2. EjercicioDemostrar que el rectángulo de área máxima con perímetro P dado, es un cuadrado. Sugerencia: Dibujar un
rectángulo de ancho (x) y largo (y). Por geometría se sabe que en un rectángulo su perímetro es igual a la suma de
sus lados y su área es igual al producto de sus dos dimensiones
Desarrollo
Iniciamos haciendo nuestro rectángulo con el largo (y) y el ancho (x) y nos queda así…
3. Después de haber dibujado nuestro rectángulo, nos ponemos a hallar la formula de nuestro perímetro, teniendo en
cuenta los datos anteriores, este seria igual a:
Luego despejamos la (Y)
Habiendo despejado la (Y) vamos a hallar nuestra área, teniendo en cuenta que su formula es igual a
4. Cogemos la formula que despejamos la (y) anteriormente y la cambiamos un poco para poder derivar nuestra
formula del área y la formula de la (y) quedaría así
Se preguntaran porque hicimos ese cambio de repente, lo que pasa es que si dejamos la formula del área como la
mostramos anteriormente generaría varias incógnitas y lo que necesitamos es despejar solo una incógnita sea en x o
en y, nosotros despejamos la incógnita en (Y); luego toca despejar lo que hicimos y reemplazar en la formula del
área nos quedaría así:
5. Ahora vamos a multiplicar la operación y nos quedaría así:
Seguimos nuestro ejercicio sacando la derivada de A con respecto a (x) que seria igual:
Vemos que esto es igual a la pendiente de la recta tangente, en este caso nosotros estamos buscando el resultado
de la (X) para poder tener un máximo de área
6. Conclusión
Si nosotros cogemos y igualamos a 0 la formula anterior entonces nos quedaría que P= 4X O P/4= X, esto quiere
decir que si al perímetro lo dividimos entre 4 nos va a dar el valor de la (x); ahora concluimos que si el valor de (x)
es la cuarta parte de la operación P= 4X O P/4= X, tambien (y) seria la cuarta parte ya que las (x) serian la mitad
del perímetro y la outra mitad la completarian las y lo que nos dise que el área máxima es um cuadrado porque
tanto como x como y son iguales
