Este documento presenta 10 problemas de combinatoria y probabilidad para resolver. Los problemas incluyen calcular variaciones y permutaciones, resolver ecuaciones, encontrar el número de formas posibles de distribuir premios o extraer bolas de una bolsa. También incluye desarrollar expresiones como potencias.

1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
13 Combinatoria
1. Calcula n sabiendo que:
a) Vn,3 ϭ Vn,4 b) Vn,4 ϭ 4Vn Ϫ 1,3 c) Vn,4 ϭ 20Vn,2 d) V11,n ϭ 7 920
2. Escribe los tres primeros y los tres u´ltimos factores del desarrollo de las siguientes expresiones:
a) Vm ϩ 1,n b) Vm ϩ 1,n ϩ 1 c) Vx ϩ 3,y Ϫ 1 d) V2x ϩ 1,x Ϫ 2
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) Px ϭ 72Px Ϫ 2 b) Px ϩ 1 ϭ 132Px Ϫ 1
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5Cx,3 ϭ 8Cx Ϫ 1,4 b) 2Cx,4 ϭ 2Cx,3 Ϫ Cx,2
5. ¿Cua´ntos nu´meros de cinco cifras se pueden escribir con los dı´gitos 1, 2, 3, 4 y 5 sin que se repita ninguno?
¿Cua´ntos empiezan por 3? ¿Cua´ntos empiezan por 3 y terminan en 5?
6. El nu´mero de variaciones de cierto nu´mero de elementos, tomados de cinco en cinco, es igual que el de las
variaciones de los mismos elementos, tomados de cuatro en cuatro. Halla el nu´mero de elementos.
7. ¿De cua´ntas maneras se pueden sentar siete personas en un banco? ¿Y en una mesa redonda?
8. ¿Cua´ntos nu´meros mayores que un millo´n pueden formarse con los dı´gitos 0, 2, 2, 3, 3, 3 y 4?
9. Una bolsa contiene 8 bolas blancas y seis negras. ¿De cua´ntas maneras diferentes se pueden extraer siete bolas,
de forma que haya 5 blancas y 2 negras?
10. En un concurso literario hay asignados tres premios distintos para los tres mejores trabajos presentados. Si
participan doce concursantes, ¿de cua´ntas maneras puede hacerse la distribucio´n de premios?
11. Desarrolla las siguientes potencias:
a) (3 Ϫ x)5
b) (x ϩ 1)8
Algoritmo Matema´ticas aplicadas a las CC.SS. II – 2.o
Bachillerato Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. a) Vn,3 ϭ Vn,4
n(n Ϫ 1)(n Ϫ 2) ϭ n(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)(n Ϫ 3) K
K n Ϫ 3 ϭ 1 K n ϭ 4
b) Vn,4 ϭ 4Vn Ϫ 1,3
n(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)(n Ϫ 3) ϭ
ϭ 4(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)(n Ϫ 3) K n ϭ 4
c) Vn,4 ϭ 20Vn,2
n(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)(n Ϫ 3) ϭ 20n(n Ϫ 1) K
K (n Ϫ 2)(n Ϫ 3) ϭ 20 K n ϭ 7
(n ϭ Ϫ2, no tiene sentido)
d) V11,n ϭ 7 920 ϭ 11 · 10 · 9 · 8 ϭ V11,4 K
K n ϭ 4
2. a) Vm ϩ 1,n ϭ (m ϩ 1) · m · (m Ϫ 1) ... (m Ϫ n ϩ 4) ·
· (m Ϫ n ϩ 3) · (m Ϫ n ϩ 2)
b) Vm ϩ 1,n ϩ 1 ϭ (m ϩ 1) · m · (m Ϫ 1) ...
... (m Ϫ n ϩ 3) · (m Ϫ n ϩ 2) · (m Ϫ n ϩ 1)
c) Vx ϩ 3,y Ϫ 1 ϭ (x ϩ 3) · (x ϩ 2) · (x ϩ 1) ...
... (x Ϫ y ϩ 7) · (x Ϫ y ϩ 6) · (x Ϫ y ϩ 5)
d) V2x ϩ 1,x Ϫ 2 ϭ (2x ϩ 1) · 2x · (2x Ϫ 1) ...
... (x ϩ 6) · (x ϩ 5) · (x ϩ 4)
3. a) x(x Ϫ 1) ϭ 72 K x ϭ 9 (x ϭ Ϫ8 no es
va´lida).
b) (x ϩ 1)x ϭ 132 K x ϭ 11 (x ϭ Ϫ12 no es
va´lida).
4. a) 5Cx,3 ϭ 8Cx Ϫ 1,4
5 · ϭ
x(x Ϫ 1)(x Ϫ 2)
3 · 2 · 1
ϭ 8 · K(x Ϫ 1)(x Ϫ 2)(x Ϫ 3)(x Ϫ 4)
4 · 3 · 2 · 1
K 5x ϭ 2(x Ϫ 3) (x Ϫ 4) K
K 2x2
Ϫ 19x ϩ 24 ϭ 0 K x ϭ 8;
(x ϭ no es va´lida).
3
2
b) 2Cx,4 ϭ 2Cx,3 Ϫ Cx,2
2 · ϭ
x(x Ϫ 1)(x Ϫ 2)(x Ϫ 3)
4 · 3 · 2 · 1
ϭ 2 · Ϫ Kx(x Ϫ 1)(x Ϫ 2) x(x Ϫ 1)
3 · 2 · 1 2 · 1
K (x Ϫ 2)(x Ϫ 3) ϭ 4(x Ϫ 2) Ϫ 6 K
K x2
Ϫ 9x ϩ 20 ϭ 0 K x ϭ 5; x ϭ 4.
5. P5 ϭ 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ϭ 120
Que empiecen por 3:
P4 ϭ 4 · 3 · 2 · 1 ϭ 24; (3 - - - -)
Que empiecen por 3 y terminen en 5:
P3 ϭ 3 · 2 · 1 ϭ 6; (3 - - - 5)
6. Vn,5 ϭ Vn,4 K
K n(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)(n Ϫ 3)(n Ϫ 4) ϭ
ϭ n(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)(n Ϫ 3) K n Ϫ 4 ϭ 1 K
K n ϭ 5
7. En un banco: P7 ϭ 7! ϭ 5 040
En una mesa redonda: PC7 ϭ P6 ϭ 6! ϭ 720
8. PR ϭ ϭ 420, son los nu´meros distin-
7!1,2,3,1
7
2! · 3!
tos que podemos formar con las siete cifras dadas.
PR ϭ ϭ 60, son los menores de un
6!2,3,1
6
2! · 3!
millo´n, es decir, los que tienen el cero a la izquierda.
Por tanto, mayores que un millo´n: 420 Ϫ 60 ϭ 360.
9. Grupos de 5 bolas blancas: C8,5 ϭ ϭ 56
8
΂ ΃5
Grupos de 2 bolas negras: C6,2 ϭ ϭ ϭ 15
6 · 56
΂ ΃2 2 · 1
Como cada grupo de bolas blancas se combina con
cada grupo de bolas negras, se obtienen:
C8,5 · C6,2 ϭ · ϭ 56 · 15 ϭ 840 maneras
8 6
΂ ΃ ΂ ΃5 2
diferentes.
10. Se trata de variaciones ordinarias: importa el or-
den de concesio´n de los premios; sin repeticio´n, y
una misma persona no puede recibir ma´s que un
premio.
V12,3 ϭ 12 · 11 · 10 ϭ 1 320
11. a) (3 Ϫ x)5
ϭ 35
Ϫ 34
x ϩ 33
x2
Ϫ
5 5 5
΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃0 1 2
Ϫ 32
x3
ϩ 3 x4
Ϫ x5
ϭ
5 5 5
΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃3 4 5
ϭ 243 Ϫ 405x ϩ 270x2
Ϫ 90x3
ϩ 15x4
Ϫ x5
b) (x ϩ 1)8
ϭ x8
ϩ x7
1 ϩ x6
12
ϩ
8 8 8
΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃0 1 2
ϩ x5
13
ϩ x4
14
ϩ x3
15
ϩ x2
16
ϩ
8 8 8 8
΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃3 4 5 6
ϩ x1
17
ϩ 18
ϭ x8
ϩ 8x7
ϩ 28x6
ϩ
8 8
΂ ΃ ΂ ΃7 8
ϩ 56x5
ϩ 70x4
ϩ 56x3
ϩ 28x2
ϩ 8x ϩ 1
Actividades de refuerzo Algoritmo Matema´ticas aplicadas a las CC.SS. II – 2.o
Bachillerato