Algebra(1) 4° 1 b

17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria ÁLGEBRA 4to. Año Secundaria
OBJETIVOS:
♦ Mediante ejercicios reconoce y aplica las leyes
exponenciales que rigen en la potenciación de
monomios.
♦ Mediante leyes reconoce las clases de exponentes
en la radicación de monomios.
♦ Relacione las leyes exponenciales de la
potenciación y radicación de monomios en la
resolución de ejercicios.
♦ El estudiante adquiere habilidad operativa y reduce
expresiones garantizando su correcta definición y
procedimientos.
INTRODUCCIÓN:
Veamos la necesidad e importancia de este capítulo a
través de algunos ejemplos.
Los números 10, 100, 1000, etc. juegan un papel muy
importante en la notación decimal y se llaman potencias
de 10. Un modo conveniente de indicar estas potencias
es mediante el uso de exponentes:
10000010x10x10x10x1010
1000010x10x10x1010
100010x10x1010
10010x1010
1010
5
4
3
2
1
==
==
==
==
=
y así sucesivamente; leemos 5
10 como “diez a la
quinta potencia”. El numeral 5 en 5
10 se llama
exponente.
La mayor utilidad de estas formas exponenciales está en
el trabajo científico, debido a la necesidad de
simplificar los cálculos con números muy grandes o
números pequeños. Citamos los siguientes ejemplos:
I. La estrella más cercana, alfa Centauri, está a
25.000.000.000.000 millas de la tierra que puede
simplificarse diciendo Alfa Centauri está a 25.
12
10 millas de la tierra.
II. Entre los años 1908-1917, el físico norteamericano
Robert Andrews Millikan dedujo que la carga
negativa del electrón es -1,60.10 19− C, del
mismo modo su masa es 9,11.10 28− g.
III. En la teoría molecular de la materia, Amadeo
Avogadro determina una constante llamándola el
número de Avogadro, cuyo valor es 6,02. 23
10
(602 seguido de 21 ceros).
IV. El radio del núcleo del urano -235 es
aproximadamente 7,0.10–5 °A , siendo cada
°A = 8
10 − cm.
Vemos la gran utilidad de esta forma exponencial
en el trabajo científico.
Para finalizar, planteamos el siguiente problema de
astronomía. Se acostumbra describir las distancias entre
las estrellas mediante unidades llamadas años luz. Por
definición, un año luz es la distancia que recorre la luz
en un año (365 días). Si la luz viaja con una velocidad
de 3,1. 5
10 km/s. aproximadamente ¿Cuántos km hay
en un año luz?
DEFINICIONES PREVIAS
EXPONENTE NATURAL
Es el exponente entero y positivo que nos indica el
número de veces que se repite una expresión como
factor.
Ejemplos :
1. 
veces6
6
5........5.55 =
2.
72
veces72
y
x
y
x
...
y
x
y
x








−=







−







−







−
  
3.
1n43
veces1n4
333
xyxy...xy.xy
−
−




=
   ; 4n -
1 ∈ N
4.
43
4
veces43
444
y
x
y
x
...
y
x
.
y
x








=
  
5.
7q3p23
veces)7q3p2(
333
p
x
p
x
...
p
x
p
x
−+
−+








=
























  
;
(2p + 3q - 7) ∈ N
En general :





≥∈
=
= 2n;NnSia......a.a
1n:Si;a
a
veces"n"
n

N es el conjunto de los números naturales.
R es el conjunto de los números reales.
EXPONENTE CERO
Todo número diferente de cero elevado al exponente
cero es la unidad.
0aRa;1a
0
≠∧∈∀=
Ejemplos:
1. ( ) 124
0
=+−
2. ( ) 12
0
=+π
3. ( ) 115yx
022
=++
4. nObservació
1425
1)425(
0
0




−=−
=−
Ejemplo:
( ) 02228
0)44(164
3
=−=− +−+− →
dicha
expresión no está definida
EXPONENTE NEGATIVO
Nos indica que la base diferente de cero se invierte
(inverso multiplicativo).
}0{Ra;
a
1
a
1
−∈∀=
−
TEOREMA
Nn0a
a
1
a
n
n
∈∧≠∀=−
Ejemplos:
a)
9
1
3
1
3
2
2
==−
b) ( )
64
1
64
1
)4(
1
4
3
3
−=
−
=
−
=− −
c) 648
8
1 2
2
==





−
d)
3
2
1
2
5
1
5
3 





−






=
−
EXPONENTE FRACCIONARIO
El exponente fraccionario se expresa como los
radicales, donde el denominador de dicho exponente
representa el índice del radical.
S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
I
LEYES
NOTA:
( )( ) ( ) ( ) 27
veces)27(
xyxy...xyxy
+
+
≠
  
No tiene sentido ya que ( 27 + ) no es un
número natural.
NOTA:
0
0 es indeterminado
NOTA:
n
0 − no esta definido en (n ∈ N)

2nNn;aaa
mnn mn
m
≥∧∈∀==
Ejemplos:
1. 86444 32/3
===
2. 10242888 10
1033 103/10
====
3. 273818181 3
344 34/3
====
4. Calcular : 1
2
4
−
−
Resolución:
Usando las definiciones de exponente negativo y
fraccionario, se tiene :
2
1
4
1
4
1
4 2
1
2 1
==





=
−
−
5. Reducir :
22
16
9
27
−−
−
Resolución:
Es equivalente a :
2
2
1
16
1
9
1
27


















Se reduce de dos en dos de arriba hacia abajo,
como sigue :
*
4
1
2
1 2
=





*
2
1
16
1
16
1 4
4/1
==





*
3
1
9
1
9
1 2/1
==





Finalmente : 32727 33/1
==
POTENCIACIÓN
DEFINICIÓN:
Es una operación matemática que consiste en hallar una
expresión llamada potencia, partiendo de otras dos
llamadas base y exponente respectivamente.
Identidad fundamental
Rp;Nn;Ra;aP
n
∈∈∈=
Donde : a : base
n : exponente natural
p : potencia
TEOREMA 1
Rx;xx.x
nmnm
∈=
+
Demostración:

vecesnvecesm
nm
x...x.x.x...x.xx.x −
→
nm
veces)nm(
nm
xx...x.xx.x +
+
==

Ejemplos:
1. 18765765
aaa.a.a == ++
2. n......321n32
xx.....x.x.x ++++
=
Pero : 1 + 2 + 3 + ..... + n =
2
)1n(n +
→
2
)1n(n
n32
xx.....x.x.x
+
=
3. ¿ 
veces)12(
12
x...x.xx
+
+
=
?
¿Por qué? ................................................................
TEOREMA 2
Nn,mRx;x)x( n.mnm
∈∧∈=
Demostración:
( )
  
  
vecesn
m...mm
vecesn
mmmmnm
xx...x.x.xx
+++
==
→ ( ) n.mnm
xx =
Ejemplos:
1.
( ) ( ) 2715125.34.35343
xx.xx.xxx ===
2. ( ) !5050....3.2.1
50432
xx...x... ==














3.
( ) )15)...(14(15
1514131415
x.....x...
−−
−−−
=
























= 1x0
=
∀ x ≠ 0
TEOREMA 3
NnRb,a;ba)b.a( nnn
∈∧∈=
Demostración:
( )   
vecesn
n
)ab)......(ab)(ab)(ab(b.a =
= 
vecesnvecesn
b....b.b.a...a.a.a
= nnn
b.a)b.a( =
Ejemplos:
1. 555
y.x)y.x( =
2. 2166)3.2(32 3333
===
3. ( ) ( ) ( ) ( )168167161687
zyxxyx =
4. ( )4n
44
n
c
b
a
c
b
a






=











TEOREMA 4
( ) n.bn.anba
yxy.x =
Ejemplos:
1. ( ) ( ) ( ) 28357475745
yxyxy.x ==
2.
( ) 4682.22.32.42234
caxc.a.xcax ==
TEOREMA 5
nmNn,m;a
a
a nm
n
m
≥∧∈=
−
a ∈ R - {0}
Demostración:
NOTA: 1 .2.3.....50 = 50!
Se llama factorial de 50
NOTA:
(-15) (-14) ... (-1)(0)(1) ...(15) = 0

nm
n
nnm
n
n)nm(
n
m
a
a
a.a
a
a
a
a −
−+−
===
Ejemplos:
1. 1622
2
2 41620
16
20
===
−
2.
x10)x53()x53(
x53
x53
aa
a
a
==
−−+
−
+
TEOREMA 6
}0{RbNn;
b
a
b
a
n
nn
−∈∧∈=





Ejemplos :
1.
n
n
n
nn
b
a
)b(
)a(
b
a
β
α
β
α
β
α
==








2. 100
40
602
20
30
2
2
2
2
2
==








−−
3.
( )
( )
( )
( ) x4
y6
y6
x4
2y3
2x2
2
y3
x2
a
b
b
a
b
a
b
a
===










−
−
−
−−
RADICACIÓN EN R
DEFINICIÓN:
Dados un número real “a” y un número natural n mayor
que 1, “b” se llama raíz n-ésima principal de a y se
denota por b = n
a sí y solo sí ab n
= , donde
a,b ∈R ∧ n ∈ N - {1} bajo la condición de que si n es
par, entonces a,b ∈
+
0R .
Así 2164
= ya que 1624
= (2 es la raíz
principal)
28
3
−=− puesto que 8)2( 3
−=−
(única en R)
Identidad Fundamental:
2n;Nn;xyxy nn
≥∈=⇔=
TEOREMAS DE RADICACIÓN
TEOREMA 1
Renb.ab.a
nnn
=
Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0
Ejemplos:
1.
64,5)4,1(42.162.1632 ====
Aproximadamente
2.
3 73 53 75
b.ab.a =
3. ¿ 23)2)(3( −−=−− ?
¿Por qué? ...........................................................
TEOREMA 2
0b;
b
a
b
a
n
n
n ≠=
Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b > 0
Ejemplos:
1.
2
3
16
81
16
81
4
4
4 ==
2. 28
2
16
2
16 33
3
3
===
3. ¿
2
3
2
3
2
3
−
=
−
=
−
?
¿Por qué? .............................................................
TEOREMA 3
Rn,m.aa n.mm n
∈=
Si : m . n es par → a ≥ 0
Ejemplos:
1. 242.4.3
3 4 2
xxx ==
2. ¿ 3 242 4
55 −=−
?
¿Por qué? .............................................................
RADICALES SUCESIVOS
p.m.nm.nnn m p
c.b.acba =
Ejemplos:
1. 5.3.43.444 3 5
7.2.5725 =
= 60124
7.2.5
2. 5.4.74.777 4 5
5.2.3523 =
= 140287
5.2.3
De la fórmula anterior : Si las bases a , b, c son iguales,
eso determina a una forma práctica de reducir.
Regla Práctica
I.
p.m.n p)m(
n m p
xxxx γ+β+αγβα
=
(x + x + x + .......)
Ejemplos:
1. 12 83.4 53.14 3 51
xxxx == +
2. 6 132.3 32.53 35
xxxx ==
+
3. 4.3.5 14)53.2(5 3 4 152
xxxx
++
=
= 60 45
x
4. 4 3 4314 3
2221682 =
24 253.4.2 43)34.1(
22 =++
II.
p.m.n p)m(n m p
xxxx γ+β−αγβα
=÷÷
(x - x + x - .......)
En los exponentes, los signos se alternan.
Ejemplos:
1. 8 52.4 1.2.34 2 13
xxxx ==÷
Corolario 1
n
nnn
a
b
a
b
b
a
=





=





−
∀ a . b ≠ 0
NOTA: Los teoremas expuestos y
demostrados para exponentes naturales,
pueden ampliarse a exponentes reales. Pero
para su demostración es necesario ya otros
elementos de matemática superior.

2.
=÷÷÷÷
11111
xxxxx
=
32 112.2.2.2.2 12}12]12)12.1{[(
xx =+−+−
3. 4.2.3 14)12.4(
3 4 114
xxxx
+−
=÷÷
= 24 29
x
Ejemplos:
1.
5 45.3 4.3
xx =
2. 663.2 32.3 23
27.43.232 ==
= 6
27.4
= 6
108
Analice cada una de las siguientes preguntas:
a) ¿ 7 37.2 3.2
)5()5( −=− ?
¿Porque? ...............................................................
b) ¿ ( )344/3
16)16( −=− ?
¿Porque? ...............................................................
c) ¿ 81)3(27)27(
4
433/4
=−=




 −=− ?
¿Porque? ...............................................................
d) ¿ 6/23/1
)8()8( −=− ?
¿Porque? ...............................................................
Ejemplos Aplicativos:
1. Hallar el exponente de “x”, luego de simplificar :
24
4 33
233
xx
x.xxx












; x > 0
Resolución:
Usando la regla práctica I
24
3.4 13.3
23.2.2 13).12.3(
x
x.x










+
++
=
24
12 10
212 22
x
x.x










=
24
212 12
24
212
10
22
x.xx.
x
x






=










= ( )242
x.x
= 72
x
Respuesta : El exponente final es 72.
2. Reducir :
( )
xxxx
x.xxx
45,03 4 3
÷÷÷
Resolución:
Aplicando las reglas prácticas I y II se tendrá
2.2.2.2 12)12)12.1((
4.5,02.4.3 12)34.1(
x
x.x
−+−
++
= 16
37
16
5
2
8
5
16 5
224 15
xx
x
x.x
==
−+
ECUACIONES EXPONENCIALES
Definición:
Aquella que la variables aparecen en el exponente
son expresiones trascendentales.
Formas:
I. nm
aa = a ≠ 0 (bases iguales)
→ m = n
II. ba
ba = a , b ≠ 0 (analogías)
→ a = b
Ejemplo : 2)2x(
2)2x( =+ +
x + 2 = 2
x = 0
III. mm
ba = a , b ≠ 0 (Exponentes Iguales)
→ a = b
Ejemplo : 55
3)2x( =+
x + 2 = 3
x = 1
IV. nb
ma = si b = n = 0 donde a,b ≠ 0
PRACTICA DE CLASE
01.Calcular el valor de:
( ) ( )
5,0
2334
2,0
3/53/2
2
1
3
1
5
1
4
1
81
2
2727
A
−
−−−−
−
−−
















−





−





−+











+−+−
=
a) 10 b) 7 c) –1/15
d) 15 e) 7-1
02.Simplificar:
( ) ( )
( ) ( )3xx5x
1x4x2x
222152
26225
++
−++
−−
+−
a) 7 b) 17 c) 13
d) 19 e) 5
03.Si: xX
= 2. Reducir:
x1x21x
x
++
a) 28
b) 26
c) s9
d) 24
e) 216
1n
n1
1n
14
14
S −
−
−
+
+
=
a) 2n
b) 3 c) 4
d) 5n
e) 1
05.Calcular “R” en:
( )














= 2 2
24R
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 – 1 e) N.a.
06.Simplificar la expresión:
Corolario 2
b cb.a ac
xx =
Si ab es par → x ∈
+
0R

( )
( )
1
n
1
n
1
.
n
1
........
n
1
n
1
n
1
factores1n
veces1n
n
1
E
n
1
.
n
1
......
n
1
n
1
n
1
−






−






























−
−
−






=






























−
  
  
a) n b) n – 1 c) 1/n
d) nn
e) n2n
07.Simplificar:
n n n n n nn4n3n2nn x....xxxxE =
a) x b) xn c) xn
d) - xn
e) nn
x
08.Reducir:
3
3
3
8192 84
3.2
a) 6 5
6 b) 6
12 c) 6
6
d) 5
6 e) 6
72
09.Al reducir:
12n
2n 1n 11n 2 xx
+
+ + −−








se obtiene
.x.x
5
Hallar 2n +
a) 3 b) 2 c) 6
d) 7 e) 5
10.Hallar el equivalente a:
1652/3
5 23 5
b.a
b.a
−
a) 6 6
ba b) 5
ba c) ab2
d) b2
e) a2
b
11.Indicar el exponente de x
x en: 3x
x
a) x2
b) 3 c) x3
d) 1 e) 4
12.Hallar su equivalente de: 12
2
+
a) 2 b) 2 -1 c) 2 +1
d) 1- 2 e) - 2
13.Calcular el valor de “E” en:
radicales........32:32:32:32E ∞=
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 32
14.Simplificar:
( )( ) ( )
( )( )( )294
336
301415
803521
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
15.Hallar el equivalente a:
n
1n
n
n
ab
ab










−
a) abn+1
b) a bn
c) ab
d) bab
n
e) an
bn+1
16.Reducir:
( )n2 3 32n432
aaa +−−
a) a n
a b) n
a
a
c)
n
1n
a
−
d) a y b e) b y c
17.Simplificar:
n n n 1n1n1n
..........bbb −−−
a) bn
b) b c) bn -1
d) bn-2
e) bn+ 1
1n
n1
1n
15
15−
−
+
+
+
a) 1/5 b) n
5 c) 1n
5
−
d) 5 e) 5
19.Después de simplificar:
n
nn2
n3n4
22
22
xx
xx
+
+
Se obtiene una expresión equivalente a x10
.
Calcular “n”
a) 1 b) 2 c) ½
d) 3 e) 5
20.Al reducir:
n n n n 4
nnnnn n432
x.....xxxx
Se obtiene 52n
.
Calcular x
a) 2 b) 3 c) 5
d) 5 e) 25
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Simplificar:
342
55
41548
24610
..
..
a) 2 b) 1/6 c) 5/6
d) 4/3 e) 3/8
02.Sea x>1 y además:
2xX XX
XX
=
Calcule:
x
X3
a) 2 b) 3 c) 8
d) 5 e) 7
03. Simplificar:
+
−−−
∈





++
+−
Rx;
xxx
xxx
2
753
753
a) x7
b) x3
c) x-2
d) x-5
e) x-20
04.Simplificar:
Nx;
.
.
n
nn
∈
−
+
++
3
24
22
222
a) 2 b) 3 c) 1/3
d) 1/2 e) 1/5
05.Si: 5=xx , indica el exponente de xa en:
a) 5 b) 3 c) 2
d) 4 e) 7
06.Si: 0≠xy , simplificar:
2
22
−
−− +
)xy(
yx
.a
21
43
4
8
yx
yx
.b
−
−
a) 6422 2 yx;yx + b)
23 y/x;yx +
c) y/x;yx 3− d)
y/x;yx +
e) 53 y/x;yx +

07.Si 2=yx , Calcule:
( ) ( ) ( ) 23 2
4
−− yyyyx .x.x x
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
08.Efectuar:
a. 63
2.2.2 b.
520
346
9.9
9.9.9
a) 2;3 b) 5,2 c) 7;2
d) 1;2 e) 4;2
09.Calcule:
33
034
)3)(3(
3.3
3
−−
a) 3 b) 2 c) 5
d) 1 e) 7
10.Calcule:
a.
1
12
1 2
4
221
3
16
9
7
2
3
1
−
−
−








+





+





+





−−
b. { } 0
121 5
93 272
−
− −−−
)(
a) 5;2 b) 1; 2 c) 2;3
d) 4;7 e) 5;9
11.Calcule:
a. .......+++ 666
b. .......πππ
c. 93333 .....
12.Si el exponente final de x es 7/4:
xx.x n ; 0>x
Calcule “n”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13.Calcule el valor de “x”, en:
3
422 xx. =
a) 2 b) –3/2 c) 1/2
d) 1/4 e) 5/3
14.Si se cumple que:
3xxxx = 3
Calcule: 63 63 xx xxxx +++
a) 21 b) 25 c) 37
d) 42 e) 28
15.Efectuar:
2
3
3
4
5
6
3
−
−
−
a) 1/2 b) 3/7 c) 1/4
d) 1/9 e) 3/91
TAREA DOMICILIARIA
01.El grado absoluto de la expresión:
4 4 4 4 3333
radical"n".........xxxx
es 15
Hallar el inverso de “n”
a) 1 b) – 3 c) 2
d) – 2 e) 3
02.Hallar la novena parte de:
2n
2nn
4
12x2
+
+
a) 6n
b) 3n
c) 2n
d) n e) 1
03.Reducir:
n
1
nnn
nnn
10x2310x2510x2
6x66.96








−+
−+
a) 1/6 b) 0,6 c) 2/3
d) 1/5 e) 1
04.Si: x = 3
3 . Hallar el valor de:
x
1
.3x
x
1
3x
x.x












a) 1 b) 3 c) 9
d) 27 e) 3
05. Simplificar:
G = (1/3)
-(1/3)
-1
- (1/2)
-(1/2)
-1
+ (1/4)
-(1/4)
1/2 1/2
a) 2b) 5 c) 3
d) 4 e) N.a.
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son igualdades relativas cuyas incógnitas
aparecen como exponentes.
Se entiende por igualdad relativa a aquella que se
verifica para algunos valores que se le asigne a
sus incógnitas.
TECNICAS DE CONVERTIBILIDAD
Las ecuaciones exponenciales se convierten en
ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que
enseguida se enuncian y describen
1º Conseguir una ecuación donde queden igualadas dos
potencias que tengan la misma base.
yxaa yx
=⇒=
Ejemplo: Resolver: 9x-2
= 3x+1
↓
(32
)x-2
= 3x+1
32x-4
= 3x+1
Entonces: 2x-4 = x + 1
x = 5
2º En aquellas casos en donde existan términos de la
forma kx
, se hace un cambio de variable del tipo kx
= y, para obtener una ecuación algebraica respecto a
y.
Ejemplo:
Resolver: 2x
+ 2x+2
= 40
2x
+ 2x
. 22
= 40
y + 4y = 40
y = 8
↓
2x
= 23
ECUACIONES

Entonces: x = 3
3º Existen casos en los que la ecuación se consigue una
igualdad en el exponente.
baba xx
=⇒=
En este caso se admitirá x = 0, cuando a ≠ b.
Ejemplo: Resolver: (zn)x
= (3+n)x
Se deduce: 2n = 3 + n
n = 3
¡IMPORTANTE!
Es necesario recordar estructuras que
caracterizan a cierto tipo de ejercicios, donde
se aplican criterios de la teoría exponencial y
ecuaciones exponenciales.
1° Si :
nx
n
x...
x
x
=
, si n es impar
, si n es par
n
nx =
n
nx = ±
Hallar x
2° Si :
n=
, si n es impar
, si n es par
n
nx =
n
nx = ±
x
...
x
x
∞
Hallar x
3° Reducir :
nEnE
...n nn n
n
=⇒=
∞
4° Reducir
1nn n n
AE......AAAE −
=⇒∞=
5° Reducir
1nn n n
AE.....:A:A:AE +
=⇒=
6° Reducir
1nE....)1n(n)1n(nE +=⇒∞++++=
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Hallar el valor de “x” en: 22x+1
= 25
o
6
a) 4,5 b) 4 c) 3,5
d) 3 e) 2
Solución:
No debe olvidarse, que en la mayoría de
problemas sobre ecuaciones exponenciales,
debemos llegar a obtener bases iguales.
De: 22x+1
= 256 ; a 256 le damos la forma de
potencia de 2 . 256 = 28
(éste valor lo
reemplazamos en la ecuación).
2 = 2
2x+1 8
a bases iguales; exponentes
iguales.
2x + 1 = 8 ; resolviendo la ecuación
x = 3,5
02.Resolver:
4xX
93
273
−
=
Solución: Recuerde que debemos llegar a
obtener bases iguales.
4xX 93
273
−
= ; 27 = 33
(éste valor lo
reemplazamos)
( )
4xX 933
33
−
= ; 9 = 32
(éste valor lo
reemplazamos)
( )
4x
2X 333
33
−





=
; Resolvemos (32
)x – 4
=
32x – 8
(éste valor lo
reemplazamos)
( )
8x2X 333
33
−
= ;
Resolvemos
( ) 7x28x28x2
33.333
333
−−−
==
(éste valor lo
reemplazamos).
7x2x 33
33
−
= ; a bases iguales, exponentes
iguales.
3X
= 32x
– 7 ; a bases iguales, exponentes
iguales
x = 2x – 7 ; resolviendo la ecuación:
x = 7
03.Resolver:
( ) 8
1x
xx
aa
x
=





−
Solución:
Efectuando ( ) 2xxx
aa = y 8 = 23
(éstos
valores lo reemplazamos).
23
1xx
2x aa =




−
; efectuando
x2x
xx
2x aa
−
−
=




 y
3
3
2
2
1 −
= (éstos valores lo reemplazamos)
3x2 2x
aa
−−
= ; efectuando
2
3
3
22
−
−
=
, transformando éste valor.
( ) 2
1
2
2
3
1
2
1
2
−
−






= (reemplazando éste valor).
2
1
2
x2 2
1
x
aa
−
− 





=
; comparando:
x = 1/2
PRACTICA DE CLASE
01.Resolver:
3x
3x
1x2
3
5
15 +
+
+
=
a) – 2 b) – 3 c) 2
d) 3 e) – 4
02.Calcular “x” si:
x1x 82
42 =
−
a) 1/2 b) – 1 c) – 2
d) – 1/2 e) 1
03.Dado que: 310x+4
= 2592
Calcular:
x
x
3
3
−
a) 2 b) 4 c) 4
2
d) – 4 e) 1
04.Resolver:
9
9
x3 9
3
3
aa =








a) 4 b) 6 c) 2
d) – 4 e) – 2
05.Si: ab
= ba
y a3
= b2
Hallar E = (a + b)

a) 1/8 b) 5/8 c) 45/8
d) 1/5 e) 8/5
06.Resolver:
23 aa12
a2 −+
=
a)
2
2 b) 2 c) 2 2
d) 2 e) 2 /4
07.Si: 125,0x
5,0x3
=
Calcular “x”
a) 2 b) ¼ c) ½
d) 4 e) 1
08.Calcular “x” en:
4
x
2
1
x =
a) ½ b) ¼ c) 1/8
d) 1/16 e) 1
09.Resolver:
3x7
3x7
5x9
2
7
14 +
+
−
=
a) 7 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
10.Hallar el valor de “x”
(3x -1
)x+4
= (3x – 2
)x + 3
a) 1 b) 3 c) 5
d) mayor que 5 e) menor que 1
11.Resolver:
39
327
x3
=
+
a) 8/3 b) 10/3 c) –3/2
d) – 4 e) – 2
12.Hallar “x” en:
2
1
x
2
1
x
=
a) ½ b) ¼ c) 16
d) 1/256 e) 64
1x9
8
9
−−−
− =
3
1
a) 3 b) – 1 c) 2
d) ½ e) 1/3
14.Resolver:
22x+3
– 32x+1
= 32x+2
a) 1 b) ½ c) – ½
d) ¼ e) – ¼
15.Si: y X
= x ∧
11 xy
yx
−−
=
Calcular: 





y
x
a) ¼ b) 2/3 c) 4/3
d) 9/2 e) 2
16.Determinar “x” en:
( )( )( )
21x
....1x1x
=+
∞
++
a) 2 b) 2 +1 c) 2 -1
d) 2 /2 e) 2 2
17.Resolver:
4a
22.2.2 =
a) –1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18.Hallar “n” en:
01m.m.m
3 1n4 1nn
=−++−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
19.Determinar el valor de “x” en:
( ) 2x
4x2 =
a) 1 b) 2 c) 2/ 2
d) 2 e) 2 2
20.Resolver:
3x
+ 3x –1
+ 3x – 2
+ 3x – 3
+ 3x – 4
= 121
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Resolver:
( ) b
1
xab
ax
n
nn2
nn
=
+
+
a) a b) ab c) b
d) a b e) n
ab
02.Resolver:
nxxx
xnx
xx
xx =








−
a) n b) n
n c) n
d) n –1
e) 2n
03.Si: x = 16. Hallar:
9
1
2
1
3 3
3 3 432
xxxx
xxxx
−
















a) 1 b) ½ c) 2
d) 2 e) – 1
04.Simplificar:
A = NIx;
2
222
x1
x1x4x2
∈∀
−+
−
−−−
y
x>12000
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
05.Hallar el equivalente de:
x x xx xxP
12 +
=
; a > 0 ; a ≠ 1
a) x b) 2
xx c) xx
d) x x e) N.a.
06.Si: x ∈ +Z ∧ x ≤ 1000, calcular el valor
de:
C = x
2x x
1x
44
2
+
+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
07.Resolver el sistema:
42 =−nm
6432 =−nm
y dar como respuesta el valor de m + n
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) N.a.
08.Hallar “x” en: 31255 21 =+ x
:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.a.
09.Halle “x” en: )/(x )/(x 4121=
a) 32
1 b) 16
1 c) 2
1

d) 4
1 e) N.a.
39005555 321 =+++ +++ xxxx
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.a.
12
48 42
+−
=
xx
a) 1 b) 3 c) 6
d) 9 e) N.a.
4
12
2
1
=
−
xx
a) 4
1 b) 2
1 c) 16
1
d) 2 e) N.a.
13.Resolver:
082
73 31 3 13 =−
− −− − x xx x
a) 0 b) – 3 c) 2
d) 3
5 e) N.a.
x
1
4
3
24 24
−−
=
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.a.
15.En la siguiente igualdad:
3n
41n2 =−
Calcular un valor que toma “n”, si n ∈ Q
a) 1,6 b)
4
1
c) 0,25
d) 1,5 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar “x”:
52222 231 =−− −−+ xxx
a) 6 b) 4 c) – 6
d) 8 e) N.a.
02.Resolver:
1
98
−−x
= 2
a) 2 b) 3 c)
2
1
−
d)
2
1
e) N.a.
03.Hallar “x”:
212
55 5 322
+−
=
xx x
a) 2 b) 3 c) 4
d)5 e) N.A.
04.Hallar “x”:
60
3 2
21 2504

,
,x
−
−






=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) N.a.
05.Calcular “x” en:
525 53125
7
=
−x
)()(
a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) N.a.

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