-2
-3
0
“En el cálculo de límites, cuando intentamos la sustitución directa de “x” y llegamos a un resultado tal como 0 , decimos
que es una forma INDETERMINADA, entonces se tiene que intentar una factorización para encontrar el límite”.
DEMUESTRA los resultados de evaluar los siguientes límites.
Ejemplos resueltos: lim 3x  6 =9

lim 2 x3  5 x  6 =12
x 2
 x 5
 2(2)3  5(2)  6
 2(8)  10  6
 16  10  6
 12
x5 x 8 1
lim =no existe lim =
x 3 x 2  9 x 8 x  64 16
2
(3)  5

(3) 2  9
2
 
0
 no _ existe

2. x2  4 1
lim = 
lim =4
x 2 x2 x 0 x
(2)2  4 0 Se intenta primero la
  sustitución directa de x
(2)  2 0 Si llegamos a un resultado
indeterminado
( x  2)( x  2)
  ( x  2) Entonces tenemos que
FACTORIZAR
( x  2)
 (2)  2  4 Y volvemos a hacer la sust.
directa
Límites al infinito y en el infinito
1 1
Siempre ten en cuenta que: = 0 y también que: =  = no existe.
 0
Evalúa los siguientes límites en el infinito (recuerda que se harán los cálculos considerando solo los términos
significativos de cada expresión).
*en los ejercicios se están proporcionando los resultados para que compares.
ejemplo:
x2  9 1 5 x3  4 x  6 1
lim = =0 Nos quedamos solamente con los
lim =
x  x  27  x  25 x 3  x  1
3 términos que contengan a la x con el
exponente más elevado 5
x 2 Simplificamos la expresión

x3
1
 Entonces, ya cuando esté lo más
simplificada posible
x
1 Sustituimos x por el valor indicado () y
 0
( )
encontramos el resultado.
x2  5 14 x 2  5 x  3
lim = No existe=  lim =2
x  x  5 x  7 x 2  6 x  1

3. Leyes de exponentes
a) convierte a su exponente en forma fraccionaria las siguientes raíces:
1 7
4
xx 4
y
3
x7  x 3
5
x3  5
x6 
b) convierte a su forma de raíz las siguientes expresiones.
9 4
ejemplo: 4
 9x 5
 9 5 x4
5
x
4 4 1
x 7
 x 9
 4

7
x

4. Usando las reglas de derivación encuentra la derivada (y’) de cada función.
1
3 5 14
yx y  yx2 y 3 x y x
4 3
y'  y'  y'  y'  y' 
10 x 2
y   3x   7 x 2 
3 4
y x 3 y
4 5x
y'  y'  y' 
Calcula la tercera derivada de la función: REGLAS DE DERIVACION
y  ( x  5)4 d
uv  uv ' vu '
REGLA DEL PRODUCTO dx
d n
������ ′ = u   nu n 1 u '
REGLA DE LA CADENA dx  
d
������ ′ ′ = u  v  w  u ' v ' w '
REGLA DE LA SUMA dx
d  u  vu ' uv '

������ ′ ′′ =
REGLA DEL COCIENTE
dx  v 
  v2
Determina la cuarta derivada de la función Determina la cuarta derivada de la función
y  25x4  5x3  10 x2  x  3 yx
9
2
������ ′ = ������ ′ =
������ ′ ′ = ������ ′ ′ =
������ ′ ′′ = ������ ′ ′′ =
������ ������������ = ������ ������������ =

5. Aplicaciones de la derivada
Problemas de aplicación mediante DERIVADAS. Lee e interpreta los datos para contestar cada
pregunta.
Un cañón está situado en lo alto de una colina cuya altura es de 300m. El cañón es disparado con una velocidad
de 48 m/s.
La función que describe la trayectoria de la bala es
Vo= 48 m/s
300 m
1.- La velocidad de la bala es:
A. Se mantiene constante en cualquier punto de su trayectoria.
B. Variable y se encuentra derivando la función de la posición.
C. Siempre igual a cero.
D. Cada vez mayor al transcurrir el tiempo.
2.- Determina una función que describa la velocidad en cualquier instante del recorrido de la bala:
ds
A.  V  48t  6
dt
ds
B. V  0
dt
ds
C.  V  48  6t
dt
ds
D.  V  42t
dt
3.- ¿Cómo es la velocidad en la parte más alta del recorrido de la bala?
A. v=0
B. Alcanza velocidad máxima.
C. 48 m/s
D. 3 m/s
4.- ¿Cuánto tiempo le toma a la bala llegar a la altura máxima? (procedimiento obligatorio).
A. 42 segundos
B. 3 segundos
C. 8 segundos
D. 6 segundos
5.- ¿Cuál es la altura máxima? (procedimiento obligatorio).
A. 480 m
B. 492 m
C. 300 m
D. 308 m
Recuerda traer un par de lápices para el examen, borrador y, en el caso que la necesites, también una
calculadora. Preferentemente contesta el examen con lápiz.
SUERTE en SEMESTRALES!!!!
Elaboró: DALIA LEIJA