El documento presenta dos problemas de electromagnetismo. El primero involucra calcular el campo eléctrico en un punto exterior a un cilindro con cargas distribuidas. El segundo involucra determinar la capacitancia y campo eléctrico entre dos esferas concéntricas llenas con dieléctricos.

1. ESCUELA SUPERIOR P OLITÉCNICA DEL LITORAL
POLITÉCNICA
TEORÍA ELECTROMAGNÉT ICA I
ELECTROMAGNÉTICA
ING. JORGE ARAGUNDI R. ( ) ING. JORGE FLORES MACÍAS ( )
ING. CARLOS DEL POZO CAZAR ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO (  )
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 06 de julio de 2010
Alumno: ________________________________________________________________________________
Primer Tema:
A u cilindro sólido e infinitamente largo, de radio a , se le ha practicado dos cavidades
un
cilíndricas de radio b a lo largo de toda su longitud. Dichas cavidades cilíndricas son
simétricas con relación al centro del cilindro de radio a y se encuentran separadas entre sí
una distancia c , tal como se muestra en la figura. Por algún método se le proporciona
carga eléctrica, la misma que se distribuye uniformemente a través del volumen sólido
restante (no en las cavidades cilíndricas) con una densidad de carga volumétrica  .
restante
Asuma que el cilindro tiene una permitividad  , mientras que la permitividad en las
cavidades cilíndricas y fuera del cilindro es  o . Determinar la intensidad de campo eléctrico
en el punto de observación M , ubicado en la parte externa del cilindro de radio a .

a
o b o b M
a
c

Por el principio de superposición, la configuración original sería equivalente a aquello que
se muestra en la siguiente figura.
   
a a a
 c
D2  r2  a  
 2
o b o b M  M  o b o b M
a
a
a

DM  D1  r1  a   c
D3  r3  a  
c c c  2
  
r2
r1 r3
Ing. Alberto Tama Franco
Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I
FIEC
FIEC-ESPOL – 20 – 1S
2010

2. Adicionalmente, de acuerdo a la disposición geométrica de las distribuciones volumétricas
de carga eléctrica, los vectores de desplazamiento e intensidades de campo eléctrico en el
punto de estudio u observación M son horizontales. Por lo cual, la resultante de la
intensidad de campo eléctrico, en el punto de estudio u observación M , será simplemente
una suma algebraica, de la siguiente manera:

  D  M   D1  M   D2  M   D3  M 

  E  M   E1  M   E 2  M   E3  M 
 D1  r1  a   dS  QNETA   r1  a 

a
D1  r1  a  2 r1l   V dV    2 r l dr   a l
1 1
2
V r 0
 a2
D1  r1  a  
2r1
D1  r1  a   a2
E1  r1  a    E1  r1  a  
1 2 o r1
 c  c


D2  r2  a    dS  QNETA   r2  a  
 2  2
 c
b
D2  r2  a   2 r2l   V dV    2 r2l dr2   b 2l
 2 V r 0
 c  b2
D2  r2  a   
 2  2r2
 c
D2  r2  a  
 c  2  c b 2
E 2  r2  a     E 2  r2  a   
 2 2  2  2 o r2
 c  c


D3  r3  a    dS  QNETA   r3  a  
 2  2
 c
b
D3  r3  a   2 r3l   V dV    2 r3l dr3   b 2l
 2 V r 0
 c  b2
D3  r3  a   
 2  2r3
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3.  c
D3  r3  a  
 c  2  c b 2
E3  r3  a     E3  r3  a   
 2 3  2  2 o r3
 a2  a2 a
E1  M   E1  r1  a  r  a    E1  M  
1 2 o r1 2 o a 2 o
r a
1
 c b2 b2
E 2  M   E3  r2  a     E2  M  
 2  r2  a  c 2 o r2  c
2 r2  a 
c 2 o  a  
2
 2
 c b2 b2
E3  M   E3  r3  a     E3  M  
 2  r3  a  c 2 o r3  c
2 r3 a 
c 2 o  a  
2
 2
De todas las expresiones anteriores, se obtiene lo siguiente:
a b2 b2
E M    
2 o  c  c
2 o  a   2 o  a  
 2  2
 
  b 2
b 2 
E M   a   
2 o   c  c
 a   a   
  2  2
 
  b 2
b 2  
E M   a    
2 o   c  c r
 a   a   
  2  2
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4. Segundo Tema:
El espacio entre dos superficies conductoras esféricas concéntricas de radios a y c , está
lleno con dos dieléctricos de permitividades 1 y  2 , tal como se muestra en la figura.
a) Determinar la capacitancia del sistema.
b) Determinar el valor de la intensidad de campo eléctrico en cada dieléctrico.
c) Si la diferencia de potencial aplicado a los conductores es V , determinar la relación
que debe existir entre las permitividades 1 y  2 para que el campo eléctrico máximo
que soporte cada dieléctrico sea igual.
Tomando, en primer lugar, una superficie
gaussiana que cumpla con la condición de
que a  r  b , se tiene que:

D  b  r c   


D1 (a  r  b)  dS  QNETA a<r b
V

| D1 (a  r  b) | 4 r 2  Q(r  a)
1  Q(r  a )

| D1 (a  r  b) |
2 4 r 2
D  a  r b 
De la misma manera y tomando una
superficie gaussiana que cumpla con la
condición de que b  r  c , se tendría que:
 Q(r  a)
| D2 (b  r  c) |
4 r 2
A partir de los cuales se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico en
cada dieléctrico, es decir:
 Q( r  a )  Q( r  a )
| E1 (a  r  b) | | E2 (b  r  c) |
41r 2 4 2 r 2
Los valores máximos de campo eléctrico en cada dieléctrico se producen cuando el radio
es mínimo respectivamente, esto es:
  Q( r  a )   Q( r  a )
| E1 |máx | E1 (a  r  b) |r a  | E2 |máx | E2 (b  r  c) |r b 
41a 2 4 2b2
De acuerdo al enunciado del problema, se debe cumplir que:
  Q( r  a ) Q( r  a )
| E1 |máx | E2 |máx  
41a 2 4 2b2
1 b 2  b 
2
 
 2 a2  a 
 
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5. Como b  a , se concluye que el material dieléctrico 1 tiene mayor permitividad que el
material dieléctrico 2, es decir que 1   2 .
b a b a
      V    E 2  dl   E1  dl    E2 dl cos 180o   E1 dl cos 180o
c b c b
Q r  a
b a
Q r  a
V     dr  cos 180 o
  dr  cos 180o
c
4 2 r 2 b
41r 2
Q r  a 1 Q r  a 1 Q r  a  1 1  Q r  a   1 1 
r b r a
V         
4 2 r r c 41 r r b 4 2  b c  41  a b 
Q r  a  c  b  Q r  a  b  a 
V     
4 2  bc  41  ab 
4 V
Q r  a 
1  ba  1  cb 

1  ab   2  bc 
   
A partir de lo cual, se obtiene lo siguiente:
Q r  a 4
CSISTEMA   CSISTEMA 
V 1  ba  1  c b 

1  ab   2  bc 
   
Para la verificación, el presente sistema podría ser considerado como si fueran dos
capacitores de placas esféricas concéntricas conectados en serie, es decir:
C1 C2 CSISTEMA
41ab 4 2bc 1 4
C1  , C2  y CSISTEMA  
ba c b 1 1 1  ba  1  c b 
 
C1 C2 1  ab   2  bc 
   
Para la intensidad de campo eléctrico en cada uno de los dieléctricos, se tendría que:
4 V
1  ba  1  c b 
   
 Q(r  a ) 1  ab   2  bc  V
| E1 (a  r  b) |  
41r 2
4 1r 2
 b  a   1  c  b   2
 ab     bc   r
  2 
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6.  V 
E1 (a  r  b)  r
 b  a   1  c  b   2
 ab     bc   r
  2 
4 V
1  ba  1  c b 
   
 Q(r  a ) 1  ab   2  bc  V
| E2 (b  r  c) |  
4 2 r 2
4  2 r 2
  2  b  a   c  b  2
   ab    bc   r
 1   
 V 
E2 (b  r  c)  r
  2  b  a   c  b  2
   ab    bc   r
 1   
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7. Tercer Tema:
Dos hojas paralelas de vidrio, cuya permitividad relativa es 8.5, montadas verticalmente,
están separadas por un espacio uniforme de aire entre sus superficies internas.
Debidamente selladas, las hojas están inmersas en aceite, de permitividad relativa 3.0, tal
como se muestra en la figura. En el aceite existe una intensidad de campo eléctrico
uniforme de 2,000 [V/m] en dirección horizontal. Determinar la magnitud y dirección del
campo eléctrico en el vidrio y en el espacio de aire encerrado cuando a) el campo es
normal a las superficies de vidrio; y, b) el campo en el aceite forma un ángulo de 75º con la
normal a las superficies de vidrio. Ignore los efectos de borde.
Vidrio
y
De acuerdo al enunciado del
x problema, se tiene lo siguiente:
 r1   r  aceite  3.0
Aceite Aceite  r 2   r  vidrio   8.5
 r 3   r  aire  1.0
Aire
Para el literal a) Esquema gráfico
para el literal b)

E1  2, 000  x

D1  1 E1   r1 o E1  6, 000 o  x Vidrio

D1 = D2  D3  6, 000 o  x
D2 D 6, 000  o 
E2  vidrio    2  x E3
 2  r 2 o 8.5  o

E2  vidrio   705.88  x Aceite
3
E2
D3 D 6, 000  o  2
E3  aire    3  x 1
 3  r 3 o 1.0  o
 E1
E3  aire   6, 000  x
Aire
Para el literal b)
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8.  
E1  2, 000 75o V /m   E1  2, 000 cos 75o  x  2, 000 sen 75o  y V /m 
tg  2  r 2    8.5 
   2  tg 1  r 2 tg 1   tg 1  tg 75o   84.59o
tg 1  r1   r1   3.0 
Tomando en consideración de que en la frontera dieléctrico 1 (Aceite) - dieléctrico 2
(Vidrio), las componentes normales de los vectores de desplazamiento eléctrico son
iguales, esto es:
D2 n  D1n
 2 E2 n  1 E1n
 2 E2 cos  2  1 E1 cos 1
 E cos 1  r1 E1 cos 1 3 x 2, 000 cos 75o
E2  1 1 =  E2   1,940.47 V /m 
 2 cos  2  r 2 cos  2 8.5 cos 84.59o
 
E2  1,940.47 84.59o V /m  E2  182.69  x  1,931.85  y V /m 
De la misma manera, en la frontera dieléctrico 2 (Vidrio) – dieléctrico 3 (Aire), las
componentes normales de los vectores de desplazamiento eléctrico son iguales, esto es:
D3n  D2 n
 3 E3n   2 E2 n
 3 E3 cos 3   2 E2 cos 2
 2 E2 cos  2   2 cos  2   1 E1 cos 1  1 E1 cos 1  r1 E1 cos 1
E3  =  = =
 3 cos 3   3 cos 3    2 cos  2   3 cos 3  r 3 cos 3
  
tg 3  r 3    1 
  3  tg 1  r 3 tg 1   tg 1  tg 75o   51.21o
Donde: tg 1  r1   r1   3.0 
3 x 2, 000 cos 75o
E2   2, 478.63 V /m 
1 cos 51.21o
 
E3  2, 478.63 51.21o V /m  E3  1,552.91  x  1,931.85  y V /m 
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