calculo 1

1. MATERIA:Cálculo I y II
CLAVE:MAT-111 y MAT-112 respectivamente.
SEMESTRE DE UBICACION: Primero y segundo.
AREA: Análisis
PRE-REQUISITOS: Ninguno.
PREPARADO POR: Luis Hernandez, Adolfo Sanchez, Aug. 2000.
RECOMENDACIONES AL MAESTRO DEL CURSO:
 El material marcado con * es opcional. El resto del material es obligatorio.
 Se espera un alto nivel de rigor desde el principio. Ejemplo: el libro [Sp].
Contraejemplo: el libro [Si] (aunque contiene cierto material complementario
bonito).
 A continuación se detalla el temario de los cursos de cálculo 1 y 2 pensados como
una unidad de un año de duración.
 Existe cierta flexibilidad en el orden en que se presenta el material; por ejemplo,
sucesiones (e incluso series) se puede ver antes de continuidad.
 Existe, también, flexibilidad en la división entre Cálculo 1 y 2, sin embargo vale la
pena mencionar que algunos temas son prerrequisitos de otros cursos del segundo
semestre (e.g. series se usa en Elementos de Probabilidad y Estadística).
TEMARIO DE CALCULO 1:
1. PRECALCULO
o Un poco de lógica matemática: implicación, negación, cuantificadores;
ejemplificar su uso al repasar los siguientes conceptos de geometría
elemental: semejanza de triángulos, teorema del ángulo central,
trigonometría.
o Conjuntos: intersección, unión, complemento.
o Funciones: definición, inyectiva, sobre y biyectiva, composición;
cardinalidad y conjunto numerable. Probar que |Q|=|N| y que |R|>|N|.
o *Prueba de Cantor de la existencia de números trascendentes.
o Inducción matemática.
2. NÚMEROS REALES
o Los reales: N, Z, Q, axiomas de los reales, axioma del supremo. Valor
absoluto, intervalos.
o El plano: R2. La ecuación de una recta, distancia.
o Funciones reales: definición y ejemplos. Sumas, productos y composición
de fuciones. Polinomios, funciones racionales, algebraicas,
otras. sin y cos. Gráficas. Cónicas y sus gráficas.
3. LIMITES Y CONTINUIDAD
o Interpretación geométrica del significado de derivada. Ejemplos.
o Límites: Definición. Ejemplos. Unicidad. Aritmética de límites. Más
ejemplos. Límites de funciones racionales en + y - infinito. El limx->0sin x/x.
o Continuidad: Definición. Ejemplos. Aritmética de funciones continuas.
Composición. ``Toda función continua sobre un intervalo cerrado es

2. acotada''. ``Toda función continua sobre un intervalo cerrado alcanza su
max y min''. Teorema del valor intermedio. Teorema del punto fijo en [0,1].
Otras aplicaciones.
4. DERIVADAS
o Diferenciación: Definición de derivada. Recta tangente. Derivadas.
Teoremas sobre suma, producto y cociente de derivadas. Ejemplos.
o Regla de la cadena.
o Máximos y mínimos: Puntos críticos. Max y min local. Concavidad y puntos
de inflexión.
o Teorema del Valor Medio, Regla de L'Hopital.
o *Teorema de Liouville (ejemplos de números no algebraicos).
o Aplicaciones: Diferenciación implícita, problemas de máximos y m'inimos,
aplicaciones de regla de la cadena (problemas tipo: ``Una bola de naftalina
se evapora a una razón proporcional a su superficie. Muestra que su radio
decrece a razón constante'', etc).
o Gráficas de funciones identificando dominio, max y min, puntos silla, puntos
de inflexión, concavidad, intervalos donde crece o decrece,
comportamiento al infinito, comportamiento cerca del complemento de su
dominio, etc. Introducir la función exponencial (e.g. como función derivable
en 0 y que es homomorfismo de (R , +) en (R+ , . ).
o Funciones inversas: Teoremas de existencia para funciones continuas y
diferenciables. Derivada de la inversa. Ejemplos, en particular log,
funciones trigonométricas inversas, etc.
5. SUCESIONES Y SERIES
o Sucesiones: Convergencia, la definicion de continuidad en terminos de
sucesiones, aritmética de sucesiones, ``sucesión monótona y acotada
converge'', ejemplos.
o Series: Convergencia, series geométricas, criterios de convergencia; suma
de an converge implica an->0; Comparación, razón y raíz. La serie
armónica, p-series, ejemplos; series alternantes.
o *definición de e como serie (suma de 1/n!); *demo que e es irracional.
o *Completez de R: Sucesiones de cauchy, axioma del supremo, propiedad
arquimediana, Bolzano-Weierstrass.