Este documento presenta tres problemas de teoría electromagnética resueltos por el profesor Alberto Tama. El primer problema determina la relación entre las permitividades de dos dieléctricos para que sus campos eléctricos máximos sean iguales. El segundo calcula la capacitancia entre la Tierra y la Luna. El tercero determina la capacitancia y distribuciones de carga de un capacitor con dieléctrico no homogéneo.

1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
Profesor: ING. ALBERTO TAMA FRANCO
PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 05 de diciembre del 2006
Alumno: _____________________________________________________________________________
Primer Tema:
El espacio entre dos superficies conductoras esféricas concéntricas de radios a y c , está
lleno con dos dieléctricos de permitividades 1 y  2 , tal como se muestra en la figura,
siendo b el radio de la frontera entre los dos dieléctricos.
a) Determine la relación que deben tener ambas permitividades 1 /  2 para que el campo
eléctrico máximo que soporte cada dieléctrico sea igual.
b) Indique cuál de los dieléctricos es el de mayor permitividad.
Tomando, en primer lugar, una superficie
gaussiana que cumpla con la condición de
que a  r  b , se tiene que:

c D  b  r c   
b 

D1 (a  r  b)  dS  QNETA a<r b

| D1 (a  r  b) | 4 r 2  Q(r  a )
a
1
 Q(r  a )
| D1 (a  r  b) |

4 r 2
2 D  ar b 
De la misma manera y tomando una
superficie gaussiana que cumpla con la
condición de que b  r  c , se tendría que:
 Q(r  a )
| D2 (b  r  c) |
4 r 2
A partir de los cuales se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico en
cada dieléctrico, es decir:
 Q(r  a )  Q(r  a )
| E1 (a  r  b) | | E 2 (b  r  c) |
41r 2 4 2 r 2
Los valores máximos de campo eléctrico en cada dieléctrico se producen cuando el radio
es mínimo respectivamente, esto es:
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2.   Q(r  a)   Q (r  a )
| E1 |máx | E1 ( a  r  b) |r  a  | E2 |máx | E2 (b  r  c) |r b 
41a 2 4 2b 2
De acuerdo al enunciado del problema, se debe cumplir que:
  Q(r  a ) Q(r  a )
| E1 |máx | E2 |máx  
41a 2 4 2b 2
1 b 2  b 
2
 
 2 a2  a 
 
Como b  a , se concluye que el material dieléctrico 1 tiene mayor permitividad que el
material dieléctrico 2, es decir que 1   2 .
Segundo Tema:
Si el radio de la Tierra RT  6,378  km  , el radio de la Luna RL  1, 740  km  y la distancia
entre la Tierra y la Luna es: d  384, 000  km  . Calcular la capacitancia entre la Tierra y la
Luna.
RT
RL
r P Dr

E

E
d
D
Tomando dos superficies esféricas gaussianas, una de ellas, concéntrica con la Tierra y
de radio r , la otra, concéntrica con la Luna y de radio D  r , y considerando que el
sistema en sí, se encuentra en el espacio vacío, se tendrían la existencia de dos campos
eléctricos, es decir:
 
| E  |
QTIERRA y | E |
QTIERRA , recordar que aquí se cumple: QLUNA  QTIERRA
4 o r 2 4 o  D  r 
2
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3. De acuerdo al principio de superposición, el campo total estará dado por:
 QTIERRA QTIERRA
| ET | 
4 O r 4 O  D  r 
2 2
RT
 
        
d  RT
ET  dl
RT
Q QTIERRA  RT
Q QTIERRA 
     TIERRA
    dr  cos180     TIERRA2 
o
 dr
 4 O r
d  RT 
2
4 O  D  r  
2
 4 O r 4 O  D  r 
2

 d  RT  
R R
Q  1 1 T Q 1 1 T
   TIERRA  
 r Dr  TIERRA 
r D  r 
4 O   d  RT 4 O   d  RT
QTIERRA  1 1 1 1 
      
4 O  RT d  RT D  RT D  d  RT 
De acuerdo al esquema del problema, se aprecia que: D  RT  RL  d , a partir de lo cual
se obtiene lo siguiente:
QTIERRA  1 1 1 1 
      
4 O  RT d  RT d  RL RL 
QTIERRA 4 O
CSISTEMA   CSISTEMA 
  1 1 1 1 
    
 RT d  RT d  RL RL 
Reemplazando los valores indicados en el enunciado del problema:
4 x 8.85 x1012
CSISTEMA 
 1 1 1 1 
    6 
 6.378 x10 390.378 x10 385.740 x10 1.74 x10 
6 6 6
CSISTEMA  1.53x104  F 
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4. Tercer Tema:
El dieléctrico en un capacitor de placas planas paralelas es no homogéneo. La
permitividad varía linealmente desde un valor 1 en la superficie de una de las placas,
hasta un valor  2 en la superficie de la otra placa. La distancia entre las placas es “ d ” y
su área es “ S ”. Considerar además que cada placa se encuentra cargada con una carga
“ Q ”.
a) Determine la capacitancia de este capacitor.
b) Determine las distribuciones de cargas superficiales de polarización.
Y
1 2
X
d
+
V
De acuerdo al enunciado del presente problema, la permitividad del dieléctrico no
homogéneo, contenido entre las placas del capacitor, cumpliría con la siguiente relación:
 2  1
 ( x)  x  1 (0  x  d )
d
  
| E (0  x  d ) | 
 ( x)   2   1 
 d x  1 
 
  
          E . dl

0   d
 dx
    E ( 0  x  d ). dl   
  2  1 
 d x  1 
d 0
 
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5.  d Qd
  ln(  2 / 1 )  ln(  2 / 1 )
 2  1 S (  2  1 )
Q S ( 2  1 )
CSISTEMA  
 d ln( 2 / 1 )
 
P (0  x  d )  (   0 ) E (0  x  d )

   1  Q 
P (0  x  d )   2 x  1   0  x
 d  S   2  1 x   
 1
 d 
Q
 P ( x  0)  (1   0 )
S 1
Q
 P ( x  d )  ( 2   0 )
S 2
Nota del Autor: La solución de este último problema, deberá ser considerada como errata
del problema 2.4 del Libro “Problemas de Electromagnetismo”. Dicha corrección será
incluida en la Segunda Edición del mencionado Libro.
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Profesor de Teoría Electromagnética I
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