Solucionario Unidad I Probabilidad -Libro de Texto Matemáticas 10mo Grado - Mined Nicaragua

Probabilidad
1
Elaborado por: Marlon Espinoza, Primitivo Herrera, Armando Huete
Tutora: Dra. Gloria Parrilla
Probabilidad
Iniciaremos abordando algunos conceptos y nociones básicas de probabilidad y azar
con los cuales se da inicio a la primera unidad de matemáticas de décimo grado.
Azar y Juegos de Azar
En algunos juegos tales como lanzar una moneda, lanzar uno o varios dados o
incluso jugar a la lotería, las posibilidades de ganar o perder no dependen solamente
de la habilidad del jugador, sino de una combinación de circunstancias que el hombre
no puede controlar ni prever; en este caso decimos que el resultado ocurre por
casualidad o por azar, de ahí el nombre juegos de azar.
Compruebe lo aprendido
1. Dé un ejemplo de:
a) Una situación de la vida cotidiana cuya ocurrencia dependa del azar.
b) Un fenómeno de la naturaleza cuya ocurrencia dependa del azar.
c) Un fenómeno social cuya ocurrencia no dependa del azar.
a) Una situación de la vida cotidiana cuya ocurrencia dependa del azar.
Se lanza un dado de 6 caras y se obtiene un 5.
b) Un fenómeno de la naturaleza cuya ocurrencia dependa del azar.
La ocurrencia de un terremoto.
c) Un fenómeno social cuya ocurrencia no dependa del azar.
Elegir al Presidente de la República.
2. Cuatro estudiantes tienen tableros como los de la página siguiente, y dos dados.
Cada estudiante lanza los dados, en el caso que la suma de los números que
aparezcan en la cara superior de los dados no coincida con un número de su
tablero le permite lanzar al otro estudiante, pero si la suma de los resultados de
El azar es la característica de algunos fenómenos cuyos resultados no son
previsibles.
Solución

Probabilidad
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los dados es igual a un número que aparece en su tablero, coloca una ficha en
la casilla que corresponde al número y continúa el otro jugador. Gana aquél que
complete primero una fila o una columna.
A B C D
¿Tienen los cuatro jugadores la misma probabilidad de ganar?
¿Cuál de los jugadores puede tener más éxito? ¿Por qué?
Elabore cuatro tableros con la condición de que un jugador tenga menos
posibilidades de ganar.
¿Puede elaborar un tablero con el cual un jugador nunca gane?
¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar: Un jugador con un tablero que tiene
todos los números distintos o un jugador con un tablero que tiene tres números
repetidos?
¿Qué números deben aparecer en un tablero para que un jugador siempre
gane?
¿Tienen los cuatro jugadores la misma probabilidad de ganar?
No tienen la misma probabilidad de ganar ya que en algunos tableros
encontramos números como el 1 el cual no representa la suma de los posibles
resultados obtenidos al lanzar los dados, y también números que pueden tener
una mayor frecuencia de obtenerse que otros, por ejemplo el 7 tiene más
posibilidades de obtenerse como la suma de los números obtenidos en los
dados que el 2.
¿Cuál de los jugadores puede tener más éxito? ¿Por qué?
El estudiante que juegue con el tablero C puede tener más éxito pues el
número de casos a favor de obtener un número de su tablero es 29
distribuidos en la siguiente manera: una posibilidad de obtener 2 (esto ocurre
cuando los dos dados caen en 1), dos posibilidades de obtener 3 (lo cual se
da cuando uno de los dados cae en 2 y el otro en 1), tres posibilidades de
obtener 4 (caso en que uno ambos dados muestren 2 o que uno cae en 3 y
el otro en 1), cuatro posibilidades de obtener 5 (esto ocurre cuando uno de los
𝟕 𝟏𝟎 𝟑
𝟓 𝟏𝟐
𝟒 𝟐 𝟔
𝟒 𝟏 𝟐
𝟑 𝟓
𝟔 𝟗 𝟖
𝟕 𝟓 𝟒
𝟖 𝟔
𝟐 𝟑 𝟏𝟎
𝟏𝟏 𝟒 𝟏
𝟔 𝟑
𝟏𝟐 𝟓 𝟐
Solución

Probabilidad
3
dados cae en 3 y el otro en 2 o uno cae en 4 y el otro en 1), cinco
posibilidades de obtener 6 (cuando un dado cae en 2 y el otro en 4 o uno
cae en 5 y el otro en 1 o ambos caen en 3), seis posibilidades de obtener 7
(lo cual se da cuando un dado cae en 2 y el otro en 5 o uno cae en 3 y el
otro en 4 o uno cae en 6 y el otro en 1) , cinco posibilidades de obtener 8
(esto ocurre cuando un dado cae en 2 y el otro en 6 o uno cae en 3 y el otro
en 5 o ambos caen en 4) y tres posibilidades de obtener 10 (caso en que un
dado cae en 4 y el otro en 6 o ambos caen en 5). El estudiante del tablero
A tiene 25 casos favorables, el del tablero B tiene 24 casos y el del
tablero D tiene 23 a su favor.
Elabore cuatro tableros con la condición de que un jugador tenga menos
posibilidades de ganar.
Consideremos los cuatro tableros siguientes:
A B C D
El jugador con el tablero B tiene menos posibilidades de ganar que los demás,
tan solo cuenta con 14 casos a su favor; dichos casos los presentamos como
los pares que conforman el conjunto
𝐵 = {
(2; 2), (3; 1), (1; 3), (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 3),
(3; 2), (4; 1), (1; 4), (6; 5), (5; 6), (6; 6), (1; 1)
}.
¿Puede elaborar un tablero con el cual un jugador nunca gane?
Un jugador con un tablero como el siguiente
𝟒 𝟏 𝟐
𝟑 𝟓
𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟐
𝟏𝟏 𝟓 𝟒
𝟖 𝟏𝟐
𝟏 𝟑 𝟏𝟎
𝟏𝟏 𝟏𝟎 𝟑
𝟓 𝟏𝟐
𝟒 𝟐 𝟏
𝟏𝟏 𝟒 𝟏
𝟔 𝟏𝟎
𝟏𝟐 𝟓 𝟐
𝟏𝟕 𝟏𝟗 𝟎
𝟏𝟓 𝟏
𝟏 𝟐𝟏 𝟏𝟓

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jamás ganará ya que está conformado por números que no se expresan como
la suma de los posibles resultados obtenidos al lanzar los dados.
¿Quién tiene mayor probabilidad de ganar: Un jugador con un tablero que tiene
todos los números distintos o un jugador con un tablero que tiene tres números
repetidos?
Dependerá del número repetido, por ejemplo si el que se repite es 7, y su
tablero es uno como el siguiente
el jugador tendrá más de 18 casos a su favor:
𝐴 =
{
(4; 3), (3; 4), (5; 2), (2; 5), (6; 1), (1; 6)
(4; 5), (5; 4), (3; 6), (6; 3), (1; 2), (2; 1), (2; 2),
(3; 1), (1; 3), (2; 5), (5; 2), (4; 3), (3; 4), (6; 1),
(1; 6), (4; 3), (3; 4), (5; 2), (2; 5), (6; 1), (1; 6) }
,
y la probabilidad de que gane es sumamente grande superando al otro jugador
en posibilidades; sin embargo si el número repetido es por ejemplo 1, la
posibilidad de ganar es mínima.
¿Qué números deben aparecer en un tablero para que un jugador siempre
gane?
Siempre ha de ganar el estudiante que participe con un tablero como el
siguiente:
El jugador tiene un total de 40 casos a su favor; dichos casos son los pares que
conforman el siguiente conjunto
𝟕 𝟑 𝟕
𝟏 𝟒
𝟐 𝟗 𝟕
𝟕 𝟔 𝟖
𝟔 𝟓
𝟖 𝟗 𝟕

Probabilidad
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𝐶 =
{
(4; 3), (3; 4), (5; 2), (2; 5), (6; 1), (1; 6), (4; 4), (5; 3), (3; 5), (3; 3)
(4; 5), (5; 4), (3; 6), (6; 3), (6; 2), (2; 6), (2; 2), (5; 1), (1; 5), (4; 2)
(3; 1), (1; 3), (2; 5), (5; 2), (4; 3), (3; 4), (6; 1), (2; 4), (3; 3), (5; 1)
(1; 6), (4; 3), (3; 4), (5; 2), (2; 5), (6; 1), (1; 6), (1; 5), (4; 2), (2; 4) }
.
Experimentos aleatorios y deterministas
A continuación presentamos la definición de experimento y su clasificación en
experimento aleatorio y experimento determinista.
Complete los cuadros vacíos del siguiente esquema con los conceptos que
correspondan.
Un experimento es un proceso, planificado o no, a través del cual se obtiene
una observación (o una medición) de un fenómeno.
Un experimento es aleatorio si se conocen todos los resultados posibles pero
no se puede predecir qué resultado particular se va a obtener.
Diremos que un experimento es determinista en el caso que se pueda
predecir el resultado con certeza.

Probabilidad
6
Al completar el esquema anterior con los correspondientes conceptos en los
espacios vacíos obtenemos:
Actividad en grupo
Clasifiquen los siguientes experimentos en aleatorios o deterministas.
Lanzar un dado y registrar el resultado de la cara superior.
Llover y medir la cantidad de agua por 𝑚𝑚3
.
Jugar a la lotería y esperar el resultado.
Solución
Es un proceso planificado a través del
cual se obtiene una observación (o
una medición) de un fenómeno
Determinista
Sus resultados se conocen con
anticipación sin necesidad de
realizar el experimento
Experimento
Aleatorio
Sus resultados se conocen una
vez que el experimento ha
finalizado
Se pueden describir los
posibles resultados pero no se
puede decir cuál de ellos
ocurrirá
Sus resultados se conocen con
anticipación sin necesidad de
realizar el experimento
Sus resultados se conocen una
vez que el experimento ha
finalizado
Se pueden describir los
posibles resultados pero no se
puede decir cuál de ellos
ocurrirá

Probabilidad
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Escoger al presidente de un comité habiendo solamente un candidato.
Registrar durante un año el sexo de los niños nacidos en el hospital Berta
Calderón de Managua.
Contar el número de accidentes automovilísticos que ocurrirán en un año en la
carretera Chinandega-Managua.
Anotar la sucesión de días en la semana.
Mezclar dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno.
Lanzar un dado y registrar el resultado de la cara superior.
Es un experimento aleatorio ya que no se puede predecir el resultado que se
obtendrá en la cara superior del dado.
Llover y medir la cantidad de agua por 𝑚𝑚3
.
Experimento aleatorio ya que no es posible pronosticar con exactitud cuándo
lloverá ni la cantidad de agua que caerá como lluvia.
Jugar a la lotería y esperar el resultado.
Experimento aleatorio pues no es posible asegurar cuáles serán los números
favorecidos.
Escoger al presidente de un comité habiendo solamente un candidato.
Este es un experimento determinista ya que al haber solamente un candidato,
este será obviamente el presidente electo.
Registrar durante un año el sexo de los niños nacidos en el hospital Berta
Calderón de Managua.
Experimento aleatorio ya que no se sabe cuántos nacimientos se darán en el
año en dicho Hospital.
Contar el número de accidentes automovilísticos que ocurrirán en un año en la
carretera Chinandega-Managua.
Es un experimento aleatorio pues no podemos predecir con exactitud el número
de accidentes que pueden ocurrir en dicha carretera.
Anotar la sucesión de días en la semana.
Solución

Probabilidad
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Es un experimento determinista ya que sabemos que la semana tiene 7 días y
que estos son: lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y domingo.
Mezclar dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno.
Experimento determinista puesto que sabemos que de esta combinación
obtenemos una molécula de agua.
Espacio muestral
Previo a la definición de espacio muestral asociado a un experimento recordemos
algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos mediante las siguientes
interrogantes:
¿Qué entiende por conjunto?
Se entiende por conjunto una colección de objetos que cumplen ciertas
propiedades. Un ejemplo de conjunto es {−1, 1}.
¿Cuándo un conjunto es unitario? Dé ejemplos.
Un conjunto es unitario cuando está conformado por solamente un elemento.
Ejemplos de esto son los conjuntos
𝐴 = { El presidente de Nicaragua },
𝐵 = {𝑥 | 𝑥 es una vocal antes de b en el abecedario}.
Dé dos descripciones del conjunto vacío.
Recordemos que por definición, el conjunto vacío es el conjunto que carece de
elementos, así ejemplos de conjunto vacío son:
𝑀 = {𝑥 | 𝑥 es un número natural menor que cero},
𝑁 = { 𝑥 | 𝑥 es un nicaragüense que ha estado en la Luna}.
¿Cuáles son las distintas maneras de expresar un conjunto?
Existen dos formas distintas de expresar un conjunto: por extensión y por
comprensión. Decimos que un conjunto está descrito por extensión si todos sus
elementos se muestran de forma explícita; y es expresado por comprensión
Solución
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
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cuando sus elementos están dados en forma implícita mediante una propiedad
que los describa.
Dé ejemplo de un conjunto expresado por comprensión y que tenga 5 elementos.
Considérese el siguiente conjunto conformado por 5 elementos:
𝐴 = { 𝑥 | 𝑥 es una vocal de nuestro alfabeto}.
Exprese por extensión el conjunto {𝑥│𝑥 es un municipio de Managua}.
Como debemos mostrar los elementos de este conjunto de forma explícita,
obtenemos la siguiente expresión:
{
San Francisco Libre, Tipitapa, Mateare, San Rafael del Sur, Managua,
Villa El Carmen, Ticuantepe, Ciudad Sandino, El Crucero
}.
¿Cuántos y cuáles son los resultados posibles al realizar los siguientes
experimentos?
1. Tirar un dado y registrar el resultado que aparece en la cara superior.
2. Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado.
3. Lanzar simultáneamente al aire una moneda y un dado y observar los
resultados.
1. Tirar un dado y registrar el resultado que aparece en la cara superior.
En este experimento los posibles resultados son 6 que conforman el conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado.
Como una moneda tiene 2 caras, el número de resultados posibles en este
experimento es 2. Si denotamos por 𝑒 y 𝑁 el escudo y el número que
aparecen en la moneda respectivamente, los casos posibles son los
elementos del conjunto {𝑒, 𝑁}.
3. Lanzar simultáneamente al aire una moneda y un dado y observar los
resultados.
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
10
Utilizando la notación de los incisos anteriores, los casos posibles son los
pares del conjunto:
𝐸 = {
(𝑒; 1), (𝑒; 2), (𝑒; 3), (𝑒; 4), (𝑒; 5), (𝑒; 6),
(𝑁; 1), (𝑁; 2), (𝑁; 3), (𝑁; 4), (𝑁; 5), (𝑁; 6)
}.
Así, tenemos un número total de 12 casos posibles.
Experimento aleatorio compuesto
Cuando ocurren dos o más experimentos aleatorios simples al mismo tiempo, o bien
uno después de otro, se llama experimento aleatorio compuesto.
Un ejemplo de experimento aleatorio compuesto es el abordado en el inciso 𝟑. del
ejercicio anterior.
Producto cartesiano de dos conjuntos
Producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 que se denota 𝐴 × 𝐵 es el conjunto
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎; 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵}.
Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio
 Si un experimento aleatorio es compuesto, su espacio muestral coincide con
el producto cartesiano de los espacios muestrales de los experimentos
simples que lo componen.
 El espacio muestral debe ser construido de manera que sea posible
determinar claramente todas las posibilidades de ocurrencia de un
experimento aleatorio.
 Un experimento aleatorio puede tener diferentes espacios muestrales, cada
uno de ellos estará en dependencia de lo que se quiera observar.
Observaciones
Se llama espacio muestral 𝐸 asociado a un experimento aleatorio al conjunto
de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Probabilidad
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1) Al lanzar una moneda al aire hay 2 posibles resultados, si se lanzan dos
monedas el espacio muestral de este experimento tiene 4 elementos, esto es
22
. El experimento lanzar tres monedas tiene ocho resultados posibles, es decir
23
.
¿Cuántos resultados posibles tiene el lanzamiento al aire de 4 monedas? ¿Y de
6 monedas?
Lance tres monedas al aire. Encuentre el espacio muestral expresando el
resultado como un conjunto de ternas ordenadas.
Al lanzar cuatro monedas hay 16 = 24
posibles resultados. Y el espacio
muestral para el lanzamiento de 6 monedas tiene 26
= 64 elementos.
El espacio muestral para el experimento “lanzar tres monedas al aire” es
𝐸 = {
(𝑒; 𝑒; 𝑒), (𝑒; 𝑒; 𝑁), (𝑒; 𝑁; 𝑒), (𝑁; 𝑒; 𝑒),
(𝑒; 𝑁; 𝑁), (𝑁; 𝑒; 𝑁), (𝑁; 𝑁; 𝑒), (𝑁; 𝑁; 𝑁)
}.
2) Encuentre el espacio muestral para el experimento “lanzar 4 monedas al aire”.
El espacio muestral de este experimento tiene 16 = 24
elementos. Expresando a
dicho espacio muestral como un conjunto de cuaternas ordenadas tenemos
𝐸 =
{
(𝑒; 𝑒; 𝑒; 𝑒), (𝑒; 𝑒; 𝑒; 𝑁), (𝑒; 𝑒; 𝑁; 𝑒), (𝑒; 𝑁; 𝑒; 𝑒),
(𝑁; 𝑒; 𝑒; 𝑒), (𝑒; 𝑒; 𝑁; 𝑁), (𝑒; 𝑁; 𝑒; 𝑁), (𝑁; 𝑒; 𝑒; 𝑁),
(𝑒; 𝑁; 𝑁; 𝑒), (𝑁; 𝑒; 𝑁; 𝑒), (𝑁; 𝑁; 𝑒; 𝑒), (𝑒; 𝑁; 𝑁; 𝑁),
(𝑁; 𝑒; 𝑁; 𝑁), (𝑁; 𝑁; 𝑒; 𝑁), (𝑁; 𝑁; 𝑁; 𝑒), (𝑁; 𝑁; 𝑁; 𝑁)
}
.
Evento
Recuerde, reflexione y concluya
¿A qué se le llama unión de dos conjuntos?
La unión de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al menos a uno de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se simboliza por 𝐴 ∪ 𝐵
(se lee ‘𝐴 unión 𝐵’) y escribimos
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}.
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
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Por ejemplo, si 𝐴 = {−1, 1} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏} resulta 𝐴 ∪ 𝐵 = {−1, 𝑎, 1, 𝑏}.
¿Es posible que la unión de dos conjuntos sea vacía? Explique su respuesta.
Sí es posible. Si consideramos en la definición dada anteriormente a 𝐴 y 𝐵
iguales al conjunto vacío ( 𝜙 ) tenemos 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝜙 ∪ 𝜙 = 𝜙.
¿A qué se le llama intersección de dos conjuntos? Dé ejemplo de dos conjuntos
cuya intersección tenga 3 elementos.
La intersección de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 es el conjunto de los elementos que
pertenecen tanto a 𝐴 como a 𝐵, y se denota por 𝐴 ∩ 𝐵 (se lee 𝐴 intersección
𝐵). Escribimos
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 }.
Consideremos los conjuntos 𝐴 = {−1, 0, 1, 4, 7} y 𝐵 = {−4, 1, 6, 0, 12, 7, 0}, por la
definición dada anteriormente vemos que 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 0, 7}.
¿Cómo se define el complemento de un conjunto?
Si 𝑈 denota el conjunto Universal y 𝐴 ⊂ 𝑈, el complemento de 𝐴 es el conjunto
de elementos de 𝑈 que no están en 𝐴, y se denota por 𝐴 𝑐
(léase 𝐴
complemento). En símbolos:
𝐴 𝑐
= {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}.
Consideremos por ejemplo
𝐴 = {𝑥|𝑥 es una consonante} y 𝑈 = {𝑥|𝑥 es una letra de nuestro alfabeto},
tenemos que
𝐴 𝑐
= {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}.
¿Cuál es el complemento del vacío? ¿Y del conjunto universo?
El complemento del conjunto vacío es el conjunto Universal, y el complemento
del conjunto Universal es el conjunto vacío. En símbolos:
𝜙 𝑐
= 𝑈 y 𝑈 𝑐
= 𝜙.
Solución
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
13
Ejemplo
Type equation here.
Ejemplo
Type equation here.
Considerando 𝑈 = {𝑥|𝑥 es una letra de nuestro alfabeto} tenemos que
𝑈 𝑐
= {𝑥|𝑥 no es una letra de nuestro alfabeto} = 𝜙.
¿A qué es igual la unión de un conjunto y su complemento? ¿y la intersección?
La unión de cualquier conjunto 𝐴 y su complemento 𝐴 𝑐
es igual al conjunto
Universal. La intersección de 𝐴 y 𝐴 𝑐
es el conjunto vacío, es decir:
𝐴 ∪ 𝐴 𝑐
= 𝑈 y 𝐴 ∩ 𝐴 𝑐
= 𝜙.
Subconjunto
Un conjunto 𝐴 es subconjunto de 𝐵 si todo elemento de 𝐴 es un elemento de
𝐵.
Si consideramos 𝐴 = {−1, 1} y 𝐵 = ℝ el conjunto de los números reales, vemos
que 𝐴 es subconjunto de 𝐵; en símbolos 𝐴 ⊂ 𝐵.
Evento
Evento seguro y evento imposible
Consideremos el experimento “lanzar un dado y anotar el resultado”. Un evento
seguro es 𝐴: “Obtener un número real” pues todos los resultados posibles son
números reales y un evento imposible es 𝐵: “El número obtenido es cero” ya que
este número no figura entre los posibles resultados.
El espacio muestral del experimento “lanzar un dado y observar el número en la
cara superior” es:
𝑬 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}.
Un evento es seguro si siempre ocurre, esto es, coincide con el espacio
muestral y es imposible si nunca ocurre, es decir, es el conjunto vacío.
Solución
Un evento es todo subconjunto del espacio muestral que resulta de un
experimento aleatorio.

Probabilidad
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Encuentre los subconjuntos de 𝐸 con las siguientes condiciones:
1. Tiene como elementos a todos los números primos.
2. Sus elementos son todos los números pares de 𝐸.
3. A él pertenecen los números pares y primos de 𝐸.
4. Sus elementos son solución de la ecuación 3𝑥 − 2 = 4.
5. Tiene como elementos los cuadrados perfectos de 𝐸.
6. Sus elementos son los números irracionales de 𝐸.
7. Tiene como elementos a todos los números mayores o
iguales a 3.
8. Es la intersección de 𝐸 con los números múltiplos de 5.
9. Sus elementos son números racionales que pertenecen a 𝐸.
1. Tiene como elementos a todos los números primos.
Recordemos que un número entero mayor que 1 es primo si es divisible
únicamente por la unidad y por el mismo número. Entonces el subconjunto de
𝐸 cuyos elementos son números primos es: 𝐴 = {2, 3, 5}.
2. Sus elementos son todos los números pares.
Por definición un número entero es par si es divisible por 2, luego el conjunto
que formamos es 𝐵 = {2, 4, 6}.
3. A él pertenecen los números pares y primos de 𝐸.
En este caso el conjunto solicitado es la intersección de los conjuntos
encontrados en los incisos 𝟏. y 𝟐., esto es: 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}.
4. Sus elementos son solución de la ecuación 3𝑥 − 2 = 4.
3𝑥 − 2 = 4 implica que 3𝑥 = 6, luego 𝑥 =
6
3
= 2. Por lo tanto, la solución
de la ecuación dada es 𝑥 = 2, luego el conjunto es 𝐷 = {2}.
5. Tiene como elementos los cuadrados perfectos de 𝐸.
Un número es un cuadrado perfecto si la raíz cuadrada de dicho número es
exacta. Observe que los cuadrados perfectos de 𝐸 son 1 y 4, y por lo tanto
el subconjunto es 𝐽 = {1, 4}.
6. Sus elementos son los números irracionales de 𝐸.
Solución

Probabilidad
15
Como todos los elementos de 𝐸 son números racionales, el conjunto
respuesta a este inciso es vacío, es decir 𝐹 = 𝜙.
7. Tiene como elementos a todos los números mayores o iguales a 3.
En este caso el conjunto es 𝐺 = {3, 4, 5, 6}.
8. Es la intersección de 𝐸 con los números múltiplos de 5.
Consideremos el conjunto 𝑊 = { 𝑥 | 𝑥 es un múltiplo de 5}, como en 𝐸 el
único múltiplo de 5 es el mismo 5, tenemos:
𝐻 = 𝐸 ∩ 𝑊 = {5}.
9. Sus elementos son números racionales que pertenecen a 𝐸.
Como todos los elementos de 𝐸 son números racionales, este conjunto
coincide con 𝐸.
Utilizando los eventos del 1 al 9 del ejercicio anterior represente en un
diagrama de Venn las siguientes situaciones:
1. Dos eventos cuya intersección es vacía, esto es, son eventos disjuntos.
2. Dos eventos que tengan al menos dos elementos en común.
3. Tres eventos que sean disjuntos dos a dos.
4. Dos eventos cuya unión esté formada por elementos mayores o iguales a 2.
5. Dos eventos cuya diferencia tenga 2 elementos.
6. Un evento que tenga como complemento al evento vacío.
1. Dos eventos cuya intersección es vacía, esto es, son eventos disjuntos.
Consideremos los eventos de los incisos 𝟒. y 𝟓., estos son 𝐷 = {2} y 𝐽 =
{1, 4}. Es fácil ver que 𝐷 ∩ 𝐽 = {2} ∩ {1, 4} = ∅. En un diagrama de Venn la
representación correspondiente es:
Solución

Probabilidad
16
2. Dos eventos que tengan al menos dos elementos en común.
Consideremos los eventos 𝐵 = {2, 4, 6} y 𝐺 = {3, 4, 5, 6} los cuales tienen 2
elementos en común (4 y 6). Es decir 𝐵 ∩ 𝐺 = {2, 4, 6} ∩ {3, 4, 5, 6} = {4, 6}.
La representación en un Diagrama de Venn es
3. Tres eventos que sean disjuntos dos a dos.
Consideremos los eventos correspondientes de los incisos 𝟑. 𝟓. y 𝟖., los
cuales son 𝐶 = {2}, 𝐽 = {1, 4} y 𝐻 = {5} y cumplen 𝐶 ∩ 𝐽 = {2} ∩ {1, 4} = ∅,
𝐽 ∩ 𝐻 = {1, 4} ∩ {5} = ∅, 𝐶 ∩ 𝐽 = {2} ∩ {5} = ∅, lo que significa que son
disjuntos dos a dos. La representación gráfica es:
𝑫 6 𝑱
3
5 𝑬
2
1
4
𝑬 𝑱
3
𝑪 𝑯
6
2
4
1
5

Probabilidad
17
4. Dos eventos cuya unión esté formada por elementos mayores o iguales a 2.
Sean los eventos 𝐴 = {2, 3, 5} y 𝐵 = {2, 4, 6}; tenemos que 𝐴 ∪ 𝐵 =
{2, 3, 4, 5, 6} el cual es un conjunto cuyos elementos son mayores o iguales a
2. En un Diagrama de Venn tenemos:
5. Dos eventos cuya diferencia tenga 2 elementos.
Consideremos los eventos 𝐵 = {2, 4, 6} y 𝐷 = {2}, entonces 𝐵 − 𝐷 =
{2, 4, 6} − {2} = {4, 6}, esto es los elementos que pertenecen a 𝐵 pero no a
𝐷. Utilizando un Diagrama de Venn tenemos:
6. Un evento que tenga como complemento al evento vacío.
Sabemos que el complemento del vacío coincide con el universo a considerar,
en nuestro caso es el espacio muestral 𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, cuya
representación gráfica es:
6 3 2 𝑬
4 1 5

Probabilidad
18
Dé ejemplo de un evento seguro.
Consideremos el experimento “lanzar un dado y anotar el resultado” y el evento
𝐴: obtener un número entero. Este es un evento seguro ya que todos los
elementos del espacio muestral de este experimento son números enteros.
Dé ejemplo de dos eventos imposibles.
Considérese el experimento: “lanzar un dado”, y los eventos 𝐴: obtener un
número par e impar, y 𝐵: obtener un número mayor que 10. Ambos son eventos
imposibles pues no existe un número que sea par e impar a la vez, y los posibles
resultados en este experimento son menores o iguales a 6.
¿Cuáles de los eventos del 1 al 9 de las páginas 12 y 13 son imposibles?
¿Cuáles son seguros?
Como evento imposible tenemos el correspondiente al inciso 6. y como evento
seguro al del inciso 9.
Aplique los conocimientos adquiridos
Complete la siguiente tabla que represente al espacio muestral correspondiente al
experimento aleatorio “lanzar dos dados”. ¿Cuál es el número total de elementos
del espacio muestral del experimento?
Completamos la tabla con los datos que faltan, esto nos permite determinar el
espacio muestral asociado al experimento dado. Así tenemos
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
𝟏 (1; 1)
𝟐 (2; 2) (2; 6)
𝟑
𝟒 (4; 3)
𝟓 (5; 4)
𝟔 (6; 5)
Solución
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
19
En la tabla se muestra que el número total de elementos del espacio muestral
asociado a este experimento es 36.
Para el experimento “lanzar dos dados y registrar el resultado” encuentre los
conjuntos que corresponden a los siguientes eventos, que:
1. Los dos resultados sean números primos.
2. La suma de los cuadrados de los dos resultados sea mayor que 30.
3. El cuadrado de la suma de los resultados sea menor que 5.
4. Uno de los resultados sea primo y el otro par.
5. Un resultado sea impar y el otro un cuadrado perfecto.
6. Los dos resultados sean números impares.
7. Uno de los resultados sea cuadrado perfecto.
8. Ambos resultados sean números racionales. ¿Con qué coincide este evento?
1. Los dos resultados sean números primos.
Como los únicos primos que pueden aparecer al realizar el experimento son el
2, 3 y 5, el conjunto correspondiente es:
𝐴 = {(2; 2), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 3), (3; 5), (5; 2), (5; 3), (5; 5) }.
2. La suma de los cuadrados de los dos resultados sea mayor que 30.
El conjunto correspondiente a este evento es:
𝐵 = {
(1; 6), (6; 1), (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)
(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), (4; 6), (5; 5), (6; 4)
(5; 6), (6; 5), (6; 6)
}.
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔
𝟏 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
𝟐 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
𝟑 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
𝟒 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
𝟓 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
𝟔 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
Solución

Probabilidad
20
Por ejemplo 12
+ 62
= 1 + 36 = 37 > 30, 22
+ 62
= 4 + 36 = 40 > 36, etc.
3. El cuadrado de la suma de los resultados sea menor que 5.
En este caso el evento es unitario y expresado en forma conjuntista resulta 𝐶 =
{(1; 1)}. Observe que 12
+ 12
= 2 < 5.
4. Uno de los resultados sea primo y el otro par.
El evento en forma conjuntista es
𝐷 = {
(2; 2), (2; 4), (2; 6), (3; 2), (3; 4), (3; 6), (5; 2), (5; 4), (5; 6)
(4; 2), (6; 2), (2; 3), (4; 3), (6; 3), (2; 5), (4; 5), (6; 5)
}.
Tenemos que (2; 2) ∈ 𝐷 porque 2 es par y primo, (4; 5) ∈ 𝐷 puesto que 4 es
par y 5 es primo.
5. Un resultado sea impar y el otro un cuadrado perfecto.
Los cuadrados perfectos que aparecen en las caras de los dados son 1 y 4, y
los impares son 1, 3 y 5, así el evento es:
𝐻 = {
(1; 1), (1; 4), (3; 1), (3; 4), (5; 1), (5; 4)
(4; 1), (1; 3), (4; 3), (1; 5), (4; 5)
}.
En efecto, (4; 5) ∈ 𝐻 porque 4 es cuadrado perfecto y 5 es impar.
6. Los dos resultados sean números impares.
En vista de que los números impares que aparecen son 1, 3 y 5, el evento es:
𝐹 = {
(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3),
(3; 5), (5; 1), (5; 3), (5; 5)
}.
y este corresponde al conjunto de todas las parejas que se pueden formar con
los números 1, 3 y 5.
7. Uno de los resultados sea cuadrado perfecto.
Sabemos que los cuadrados perfectos que aparecen son 1 y 4, así que en
forma conjuntista este evento es:

Probabilidad
21
𝐺 = {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3),
(4; 4), (4; 5), (4; 6), (2; 1), (3; 1), (5; 1), (6; 1), (2; 4),
(3; 4), (5; 4), (6; 4)
}.
8. Ambos resultados sean números racionales. ¿Con qué coincide este evento?
Dado que 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son números racionales, el evento a considerar es:
𝑆 = {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)
}.
Es evidente que este evento coincide con el espacio muestral asociado al
experimento “lanzar dos dados y registrar el resultado”.
Para el experimento “lanzar dos dados y anotar el resultado” dé ejemplo de:
1. Dos eventos disjuntos.
2. Dos eventos no disjuntos.
3. Dos eventos cuya unión sea igual al espacio muestral y su intersección sea no
vacía.
4. Tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 y compruebe:
a) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
b) (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
c) 𝐴 𝑐
∪ 𝐴 = 𝑈
d) 𝐵 𝑐
∩ 𝐵 = ∅
e) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
f) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
g) (𝐶 𝑐
) 𝑐
= 𝐶
h) 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
5. Un evento cuyo complementario tenga 36 elementos.
6. Dos eventos cuya diferencia sea igual al evento 𝐶 = {(𝑥; 𝑦)|𝑥 = 𝑦}.
7. Dos eventos 𝐴 y 𝐵 cuya intersección sea el complemento del complemento
de
𝐶 = {(𝑥; 𝑦)|𝑥 < 𝑦}.
1. Dos eventos disjuntos.
Consideremos los eventos
Solución

Probabilidad
22
𝐴: El producto de los resultados es menor o igual que 2
y
𝐵: La suma de los resultados es mayor que 10.
De otra forma 𝐴 = {(1; 1), (2; 1), (1; 2)} y 𝐵 = {(5; 6), (6; 5), (6; 6)}, los cuales
son evidentemente disjuntos pues no poseen elementos en común.
2. Dos eventos no disjuntos.
Ahora consideremos los eventos
𝑀: La suma de los números en los dados es 10
y
𝐻: La cara superior de los dados muestra el mismo número.
Entonces:
𝑀 = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)}
y
𝐻 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}.
Como 𝑀 y 𝐻 tienen un elemento común (el (5; 5)), no son disjuntos.
3. Dos eventos cuya unión sea igual al espacio muestral y su intersección sea
no vacía.
Sean los eventos
𝑃: La suma de los resultados es menor o igual a 11
y
𝑄: Los resultados son iguales.
Entonces:
𝑃 = {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
},
y
𝑄 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}.
Evidentemente la unión de estos eventos es el espacio muestral y la
intersección de ellos es no vacía ya que
𝑃 ∩ 𝑄 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)}.

Probabilidad
23
4. Tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 y compruebe:
a) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
b) (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
c) 𝐴 𝑐
∪ 𝐴 = 𝑈
d) 𝐵 𝐶
∩ 𝐵 = ∅
e) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
f) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
g) (𝐶 𝑐
) 𝑐
= 𝐶
h) 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
Consideremos los eventos
𝐴: La suma de los números en los dados es 8,
𝐵: Uno de los resultados es un número perfecto,
y
𝐶: Cada dado muestra el mismo número.
En forma conjuntista tenemos
𝐴 = {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)},
y
𝐵 = {
(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
}.
a) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
Para verificar la igualdad calculemos
𝐴 ∪ 𝐵 = {
(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 6)
(4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (3; 6)
(6; 3), (6; 4), (6; 5)
},
y
𝐵 ∪ 𝐴 = {
(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5),
(3; 5), (4; 4), (5; 3), (3; 6)
}.

Probabilidad
24
Como podemos apreciar, 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ∪ 𝐴 tienen los mismos elementos, es
decir, son iguales.
b) (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
Como en el inciso anterior determinamos 𝐴 ∪ 𝐵 solo necesitamos calcular
𝐵 ∪ 𝐶, (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 y 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) y luego comparar los últimos
resultados. Sea
𝐵 ∪ 𝐶 = {
(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5)
}.
Además al determinar (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 obtenemos
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = {
(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), (1; 6)
(4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (3; 6), (1; 1),
(6; 3), (6; 4), (6; 5), (2; 2), (3; 3), (5; 5)
}.
Por último la unión de 𝐴 y 𝐵 ∪ 𝐶 es
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = {
(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2),
(1; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6),
(6; 1), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
(1; 1), (2; 2), (3; 3), (5; 5)
}.
En conclusión tenemos que (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
c) 𝐴 𝑐
∪ 𝐴 = 𝑈
En este caso 𝑈 es el espacio muestral 𝐸. Determinemos 𝐴 𝑐
recordando
que a este conjunto pertenecen todos los elementos de 𝑈 que no están
en 𝐴.
Entonces
𝐴 𝑐
= {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2),
(5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)
},
y

Probabilidad
25
𝐴 𝑐
∪ 𝐴 = {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)
}.
De lo anterior podemos afirmar que 𝐴 𝑐
∪ 𝐴 = 𝑈.
d) 𝐵 𝑐
∩ 𝐵 = ∅
Siendo 𝐵: Aparece un número perfecto, entonces por definición de
complemento tenemos
𝐵 𝑐
: No aparece un número perfecto
y se tiene que
𝐵 𝑐
= {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 5)
}.
Observe que estos conjuntos no poseen elementos en común, es decir
𝐵 ∩ 𝐵 𝑐
= ∅.
e) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
Tomemos
𝐴 = {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)},
𝐵 = {
(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
},
y
𝐶 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}.
Al calcular 𝐴 ∩ 𝐵 y 𝐵 ∩ 𝐶 obtenemos
𝐴 ∩ 𝐵 = {(2; 6), (6; 2)} y 𝐵 ∩ 𝐶 = {(6; 6)},
de lo cual se sigue que
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = {(2; 6), (6; 2)} ∩ {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}
= ∅
y

Probabilidad
26
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)} ∩ {(6; 6)} = ∅,
es decir
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶).
f) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
Consideremos el evento 𝐷: La suma de os resultados es menor que 1.
Evidentemente 𝐷 = ∅ ya que la suma de los resultados es mayor o igual
a 2. Así, si consideramos un elemento en 𝐴 ∪ 𝐷 = 𝐴 ∪ ∅, por definición de
unión deberá ser un elemento de 𝐴 o un elemento de ∅ pero como este
último carece de elementos, el elemento deberá ser de 𝐴, y del mismo
modo, si tomamos una pareja de 𝐴, esta pertenecerá a 𝐴 ∪ ∅; luego estos
conjuntos tienen los mismos elementos, es decir 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴.
g) (𝐶 𝑐) 𝑐
= 𝐶
Sea 𝐶 = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}, entonces
𝐶 𝑐
= {
(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
},
esto es, todos los elementos que pertenecen al espacio muestral 𝐸 y no
pertenecen a 𝐶.
Y utilizando nuevamente la definición de complemento resulta que (𝐶 𝑐
) 𝑐
es el conjunto formado por los elementos de 𝐸 que no pertenecen a 𝐶 𝑐
.
Luego
(𝐶 𝑐
) 𝑐
= {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)},
es decir (𝐶 𝑐
) 𝑐
= 𝐶.
h) 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
Por definición de diferencia de conjuntos, a 𝐴 − 𝐵 pertenecen los
elementos de 𝐴 que no están en 𝐵. Por tanto 𝐴 − 𝐵 =
{(3; 5), (4; 4), (5; 3)}. Ahora bien, como
𝐴 = {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)}

Probabilidad
27
y
𝐵 𝑐
= {
(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 1), (2; 2), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 5)
},
el conjunto formado por los elementos comunes entre estos conjuntos es
𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
= {(3; 5), (4; 4), (5; 3)}.
En conclusión hemos verificado que 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐
.
5. Un evento cuyo complementario tenga 36 elementos.
Sabemos que el evento que se pide en este ejercicio es un evento imposible
(de manera conjuntista, el conjunto vacío), ya que su complementario debe
coincidir con el espacio muestral. Por ejemplo, si consideramos el evento 𝐴:
La suma de los resultados al lanzar los dados sea un número negativo,
tenemos que 𝐴 es un evento imposible pues las sumas obtenidas serán
enteros positivos. Luego 𝐴 𝑐
= ∅ 𝑐
= 𝐸.
6. Dos eventos cuya diferencia sea igual al evento 𝐶 = {(𝑥; 𝑦)|𝑥 = 𝑦}.
Sean los eventos
𝐴: Ambos resultados son números racionales
y
𝐵: Los dados muestran números diferentes.
Observe que 𝐴 es un evento seguro porque que se lance un par de dados
estos mostrarán en sus caras números del 1 al 6 los cuales son números
racionales, luego 𝐴 coincide con el espacio muestral. Por tanto 𝐴 − 𝐵 = 𝐸 −
𝐵 = ∅. De esta manera obtenemos el evento conformado por los pares de 𝐴
con componentes iguales, es decir 𝐴 − 𝐵 = 𝐶.
7. Dos eventos 𝐴 y 𝐵 cuya intersección sea el complemento del
complemento de 𝐶 = {(𝑥; 𝑦)|𝑥 < 𝑦}.
De la teoría de conjuntos estudiada en séptimo grado sabemos que para
cualquier conjunto 𝐴 se cumple que (𝐴 𝑐
) 𝑐
= 𝐴. Entonces en este ejercicio

Probabilidad
28
mostraremos dos eventos del experimento “lanzar dos dados” cuya
intersección sea el evento 𝐶. Este último descrito como conjunto es
𝐶 = {
(1; 6), (1; 5), (2; 6), (1; 4), (2; 5), (3; 6), (1; 3), (2; 4)
(3; 5), (4; 6), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6)
}.
Sean ahora los eventos 𝐴 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 ≤ 𝑦} y 𝐵 = {(𝑥; 𝑦) | 𝑥 ≠ 𝑦}, luego
𝐴 = {
(1; 6), (1; 5), (2; 6), (1; 4), (2; 5), (3; 6), (1; 3), (2; 4)
(3; 5), (4; 6), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6)
(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)
}
y
𝐵 = {
(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3),
(2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3)
(5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)
},
resulta que
𝐴 ∩ 𝐵 = {
(1; 6), (1; 5), (2; 6), (1; 4), (2; 5), (3; 6), (1; 3), (2; 4)
(3; 5), (4; 6), (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5), (5; 6)
} = 𝐶.
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol es una herramienta gráfica muy útil para determinar el espacio
muestral de un experimento aleatorio, principalmente para el caso cuando éste es
compuesto
Pasos para construir un diagrama de árbol
En general, un diagrama que represente los resultados posibles de un experimento
aleatorio compuesto por una serie finita de experimentos se construye así:
1) Fije un nodo o punto inicial.
2) Trace a partir del nodo inicial tantas ramas como resultados sean posibles
para el primer experimento, al final de cada rama especifique el símbolo del
resultado correspondiente.
3) Utilice como nodo el extremo de cada rama obtenida en el paso 2) y dibuje a
partir de este extremo un número de ramas igual al total de resultados

Probabilidad
29
posibles para el experimento que sigue en la serie y de nuevo especifique al
final de cada rama el símbolo asignado a cada resultado.
4) Continúe la construcción del árbol repitiendo el paso 3) para cada uno de los
experimentos que restan de la serie.
¿Qué es un experimento compuesto?
Cuando ocurren dos o más experimentos aleatorios simples al mismo tiempo, o
bien uno después de otro, estamos en presencia de un experimento aleatorio
compuesto.
Dé ejemplo de dos experimentos aleatorios compuestos, uno con un espacio
muestral de 12 elementos y el otro con un espacio muestral de 21 elementos.
Consideremos el experimento aleatorio compuesto “lanzar una moneda y tirar un
dado”, el espacio muestral de este experimento tiene 12 elementos.
Recordemos que para determinar el espacio muestral de este experimento
encontramos el producto cartesiano de los espacios muestrales simples, uno es
lanzar una moneda y el otro lanzar un dado. Luego tenemos
𝐸 = {𝑒, 𝑁} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {
(𝑒; 1), (𝑒; 2), (𝑒; 3), (𝑒; 4), (𝑒; 5), (𝑒; 6)
(𝑁; 1), (𝑁; 2), (𝑁; 3), (𝑁; 4), (𝑁; 5), (𝑁; 6)
}.
Ahora considérese una caja conteniendo tres canicas: una roja (𝑅), una amarilla
(𝐴) y una blanca (𝐵) y en otra caja las letras de la palabra antiguo. Sea el
experimento “sacar una canica y extraer una letra”. El espacio muestral para este
experimento lo presentamos en la siguiente tabla:
𝒂 𝒏 𝒕 𝒊 𝒈 𝒖 𝒐
𝑹 (𝑅; 𝑎) (𝑅; 𝑛) (𝑅; 𝑡) (𝑅; 𝑖) (𝑅; 𝑔) (𝑅; 𝑢) (𝑅; 𝑜)
𝑨 (𝐴; 𝑎) (𝐴; 𝑛) (𝐴; 𝑡) (𝐴; 𝑖) (𝐴; 𝑔) (𝐴; 𝑢) (𝐴; 𝑜)
𝑩 (𝐵; 𝑎) (𝐵; 𝑛) (𝐵; 𝑡) (𝐵; 𝑖) (𝐵; 𝑔) (𝐵; 𝑢) (𝐵; 𝑜)
Solución
Solución

Probabilidad
30
Ejemplo
Type equation here.
Observemos que en esta tabla hay 21 elementos, igual al número de elementos
de {𝑅, 𝐴, 𝐵} × {𝑎, 𝑛, 𝑡, 𝑖, 𝑔, 𝑢, 𝑜}.
Para cada uno de los experimentos anteriores dé ejemplo de 2 eventos
expresados por extensión y por comprensión.
En el experimento “lanzar una moneda y un dado” el evento 𝐴 = {(𝑁; 2), (𝐸; 1)}
está descrito por extensión mientras que el evento 𝐵: Aparece al menos un
escudo está expresado por comprensión.
En el experimento “sacar una canica y extraer una letra” el evento 𝑃: Se extrae
una canica blanca está descrito por comprensión, mientras que el evento 𝐺 =
{(𝐴; 𝑖), (𝐵; 𝑔), (𝑅; 𝑢)} es expresado por extensión.
Construya el diagrama de árbol que corresponde al lanzamiento de una moneda
tres veces.
En el cumplimiento de nuestra tarea nos guiaremos con los pasos dados en
páginas anteriores para la elaboración de diagramas de árboles.
Primero partimos de un nodo inicial del cual sale una rama por cada posible
resultado en el primer lanzamiento, y luego, de los extremos de las ramas ya
obtenidas trazamos una rama por cada posible resultado en el segundo
lanzamiento, y procedemos de igual manera para el tercer lanzamiento, de modo
que el diagrama que obtenemos es:
En un aula de clase hay 16 niñas y 20 niños, y se escogen tres estudiantes al azar
para formar un comité.
e
e
N
e e
N
• N
e
e
N N
e
N
N
Solución
Solución

Probabilidad
31
Solución
Utilice un diagrama de árbol para encontrar el espacio muestral de este
experimento.
En la primera escogencia tiene dos resultados posibles, niño o niña. Aplicando el
paso 1 y 2 coloque el nodo inicial y abra dos ramas, al final de éstas coloque los
dos resultados.
Luego, escoja al azar el segundo estudiante y aplique el tercer paso, el diagrama de
árbol luce así:
Finalice la construcción del diagrama considerando los posibles resultados para la
escogencia del tercer estudiante (aplique el paso 4).
Exprese como un conjunto el espacio muestral representado en el diagrama anterior.
niño
niña
niño
niña
niño
niña
niño
niña
N

Probabilidad
32
¿Qué es más probable, que el comité lo formen 3 niños o que lo formen 3
niñas? Justifique su respuesta.
Si en el experimento anterior se cambia el grupo por otro que tenga 20 niñas y
25 niños ¿Cambia el diagrama de árbol?
¿Cuál es el diagrama de árbol si en el grupo de clases sólo hay una niña? En
este caso ¿Cuál es un evento imposible? ¿Cuántos eventos elementales tiene
este experimento?
Cada rama del diagrama de árbol representa un posible resultado del
experimento y por lo tanto un elemento del espacio muestral. Luego tenemos
𝐸 = {
( niño; niño; niño ), ( niño; niño; niña), ( niño; niña; niño),
( niño; niña; niña), (niña; niño; niño),
(niña; niño; niña), (niña; niña; niño), (niña; niña; niña)
}.
El hecho de que el comité lo conformen tres niños es igual de probable a que
esté conformado por tres niñas ya que para ambos eventos tenemos 1 caso
favorable de un total de 8 casos posibles. Observe el conjunto 𝐸. niña
El diagrama de árbol no cambiará ya que la elección se hace al azar y además
se cuenta con al menos 3 niñas y 3 niños.
Evidentemente un evento imposible será por ejemplo 𝐴: En el comité solo uno
de los tres miembros es un niño. Ahora, considerando cada uno de los pasos
orientados para el diseño de un diagrama de árbol obtendremos un diagrama
similar al dado en la página anterior con la diferencia que no tendremos ramas
en las que aparezcan dos o más niñas, esto es
niño
niño
niña
niño niño
niña
• niño
niño
niña
Solución

Probabilidad
33
El espacio muestral tiene un total de 4 elementos y al describir este en
forma conjuntista resulta:
𝐸 = {
(niño; niño; niño), (niño; niño; niña),
(niño; niña; niño), (niña; niño; niño)
}.
En un comedor de Masatepe se vende comidas populares siendo su plato
principal el mondongo, pero además se ofrece indio viejo, tamugas y carne
asada; todas estas comidas, excepto el mondongo que se sirve con café, van
acompañados con tiste o cacao. Encuentre todas las combinaciones posibles de
comida y bebida utilizando un diagrama de árbol.
Para la elaboración del diagrama en cuestión utilizaremos la siguiente simbología
para las comidas: mondongo (𝑀), indio viejo (𝐼 𝑉), tamugas (𝑇) y carne asada
( 𝐶 𝐴). Entonces de un nodo trazamos 4 ramas que corresponden a las
posibilidades de comidas y a partir de cada una de estas ramas salen dos ramas
que son las posibilidades de bebidas. Luego el diagrama respectivo para las
combinaciones posibles de comida y bebida es el siguiente:
Si en el ejercicio anterior el comedor ofrece la opción vaso pequeño, mediano o
grande para cada bebida ¿Cuál es el diagrama de árbol?
Al incluir los tamaños de vaso: pequeño (𝑃), mediano (𝑀𝑒) y grande (𝐺), el
diagrama obtenido es:
𝑀 Café
Cacao
𝐼 𝑉 Tiste
• Cacao
𝑇
Tiste
Cacao
𝐶 𝐴
Tiste
Solución
Solución

Probabilidad
34
Utilice un diagrama de árbol para encontrar el espacio muestral
correspondiente al lanzamiento al aire de tres monedas.
Para la construcción del diagrama de árbol asociado a este experimento debemos
considerar todas las combinaciones de resultados posibles para las monedas a
lanzar, es decir, puede que, por ejemplo, mientras en el primer lanzamiento se
obtiene escudo (𝑒) la segunda moneda lanzada también cae en escudo y la
tercera también, o puede darse que la primer moneda caiga en 𝑒 al igual que la
segunda, pero la tercera cae en número (𝑁); debemos considerar estos posibles
resultados hasta agotar todas las combinaciones posibles. En conclusión, el
diagrama es el siguiente:
Solución
𝑃
𝑀 Café 𝑀𝑒
𝐺
𝑃
Cacao 𝑀𝑒
𝐺
𝑃
𝐼 𝑉 Tiste 𝑀𝑒
𝐺
𝑃
• Cacao 𝑀𝑒
𝑇 𝐺
𝑃
Tiste 𝑀𝑒
𝐺
𝑃
Cacao 𝑀𝑒
𝐶 𝐴 𝐺
𝑃
Tiste 𝑀𝑒
𝐺

Probabilidad
35
Si va a determinar el espacio muestral del experimento lanzar tres dados y
registrar los resultados ¿Que utilizaría, una tabla o un diagrama de árbol? ¿Por
qué?
Lo recomendable es utilizar un diagrama de árbol ya que su construcción resulta
más sencilla que la de una tabla.
Suponga que en una bolsa hay 10 bolitas blancas y 10 azules. Un estudiante
extrae una bolita al azar y registra el color, otros dos estudiantes repiten el
experimento y también registran el color de cada bolita extraída. Haga un
diagrama de árbol para encontrar el espacio muestral que corresponde a este
experimento.
Al igual que en la elaboración de los diagramas anteriores utilizaremos cierta
simbología para abreviar, así 𝐴 representará una bola azul y 𝐵 una bola
blanca. Siguiendo cada paso para el diseño de diagramas tenemos el esquema
siguiente:
e
e
N
e e
N
• N
e
e
N N
e
N
N
Solución
Solución

Probabilidad
36
¿Hay algún evento simple del espacio muestral del experimento anterior cuyo
elemento coincida con la secuencia de colores de nuestra bandera?
Efectivamente vemos que en el diagrama anterior un evento simple consiste en
que el primer estudiante extrajo una bola azul, el siguiente una blanca y el último
una azul, este evento está representado en una de las ramas “superiores” del
árbol y este elemento coincide con la secuencia de colores de nuestra bandera.
¿Cómo clasifica este experimento, en simple o compuesto?
Este evento se clasifica como experimento compuesto puesto que el
experimento simple “extraer una bola de la bolsa y observar el resultado” ocurre
consecutivamente tres veces.
¿Qué condiciones usted debe variar en el experimento para que el diagrama de
árbol sea diferente?
Para obtener un diagrama de árbol diferente se puede variar cantidad de bolas
blancas o azules, por ejemplo si en la bolsa a lo hay más 2 bolas blancas obtener
tres bolas azules será imposible.
¿Tiene relación esta variación con la cantidad de bolitas de cada color?
Efectivamente. En el ejercicio anterior dejamos claro que esta variación se
relaciona con la cantidad de bolitas de cada color.
A
A
B
A A
B
• B
A
A
B B
A
B
B
Solución
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
37
Cambie la cantidad de bolitas azules o blancas con el objetivo de obtener
para el mismo experimento un diagrama de árbol que no contenga la combinación
blanco-blanco-blanco, esto es, que 𝐴 = {(blanco; blanco; blanco)} sea un
evento imposible.
En este caso no cambiaremos el número de bolitas azules, pero sí el número de
bolitas blancas ya que el evento a considerar como imposible se determina con la
extracción sucesiva de bolas de este color. Supongamos entonces que en la
bolsa se tienen 10 bolas azules pero solamente 2 bolitas blancas. Entonces el
diagrama de árbol correspondiente a este experimento es el siguiente:
Si se cambian las bolitas azules y blancas por bolitas rojas y negras ¿Cambia el
esquema del diagrama de árbol anterior?
El esquema no cambia pues se cuenta con la misma cantidad de bolitas y la
misma cantidad de colores.
Técnicas de Conteo
Cuando se realiza un experimento aleatorio de antemano sólo conocemos los
posibles resultados, es decir, sabemos el total de situaciones a las que nos podemos
enfrentar.
En los ejemplos que hemos analizado hasta el momento ha sido fácil encontrar el
espacio muestral de los experimentos aleatorios, pero existen otros experimentos
con espacios muestrales y eventos con una gran cantidad de elementos que para
A
A
B
A A
B
• B
A
A
B B
A
B
Solución
Solución

Probabilidad
38
Ejemplo
Type equation here.
Solución
calcular su cardinalidad se requiere de herramientas matemáticas llamadas técnicas
de conteo.
Principio Fundamental de Conteo
El principio anterior se puede generalizar para el caso en que ocurren más de dos
eventos, por lo tanto, para obtener el número total de formas diferentes en que todos
los eventos pueden ocurrir solamente multiplicamos las distintas maneras en que
puede ocurrir cada evento.
¿Cuántos números impares de tres cifras existen?
Aplique el principio del conteo.
Para formar los números pedidos en la casilla de las centenas sólo podemos colocar
dígitos distintos de cero ¿Por qué? Por tanto tenemos 9 opciones; en la casilla de las
decenas es posible colocar todos los 10 dígitos y por último las opciones que
tenemos para la última casilla son cinco, los dígitos impares, luego nuestro esquema
queda así:
Centena Decena Unidad
9 × 10 × 5
Hay 450 números impares de 3 cifras.
¿Existe la misma cantidad de números pares de tres cifras?
De manera análoga al ejemplo anterior, en la casilla correspondiente a las
centenas podemos colocar solamente dígitos distintos de cero, es decir tenemos
9 opciones, para las decenas 10 y para las unidades contamos con 5 opciones
porque la casilla de las unidades debe ocuparla un número par. Así que el
esquema que obtenemos es el mismo:
Observación
Solución
Si un evento 𝐴 puede ocurrir de 𝑛1 maneras, y luego otro evento 𝐵 puede
ocurrir de 𝑛2 maneras, entonces la cantidad total de formas diferentes en que
ambos eventos pueden ocurrir es el producto 𝑛1 ⋅ 𝑛2.
= 450.

Probabilidad
39
9 × 10 × 5
En conclusión, hay 450 números pares de tres cifras, la misma cantidad de
números impares de este tipo.
¿Cuál es el total de números de tres dígitos?
Para formar los números pedidos en la casilla de las centenas sólo podemos
colocar dígitos distintos de cero, por tanto tenemos 9 opciones; en la casilla de las
decenas es posible colocar los 10 dígitos, al igual que para la casilla de las
unidades, luego nuestro esquema queda así:
9 × 10 × 10
En conclusión hay 900 números de tres dígitos.
En una fábrica de zapatos de Masaya se elaboran 8 estilos de zapatos de mujer,
en 5 colores diferentes y 6 numeraciones distintas ¿Qué cantidad debe comprar
un comerciante para tener en su negocio de todos los estilos, colores y tamaños?
Al igual que en los ejemplos anteriores haremos uso del principio fundamental de
conteo considerando todas las opciones posibles. En este caso hay 8 opciones
para los estilos, 5 colores diferentes y 6 numeraciones distintas de zapatos. Por
tanto si el comerciante quiere tener en su negocio de todos los estilos, colores y
tamaños deberá comprar:
Estilo Color Numeración
𝟖 × 𝟓 × 𝟔
Hemos obtenido que debe comprar 240 pares de zapatos.
A un estudiante de Arquitectura se le ha pedido como trabajo final de curso
diseñar 4 modelos de casa diferentes en 2 tamaños distintos ¿Cuántos planos
deberá entregar?
= 450.
= 900.
= 240.
Solución

Probabilidad
40
Como el número total de modelos es 4 y los tamaños posibles a considerar son
2 diferentes, utilizando el principio fundamental de conteo obtenemos el
siguiente esquema:
En conclusión el estudiante debe entregar 8 planos.
Permutaciones
Factorial de un número entero
Si se tiene 𝑛 objetos y se desea obtener el total de permutaciones de estos 𝑛
objetos, el resultado es:
𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) ∙ (𝒏 – 𝟐) … 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
porque para la escogencia del primer objeto tenemos 𝑛 disponibles, una vez
seleccionado el primero, para la segunda escogencia sólo disponemos de 𝑛 – 1
objetos, en el siguiente paso de 𝑛 − 2 objetos, y así sucesivamente hasta la última
escogencia en la que se dispone de solamente un objeto. Observe que este
producto coincide con la definición de 𝑛!. Podemos entonces afirmar que:
Pero además,
Modelos Tamaños
𝟒 × 𝟐 = 8.
Una permutación es un arreglo sin repeticiones de todos o parte de los
elementos de un conjunto para el cual importa el orden.
Solución
Factorial de un número entero positivo 𝑛 se define como
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1) … 1.
Además 0! = 1.
El número de permutaciones de 𝒏 objetos distintos es 𝒏! y se denota por
𝑷 (𝒏; 𝒏).

Probabilidad
41
Ejemplo
Type equation here.
Solución
¿Cuántos y cuáles números de dos cifras puede formar con los dígitos 1 y 2?
¿Importa el orden en que coloque los números?
Podemos formar solamente 2 números de dos cifras con estos dígitos, estos son
12 y 21. Evidentemente importa el orden al colocar los números ya que doce y
veintiuno son números diferentes.
¿Cuántos y cuáles números de tres cifras puede formar utilizando los dígitos
1, 2 y 3? ¿Es importante el lugar que ocupa cada cifra en los arreglos
encontrados?
Utilizando los dígitos 1, 2 y 3 podemos formar 6 números los cuales son 123,
132, 213, 231, 312 y 321. Nuevamente afirmamos que el orden al colocar los
dígitos es importante ya que los números anteriores son todos diferentes entre sí.
Encuentre el total de permutaciones de las letras de la palabra “maestro” tomando 3
a la vez.
En este caso 𝑛 = 7 y 𝑟 = 3, luego
𝑃(7; 3) =
7!
(7 − 3)!
=
7!
4!
=
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!
4!
= 210.
Dé ejemplo de 5 de estas permutaciones.
Ejemplos de estas permutaciones son mas, aro, mes, ore y ema.
¿Cuántas permutaciones hay de las letras de la palabra “maestro” tomando 5 a
la vez?
Para determinar el número de permutaciones de la palabra “maestro” tomando 5
letras a la vez haremos uso de la fórmula
Solución
Solución
Solución
Solución
El número de permutaciones de 𝒏 objetos distintos tomando 𝒓 a la vez es:
𝑷(𝒏; 𝒓) =
𝒏!
(𝒏−𝒓)!
𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝒏

Probabilidad
42
𝑃(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
.
Sustituyendo 𝑛 = 7 y 𝑟 = 5 tenemos
𝑃(7; 5) =
7!
(7−5)!
=
7!
2!
=
7∙6∙5∙4∙3∙2!
2!
= 2 520.
Por lo tanto tenemos 2 520 permutaciones de las letras de la palabra “maestro”
tomando 5 a la vez.
Dé ejemplo de 4 de estas permutaciones que aparezcan en nuestro diccionario.
Ejemplo de estas permutaciones son astro, metro, ostra y mareo.
Permutaciones con repetición
Es importante señalar que en algunos problemas nos encontramos con arreglos en
los cuales al menos uno de sus elementos se repite, en tal caso decimos que en este
arreglo existe repetición. Nos interesa entonces saber cómo determinar el número
total de permutaciones en casos como este en el cual se obtienen arreglos que no
producen permutaciones distintas.
Por tanto es necesario tener en cuenta que:
Pero si la repetición es permitida, entonces:
En algunas situaciones estamos interesados en calcular el total de permutaciones de
𝑛 elementos que se pueden repetir pero tomando 𝑟 a la vez. En este caso el
El número de permutaciones diferentes de 𝑛 objetos de los cuales un
objeto aparece 𝑛1 veces, otro objeto aparece 𝑛2 veces y así
sucesivamente es:
𝑛!
𝑛1! 𝑛2! … 𝑛 𝑘!
.
El número de permutaciones que pueden formarse con 𝑛 objetos, si se
permite repetición es 𝑛 𝑛
.
Solución

Probabilidad
43
Ejemplo
Type equation here.
Solución
número de permutaciones que se pueden formar con 𝑛 objetos tomando 𝑟 a la vez
es 𝑛 𝑟
.
Encuentre el total de “palabras” que se pueden formar con las letras de la palabra
“maestro”, tomando 3 a la vez si se permite repetición.
Para la escogencia de la primera letra existen 7 posibilidades, lo mismo ocurre para
la escogencia de la segunda y tercera letra, así el total de palabras que se puede
formar es:
7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 73
= 343.
Algunos de estos arreglos son: mes, reo, mmm, tos, tor, sis, aes.
¿Cuáles de estos arreglos aparecen en nuestro diccionario? Dé ejemplos de 3
permutaciones que aparezcan en nuestro diccionario.
De las permutaciones dadas sabemos que mes, reo y tos aparecen en nuestro
diccionario. Otros ejemplos de estos arreglos que aparecen en nuestro diccionario
son ama, oro y ese.
¿Cuántas permutaciones hay de las letras de la palabra “maestro” tomando 4 a
la vez, si se permite repetir las letras? ¿y si en lugar de tomar 4 letras tomamos
6? Dé ejemplo de 5 de estas permutaciones.
Haremos uso de lo establecido anteriormente sabiendo que 𝑛 = 7 y 𝑟 = 4.
Tenemos entonces que el total de arreglos que se puede formar es
𝑛 𝑟
= 74
= 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 2 401.
Si ahora tomamos 6 a la vez 𝑛 es 7 y 𝑟 es 6, luego el número total de
arreglos que podemos formar es:
76
= 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 117 649.
Ejemplos de estas permutaciones son: reos, raro, tome, esas y amas (tomando 4
a la vez), y amaste, aerrte, mareos, esettr, romaes y astros (tomando 6 a la vez).
Solución
Solución

Probabilidad
44
Combinaciones
En el lenguaje común muchas veces utilizamos la palabra combinación en variadas
situaciones asignándole un significado según el caso, pero que desde el lenguaje
preciso de la matemática es necesario diferenciar, por ejemplo, combinar vegetales
para obtener una ensalada, comprar una cerradura de combinación y combinar
números y letras, son actividades comunes que permiten una interpretación
matemática.
Desde el punto de vista de la matemática, cuando arreglamos letras y números
importa el orden y a estos arreglos se les llama permutaciones; en cambio cuando
se selecciona a tres personas de un conjunto de personas para formar un comité no
importa el orden.
Matemáticamente tenemos la siguiente definición de combinación:
Para determinar el número de combinaciones de 𝑛 objetos distintos tomando 𝑟 a la
vez tenemos:
Utilice los dígitos del 1 al 9 y encuentre el total de números de tres cifras.
Dado que los dígitos del 1 al 9 son todos diferentes entre sí, debemos encontrar
el número total de permutaciones con estos 9 elementos tomando 3 a la vez.
Haciendo uso de la fórmula 𝑃(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
sabiendo que 𝑛 = 9 y 𝑟 = 3
obtenemos:
Dado un conjunto 𝐴 de 𝑛 elementos, una combinación de 𝐴, tomando 𝑟
elementos a la vez, es todo subconjunto de 𝐴 de 𝑟 elementos. El total de
combinaciones de los 𝑛 elementos de 𝐴, tomando 𝑟 a la vez se denota
por 𝐶(𝑛; 𝑟).
El número de combinaciones de 𝑛 objetos distintos, tomando 𝑟 a la vez es:
𝐶(𝑛; 𝑟) = (
𝑛
𝑟
) =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
.
Solución

Probabilidad
45
𝑃(9; 3) =
9!
(9 − 3)!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6!
= 504.
En conclusión, el número total es 504.
A continuación se presentan distintos experimentos aleatorios. Determine en
cuáles de ellos es importante el orden y en cuáles no.
a) Seleccionar un comité de 4 personas de un conjunto de 10 personas.
b) Lanzar 5 veces al aire una moneda y registrar el resultado.
c) Un profesor presenta a un estudiante un examen con 12 preguntas de las
cuales debe escoger 7.
d) Colocar en fila de manera aleatoria a 12 personas que abordarán un bus
Managua-León.
a) Seleccionar un comité de 4 personas de un conjunto de 10 personas.
No importa el orden pues no estamos considerando letras o números, sino
personas.
b) Lanzar 5 veces al aire una moneda y registrar el resultado.
Importa el orden ya que por ejemplo en 𝐸𝑁𝑁𝐸𝐸 entenderemos que en el
primer lanzamiento cayó escudo y en el segundo número, pero en 𝑁𝐸𝑁𝐸𝐸 se
interpreta que el primer lanzamiento dio como resultado número y en el
segundo se obtuvo escudo; es decir se han obtenido elementos distintos del
espacio muestral. Observe que en los dos elementos seleccionados del espacio
muestral de este experimento hay tres escudos y dos números.
c) Un profesor presenta a un estudiante un examen con 12 preguntas de las
cuales debe escoger 7.
No importa el orden pues no afectará su rendimiento el orden en que conteste
sino la calidad en sus respuestas.
d) Colocar en fila de manera aleatoria a 12 personas que abordarán un bus
Managua-León.
Sí importa el orden pues no es lo mismo estar de primero que de último en una
fila.
Solución

Probabilidad
46
Ejemplo
Type equation here.
Encuentre el número de elementos de los espacios muestrales de los
experimentos anteriores.
a. Para determinar el número total de elementos del primer experimento del
ejercicio anterior calculamos el número de combinaciones de 10 elementos
tomando 4 a la vez, esto es
𝐶(10; 4) =
10!
4! (10 − 4)!
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
5! ∙ 6!
=
5 040
120
= 42.
b. En el segundo experimento, dado que una moneda tiene 2 caras al ser
lanzada los resultados posibles son 2 y además este experimento simple se
repite 5 veces, el espacio muestral tiene
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25
= 32
elementos.
c. Para el tercer experimento, como no importa el orden, calcularemos el total de
combinaciones posibles de las 12 preguntas del examen tomando 7 a la vez:
𝑃(12; 7) =
12!
(12 − 7)!
=
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5!
= 3 991 680.
d. El espacio muestral para el último experimento tiene
12! = 479 001 600
elementos.
Combinaciones con repetición
En el caso en que arreglemos objetos y no interesa el orden, pero se permite
repetición de estos objetos, el arreglo recibe el nombre de combinación con
repetición.
Se han seleccionado 10 personas para distribuir 4 premios ¿De cuántas maneras
puede realizarse esta asignación, si los premios son iguales y si una persona puede
recibir más de un premio?
El número de combinaciones de 𝑛 objetos diferentes tomando 𝑟 a la vez si se
permite la repetición de estos objetos es:
𝐶𝑅(𝑛; 𝑟) = 𝐶(𝑛 + 𝑟 − 1; 𝑟).
Solución

Probabilidad
47
Solución Primero observemos que se trata de un arreglo para el cual no importa el orden en
que se distribuyan los premios porque todos son iguales, esto es, una combinación.
Además se permite que una persona pueda recibir más de un premio, por lo tanto es
una combinación con repetición, luego
𝐶𝑅(10; 4) = 𝐶(10 + 4 − 1; 4) =
13 !
4 !(13−4)!
=
13∙12∙11∙10∙9!
4∙3∙2∙1∙9!
= 715
Hay 715 maneras de asignar los premios.
Reformule el enunciado del ejemplo anterior para obtener arreglos que sean:
a) Combinaciones sin repetición
b) Permutaciones sin repetición
c) Permutaciones con repetición
a) Combinaciones sin repetición
Para obtener arreglos que sean combinaciones sin repetición anulemos la
condición de que una persona puede recibir más de un premio. El enunciado
será entonces: “Se han seleccionado 10 personas para distribuir 4 premios
¿De cuántas maneras puede realizarse esta asignación, si los premios son
iguales y si cada persona puede recibir solamente un premio?”
b) Permutaciones sin repetición
Recordemos que en una permutación sí importa el orden, por esta razón
consideremos los 4 premios diferentes, y en vista de que no debe haber
repetición impondremos nuevamente la condición de que cada persona debe
recibir solamente un premio. El enunciado es por tanto: “Se han seleccionado
10 personas para distribuir 4 premios ¿De cuántas maneras puede realizarse
esta asignación, si los premios son diferentes y si cada persona puede recibir
solamente un premio?”
c) Permutaciones con repetición
Ahora solamente consideramos la condición de que los premios sean diferentes
ya que se permite repetición. Entonces el enunciado es el siguiente: “Se han
seleccionado 10 personas para distribuir 4 premios ¿De cuántas maneras
puede realizarse esta asignación, si los premios son diferentes y si una persona
puede recibir más de un premio?”
Solución

Probabilidad
48
1. Calcule las distintas maneras de asignar los premios para los casos.
a) En este caso el enunciado es “Se han seleccionado 10 personas para
distribuir 4 premios ¿De cuántas maneras puede realizarse esta asignación,
si los premios son iguales y si cada persona puede recibir solamente un
premio?” Evidentemente estamos ante combinaciones de 10 objetos tomando
4 a la vez, lo que nos conduce al uso de la fórmula:
𝐶(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
.
Es fácil ver que 𝑛 = 10 y 𝑟 = 4, luego:
𝐶(10; 4) =
10!
4! (10 − 4)!
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
4! ∙ 6!
=
5 040
24
= 210.
Por tanto tenemos 210 formas para la asignación de los premios.
b) Ahora el enunciado es: “Se han seleccionado 10 personas para distribuir 4
premios ¿De cuántas maneras puede realizarse esta asignación, si los
premios son diferentes y si cada persona puede recibir solamente un
premio?” Como es necesario calcular el total de permutaciones de 10 objetos
tomando 4 a la vez y no se permite repetición, haremos uso de la fórmula
para determinar el total de estas permutaciones:
𝑃(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
.
Sabiendo entonces que 𝑛 = 10 y 𝑟 = 4 obtenemos:
𝑃(10; 4) =
10!
(10−4)!
=
10!
6!
=
10∙9∙8∙7∙6!
6!
= 5 040.
Hay por tanto 5 040 formas de asignar los premios.
c) En este caso el enunciado del problema es: “Se han seleccionado 10
personas para distribuir 4 premios ¿De cuántas maneras puede realizarse
esta asignación, si los premios son diferentes y si una persona puede recibir
más de un premio?”
Solución

Probabilidad
49
Considerando la formulación anterior debemos obtener el total de
permutaciones de 10 objetos tomando 4 a la vez permitiéndose repetición;
haciendo uso de la fórmula 𝑛 𝑟
sabiendo que 𝑛 = 10 y 𝑟 = 4. Así tenemos
104
= 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10 000.
Hay en consecuencia 10 000 formas de asignar los premios.
1. Redacte en su cuaderno la diferencia entre permutación y combinación.
La diferencia entre permutación y combinación es que la primera es un arreglo en
el cual importa el orden de los elementos pero en la combinación no.
2. Un grupo de estudiantes elabora un mural y en él quieren colocar 3 fotografías
diferentes ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?
En este caso interesa encontrar el número total de arreglos con tres elementos
diferentes, como importa el orden, los arreglos son permutaciones sin repetición.
Dado que el número total de permutaciones de 𝑛 objetos diferentes es 𝑛!.
Entonces el número de arreglos que los alumnos pueden hacer con las
fotografías en el mural es 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.
En consecuencia se tienen 6 posibilidades para la colocación de dichas fotos.
3. Una señora tiene 10 vestidos y en su viaje de vacaciones quiere llevar consigo
el 50% de ellos ¿Cuántas opciones tiene?
Cada vestido es diferente de los demás, así que tenemos 10 objetos diferentes.
Sabemos también que el 50% de 10 es 5; por tanto debemos determinar el
número de arreglos de 10 objetos tomando 5 a la vez. Haciendo uso de la
fórmula para el número de combinaciones de 𝑛 objetos distintos tomando 𝑟 a la
vez con 𝑛 = 10 y 𝑟 = 5 se obtiene:
𝑃(10; 5) =
10!
5! (10 − 5)!
=
10!
5! 5!
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5! 5!
=
30 240
120
= 252.
En consecuencia existen 252 arreglos para llevar al viaje.
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
50
4. 20 estudiantes se ofrecen para visitar un asilo de ancianos. Si sólo deben ir dos
estudiantes. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar?
Los 20 estudiantes conforman un conjunto cuyos elementos son diferentes entre
sí y debemos determinar el número de combinaciones de estos 20 elementos
tomando 2 a la vez. Tenemos entonces:
𝑃(20; 2) =
20!
2! (20 − 2)!
=
20!
2! 18!
=
20 ∙ 19 ∙ 18!
2 ∙ 18!
= 190.
En conclusión se pueden formar 190 parejas diferentes para visitar el asilo de
ancianos.
5. Juan tiene 8 libros diferentes de matemática y elige 3.
a) Encuentre el total de permutaciones posibles.
b) Determine el total de combinaciones posibles.
c) ¿Qué hay más? ¿Permutaciones o combinaciones?
Explique su respuesta.
a) Encuentre el total de permutaciones posibles.
Determinemos el número de permutaciones de 8 objetos diferentes tomando 3
a la vez. Haciendo uso de la fórmula 𝑃( 𝑛; 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
, sabiendo que 𝑛 = 8
y 𝑟 = 3 tenemos:
𝑃(8; 3) =
8!
(8 − 3)!
=
8!
5!
=
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5!
= 336.
En conclusión tenemos un total de 336 permutaciones.
b) Determine el total de combinaciones posibles.
En este caso para determinar el número de combinaciones de 8 objetos
diferentes tomando 3 a la vez haremos uso de la fórmula 𝐶(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
sabiendo que 𝑛 = 8 y 𝑟 = 3, de lo cual obtenemos:
𝐶(8; 3) =
8!
3! (8 − 3)!
=
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
3! ∙ 5!
=
336
6
= 56.
Solución
Solución

Probabilidad
51
Por tanto hay 56 combinaciones en total.
c) ¿Qué hay más? ¿Permutaciones o combinaciones? Explique su respuesta.
En general hay más permutaciones que combinaciones y esto se debe a que
para determinar el número de permutaciones y de combinaciones en ambos
casos tenemos fracciones con igual numerador pero el denominador de una es
mayor que el de la otra, por ejemplo en el ejercicio anterior tenemos
3! (8 − 3)! > (8 − 3)! ⇒
8!
3!(8−3)!
<
8!
(8−3)!
.
6. En el departamento de Managua las placas de vehículos particulares comienzan
con la letra M, seguida de 6 dígitos. ¿Cuántas placas son posibles? Dé ejemplo
de una placa donde:
a) Su cadena de dígitos comience con un número primo mayor que 4 y termine
en un número compuesto mayor que 6.
b) Su último y primer dígito sean coprimos.
c) Sus 6 dígitos formen un número palindrómico.
Recordemos que los dígitos son 10 en total. Además en estos arreglos importa
el orden en que se coloquen los dígitos ya que cada arreglo representa una placa
diferente, por ejemplo las placas M123456 y M123465 son distintas, pero
evidentemente la repetición de los dígitos es permitida. Estamos entonces ante
un problema que se resuelve por permutaciones de 10 elementos diferentes
tomando 6 a la vez con repetición permitida. Entonces el total de placas posibles
es
106
= 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1 000 000.
Dé ejemplo de una placa donde:
a) Su cadena de dígitos comience con un número primo mayor que 4 y
termine en un número compuesto mayor que 6.
Sabemos que 5 es un número primo mayor que 4 por ser divisible
solamente por 1 y 5. También tenemos que 8 es compuesto mayor que 6
ya que es divisible por 2 y 4. Por tanto una placa con las condiciones
solicitadas es M503618.
b) Su último y primer dígito sean coprimos.
Solución

Probabilidad
52
Recordemos que
Por lo enunciado en el cuadro anterior vemos que 3 y 7 son coprimos porque
tienen como divisores comunes solamente a 1 y −1. Así que un ejemplo de
placa con esta condición es M720713.
c) Sus 6 dígitos formen un número palindrómico.
Consideremos primeramente la siguiente definición:
Por tanto un número palindrómico es por ejemplo 510 015 y una placa sería
M510015.
7. Encuentre el total de placas posibles en los siguientes casos:
a) En Granada las placas de buses de transporte colectivo comienzan con las
letras GR seguidas de 3 dígitos.
b) En Carazo las placas de vehículos particulares empiezan con las letras CZ
seguidas de 4 dígitos.
a) En Granada las placas de buses de transporte colectivo comienzan con las
letras GR seguidas de 3 dígitos, encuentre el total de placas.
Similarmente al ejercicio anterior debemos determinar el número de
permutaciones de 10 elementos tomando 3 a la vez permitiendo repetición.
Luego el número de permutaciones es:
103
= 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1 000.
Dos números enteros 𝑎 y 𝑏 son números coprimos, si no tienen
ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro
divisor común más que 1 y −1.
Equivalentemente 𝑎 y 𝑏 son coprimos si y sólo si, su máximo común
divisor es igual a 1.
Número palindrómico es un número natural que se lee igual de derecha
a izquierda y de izquierda a derecha, Ej. 212.
Solución

Probabilidad
53
Es decir, el número de placas posibles para buses de transporte colectivo en
Granada es 1 000.
b) En Carazo las placas de vehículos particulares empiezan con las letras CZ
seguidas de 4 dígitos ¿cuál es el total de placas?
Esta vez calcularemos el número de permutaciones formadas considerando los
10 dígitos tomando 4 a la vez y permitiendo repetición. Entonces el total de
estas permutaciones es:
104
= 10 000.
Es decir, el número de placas posibles en Carazo para vehículos particulares es
10 000.
8. Para el inciso a) del ejercicio anterior, dé ejemplo de una placa cuya parte
numérica sea un número feliz ¿Es éste un número primo? ¿Si sumamos sus
dígitos, el resultado es un múltiplo de 5?
Recuerde que
En vista de lo enunciado en el cuadro anterior debemos encontrar un número feliz
de 3 cifras. Consideremos por ejemplo el 404 y verifiquemos que es un número
feliz:
42
+ 02
+ 42
= 32
32
+ 22
= 13
12
+ 32
= 10
12
+ 02
= 1
Número feliz es todo número natural tal que si sumamos los cuadrados de
sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos, el último
resultado es 1. Por ej. 7 es un número feliz porque
72
= 49
42
+ 92
= 97
92
+ 72
= 130
12
+ 32
+ 02
= 10
12
+ 02
= 1.
Solución

Probabilidad
54
Por lo anterior tenemos que un ejemplo de placa que verifica la condición dada es
GR404. Observemos que 404 no es primo pues es un par diferente de 2 y la
suma de sus dígitos (4 + 0 + 4 = 8) no es múltiplo de 5.
9. Calcule
a) 𝑃(5; 5)
b) 𝑃(5; 5)– 𝐶(5; 5)
c) ¿Por qué el resultado en b) no es un número negativo?
d) 𝑃(6; 1)
e) 𝐶(6; 1)
f) 𝐶(5; 4) + 𝑃(3; 2) + 𝐶(3; 3) + 𝑃(4; 1).
a) 𝑃(5; 5)
Haremos uso de la fórmula 𝑃(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
sabiendo que 𝑛 = 𝑟 = 5 y
recordando que 0! = 1, de modo que
𝑃(5; 5) =
5!
(5 − 5)!
=
5!
0!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
1
= 120.
b) 𝑃(5; 5) – 𝐶(5; 5)
Utilicemos la fórmula 𝐶(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
para calcular
𝐶(5; 5) =
5!
5! (5 − 5)!
=
120
120(1)
=
120
120
= 1.
Usando el resultado anterior y el obtenido en el inciso a) tenemos:
𝑃(5; 5) − 𝐶(5; 5) = 120 − 1 = 119.
c) ¿Por qué el resultado en b) no es un número negativo?
El resultado obtenido en el inciso anterior es positivo porque el número de de
combinaciones de 5 elementos tomados todos a la vez es menor que el
número de permutaciones de 5 elementos tomando 5 a la vez. En general
tenemos
Solución

Probabilidad
55
𝑛! (𝑛 − 𝑟)! > (𝑛 − 𝑟)! ⇒
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
<
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
.
d) 𝑃(6; 1)
En este caso 𝑛 = 6 y 𝑟 = 1 lo cual implica que
𝑃(6; 1) =
6!
(6 − 1)!
=
6!
5!
=
6 ∙ 5!
5!
= 6.
e) 𝐶(6; 1)
Sustituyendo 𝑛 = 6 y 𝑟 = 1 𝐶(𝑛; 𝑟) se tiene
𝐶(6; 1) =
6!
1! (6 − 1)!
=
6 ∙ 5!
1(5!)
= 6.
f) 𝐶(5; 4) + 𝑃(3; 2) + 𝐶(3; 3) + 𝑃(4; 1).
Necesitamos calcular cada uno de los términos de la expresión anterior,
utilizando en cada caso la fórmula que corresponda. Por tanto:
𝐶(5; 4) =
5!
4! (5 − 4)!
=
5 ∙ 4!
4! (1!)
=
5
1
= 5,
𝑃(3; 2) =
3!
(3 − 2)!
=
3!
1!
=
6
1
= 6,
𝐶(3; 3) =
3!
3! (3 − 3)!
=
3!
3! (0!)
= 1,
y por último
𝑃(4; 1) =
4!
(4 − 1)!
=
4!
3!
=
4 ∙ 3!
3!
= 4.
Por lo anterior obtenemos que
𝐶(5; 4) + 𝑃(3; 2) + 𝐶(3; 3) + 𝑃(4; 1) = 5 + 6 + 1 + 4 = 16.
Actividad en grupo
Resuelve para un número natural 𝑥 las siguientes ecuaciones. Recuerde que en
𝐶(𝑛; 𝑟) y 𝑃(𝑛; 𝑟) se cumple que 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛.

Probabilidad
56
1. 𝐶(𝑥; 2) = 10
2. 𝐶(𝑥; 2) = 45
3. 𝐶(𝑥; 2) – 𝐶(𝑥; 3) = 0
4. 𝐶(𝑥; 1) = 200
5. 2𝐶(𝑥; 4) = 𝑃(𝑥; 3)
6. 𝑃(𝑥; 𝑥) = 6
7. 2𝐶(𝑥; 4) = 𝑃(𝑥; 3)
Para resolver cada una de las ecuaciones dadas haremos uso de las fórmulas
𝑃(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!
o 𝐶(𝑛; 𝑟) =
𝑛!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
.
1. 𝐶(𝑥; 2) = 10
𝐶 (𝑥; 2) = 10 Ecuación dada
𝑥!
2!(𝑥−2)!
= 10 Fórmula de combinatoria
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)!
2(𝑥−2)!
= 10 Definición de factorial
𝑥(𝑥−1)
2
= 10 Simplificación
𝑥(𝑥 − 1) = 20 Multiplicación por 2
𝑥2
− 𝑥 = 20 Ley distributiva
𝑥2
− 𝑥 − 20 = 0 Sumando −20
(𝑥 − 5)(𝑥 + 4) = 0 Factorizando
Las soluciones por tanto son 𝑥1 = 5 y 𝑥2 = −4, de las cuales solamente
escogemos a 𝑥1 = 5 porque es la única solución número natural.
2. 𝐶(𝑥; 2) = 45
Procedemos de manera similar al inciso anterior:
𝐶 (𝑥; 2) = 45 Ecuación dada
𝑥!
2!(𝑥−2)!
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)!
2(𝑥−2)!
Solución

Probabilidad
57
𝑥(𝑥−1)
2
= 45 Simplificación
𝑥(𝑥 − 1) = 90 Multiplicación por 2
𝑥2
− 𝑥 = 90 Ley distributiva
𝑥2
− 𝑥 − 90 = 0 Sumando −90
(𝑥 − 10)(𝑥 + 9) = 0 Factorizando
Las soluciones de esta ecuación cuadrática son 𝑥1 = 10 y 𝑥2 = −9 pero la
que nos interesa es 𝑥1 = 10 porque es natural.
3. 𝐶(𝑥; 2)– 𝐶(𝑥; 3) = 0
𝐶(𝑥; 2) – 𝐶(𝑥; 3) = 0 Ecuación dada
𝐶(𝑥; 2) = 𝐶(𝑥; 3) Sumando 𝐶(𝑥; 3)
𝑥!
2!(𝑥−2)!
=
𝑥!
3!(𝑥−3)!
Combinatoria
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)!
2(𝑥−2)!
=
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)!
6(𝑥−3)!
Factorial
𝑥(𝑥−1)
2
=
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)
6
Simplificación
1
2
=
𝑥−2
6
Multiplic. por
1
𝑥(𝑥−1)
2(𝑥 − 2) = 6 Igualdad de fracciones
2𝑥 − 4 = 6 Ley distributiva
2𝑥 = 10 Sumando 4
𝑥 = 5 Multiplic. por
1
2
Por tanto la solución de la ecuación es 𝑥 = 5.
4. 𝐶(𝑥; 1) = 200
𝐶(𝑥; 1) = 200 Ecuación dada
𝑥!
1!(𝑥−1)!
𝑥(𝑥−1)!
(𝑥−1)!
𝑥 = 200 Simplificación
Por tanto la solución de la ecuación dada es 𝑥 = 200.

Probabilidad
58
5. 2𝐶(𝑥; 4) = 𝑃(𝑥; 3)
Procedemos de igual forma que en los incisos anteriores justificando paso a
paso en la resolución de la ecuación planteada:
2𝐶(𝑥; 4) = 𝑃(𝑥; 3) Ecuación dada
2𝑥!
4!(𝑥−4)!
=
𝑥!
(𝑥−3)!
Combinat. y permutac.
2𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)(𝑥−4)!
24(𝑥−4)!
=
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)!
(𝑥−3)!
Factorial
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)
12
= 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) Simplificación
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 12𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) Multiplic. por 12
𝑥 − 3 = 12 Multiplic. por
1
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)
𝑥 = 12 + 3 Sumando 3
𝑥 = 15
En consecuencia, la solución de la ecuación dada es 𝑥 = 15.
6. 𝑃(𝑥; 𝑥) = 6
Resolvamos la ecuación dada utilizando las fórmulas ya conocidas:
𝑃(𝑥; 𝑥) = 6 Ecuación dada
𝑥!
(𝑥−𝑥)!
= 6 Fórmula para permutaciones
𝑥!
0!
= 6 Por ser 𝑥 − 𝑥 = 0
𝑥! = 6 Por ser 0! = 1
De esta última ecuación deducimos que 𝑥 = 3 ya que 3 es el único natural
cuyo factorial es 6.
Probabilidad Clásica
A continuación abordaremos aspectos fundamentales de las probabilidades
introduciendo el término de probabilidad clásica y posteriormente el de probabilidad
frecuencial. En el estudio de esta unidad debemos tener en cuenta que la teoría de

Probabilidad
59
probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada resultado posible de un
experimento aleatorio con el objetivo de saber si un evento es más probable que
otro.
1. En una urna hay 5 bolas verdes, 5 rojas y 2 negras. Se extrae una bola al
azar.
¿Qué es más probable, extraer una bola roja o una negra?
¿Es más probable sacar una bola verde que sacar una bola roja?
Explique su respuesta.
¿Qué es más probable, extraer una bola roja o una negra?
Es más probable extraer una bola roja que extraer una negra ya que, como en
la urna hay 5 bolas rojas y solamente 2 negras, se tienen más casos
favorables de sacar una roja.
¿Es más probable sacar una bola verde que sacar una bola roja? Explique su
respuesta.
Como hay un mismo número de bolas verdes y bolas rojas, es igualmente
probable sacar una roja o una verde pues el número de casos favorables a que
ocurran estos eventos es el mismo.
2. Lance una moneda al aire ¿qué es más probable que aparezca en la cara
superior, un número o un escudo?
La moneda solo tiene 2 caras, una de ellas es un número, la otra un escudo,
entonces es igual de probable que aparezca un número a que aparezca un
escudo.
3. Suponga que está por finalizar la primera vuelta de la liga de fútbol categoría sub-
20 en la ciudad de Estelí y el equipo Filemón Rivera se encuentra como líder 5
puntos por encima del William Fonseca, que ocupa el segundo lugar, y el último
partido, según calendario, es entre ellos.
¿Cuál es uno de los resultados posibles después de este encuentro?
¿Puede el William Fonseca lograr acumular más puntos que el Filemón Rivera
si por juego ganado se asignan 3 puntos?
¿Qué probabilidad tiene el William Fonseca de ocupar el primer lugar?
Solución
Solución

Probabilidad
60
¿Es un evento imposible que este equipo ocupe el primer lugar? ¿Es un evento
seguro que el Filemón Rivera se mantenga como líder?
¿Cuál es uno de los resultados posibles después de este encuentro?
Uno de los resultados posibles es que el Filemón Rivera se corone ganador de
la primera vuelta de la liga y el William Fonseca ocupe el segundo lugar (no
puede haber empate por los puntajes respectivos de los equipos).
¿Puede el William Fonseca lograr acumular más puntos que el Filemón Rivera
si por juego ganado se asignan 3 puntos?
Evidentemente el William Fonseca no lograría acumular más puntos que el
Filemón Rivera aún si ganase en el último partido pues este último tendría aún
2 puntos más que el equipo contrincante.
¿Qué probabilidad tiene el William Fonseca de ocupar el primer lugar?
Con la asignación de 3 puntos por juego ganado es evidente que la
probabilidad de que el William Fonseca ocupe el primer lugar es nula.
¿Es un evento imposible que este equipo ocupe el primer lugar? ¿Es un evento
seguro que el Filemón Rivera se mantenga como líder?
Efectivamente es un evento imposible que el William Fonseca ocupe el primer
lugar pues gane o pierda en el último partido el equipo adversario tendrá más
puntos a su favor, y así vemos también que es seguro que el Filemón Rivera
ocupe el primer lugar.
4. Sabemos que el conjunto de resultados posibles al lanzar un dado es
𝑬 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
Si el dado no está cargado,
¿Tiene cada uno de los eventos simples de 𝐸 la misma probabilidad de ocurrir?
¿Cuál es la justificación?
¿Cuántos resultados favorables hay para el evento “el dado cae en un número
par”?
¿Cuál resultado es más probable, que el dado caiga 1 ó que caiga par?
¿Su respuesta a la pregunta anterior tiene relación directa con los resultados
favorables a cada caso?
Solución
Solución

Probabilidad
61
¿Tiene cada uno de los eventos simples de 𝐸 la misma probabilidad de ocurrir?
¿Cuál es la justificación?
Recordemos que un evento simple del espacio muestral está conformado por un
único elemento; así 𝐴 = {1}, 𝐵 = {2}, 𝐶 = {3}, 𝐷 = {4}, 𝐽 = {5} y 𝐹 = {6} son los
eventos simples de 𝐸 y cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ocurrir
ya que el número de casos favorables para cada uno es 1 de un total de 6
posibles.
¿Cuántos resultados favorables hay para el evento “el dado cae en un número
par”?
En el espacio muestral tenemos 3 números pares: 2, 4 y 6, por lo cual tenemos
tres casos favorables para este evento de un total de 6 casos posibles.
¿Cuál resultado es más probable, que el dado caiga 1 ó que caiga par?
Es más probable que caiga par ya que hay más casos favorables para que
ocurra el primer evento (3 casos) a que ocurra el segundo (tan solo un caso
favorable).
¿Su respuesta a la pregunta anterior tiene relación directa con los resultados
favorables a cada caso?
Efectivamente para responder a la pregunta anterior hemos recurrido al análisis
del número de casos favorables para cada evento y así determinar cuál de los
dos es más probable.
Eventos equiprobables
Así por ejemplo al lanzar al aire una moneda legal tiene la misma probabilidad de
caer escudo o número. En el caso del lanzamiento de un dado no cargado son
equiprobables los eventos simples de 𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, porque cada uno de ellos
tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Habiendo considerado las interrogantes anteriores y definir eventos equiprobables
pasamos a definir probabilidad clásica: A la razón entre el cardinal de un evento de
Dos eventos son igualmente probables o equiprobables si tienen la misma
probabilidad de ocurrir.

Probabilidad
62
Ejemplo
Type equation here.
un experimento aleatorio y el cardinal del espacio muestral de ese experimento se le
define como probabilidad clásica.
Probabilidad Clásica
Observe que en la definición de probabilidad a cada evento se asigna un número
real a fin de saber si ese evento o resultado es más probable que otro.
Características de la probabilidad
1. La probabilidad de un evento 𝐴 es no negativa y menor o igual a 1.
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
2. La probabilidad de un evento seguro 𝐸 es 1.
𝑃(𝐸) = 1
3. La probabilidad de un evento imposible es 0.
𝑃(∅) = 0
4. La probabilidad de un evento 𝐴 ⊂ 𝐸, es la suma de las probabilidades de cada
uno de los eventos elementales que lo conforman. Aquí se está considerando
que la probabilidad es discreta porque el espacio muestral es finito.
Utilice la ruleta de la página siguiente haciendo girar la aguja y calcule las siguientes
probabilidades
1) 𝑃 (número entero).
2) 𝑃 (número real).
3) 𝑃 (número irracional).
Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral 𝐸, la probabilidad de
que ocurra el evento 𝐴, que se denota por 𝑃(𝐴) está dada por
𝑃(𝐴) =
#(𝐴)
#(𝐸)
=
número de resultados favorables
número total de resultados posibles
.
1/3

Probabilidad
63
Solución 1) El total de resultados posibles es 8 y en la ruleta aparecen los enteros 2 y
−4, luego los resultados favorables son 2, así:
𝑃(número entero) =
2
8
=
1
4
Exprese el resultado anterior en notación decimal.
2) En este caso el número de resultados favorable es igual al total de resultados
posibles ¿Por qué?, por tanto:
𝑃(número real) =
8
8
= 1
¿Cómo interpreta este resultado?
Este resultado indica que el evento 𝑃(número real) es seguro.
3) Tenemos que la probabilidad pedida es:
𝑃(número irracional) =
2
8
=
1
4
Exprese 𝑃(número irracional) como un porcentaje.
El resultado anterior equivale en porcentaje a 25%.
Una hiladora se divide en 4 sectores iguales, coloreados con amarillo, azul,
verde y rojo. Si se rota frente a una persona:
 ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en un sector rojo?
 Calcule 𝑃(no rojo).
 Verifique que 𝑃(rojo) = 1 − 𝑃(no rojo).
 ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga en un sector rojo?
El total de casos posibles es 4 (hay 4 colores en la hiladora) y como
solamente hay un sector rojo, el número de casos favorables es 1, por tanto la
probabilidad de obtener un sector rojo es:
Solución
Solución
Solución

Probabilidad
64
𝑃(sector rojo) =
1
4
.
 Calcule 𝑃(no rojo).
Además del rojo, en la hiladora aparecen 3 colores más: amarillo, azul y
verde; entonces el total de casos favorables para obtener un sector que no sea
rojo es 3 y la probabilidad de este evento es:
𝑃(no rojo) =
3
4
.
 Verifique que 𝑃(rojo) = 1 − 𝑃(no rojo).
Gracias a lo obtenido en los incisos anteriores vemos que:
𝑃(rojo) =
1
4
=
4
4
−
3
4
= 1 − 𝑃(no rojo).
Se escoge una carta de un mazo de 52 cartas.
 ¿Cuál es la probabilidad de escoger una carta que sea rey?
 Calcule 𝑃(no reina).
 Obtenga 1 − 𝑃(no reina) ¿Es este resultado igual a 𝑃(rey)?
 ¿Cuál es la probabilidad de escoger una carta que sea rey?
Las 52 unidades que conforman el mazo están repartidas en cuatro palos:
corazones, diamantes, tréboles y picas (ver figura de la izquierda), y en este
conjunto de cartas hay 2 reyes de corazones, 2 de tréboles, 2 de picas y 2 de
diamantes; esto nos da un total de 8 reyes de los 52 naipes lo cual nos dice que
la probabilidad de sacar un rey es:
𝑃(sacar un rey) =
8
52
=
2
13
.
 Calcule 𝑃(no reina).
En vista de que en el mazo hay 4 cartas de reina, los restantes 48 naipes no
son reinas, es decir que hay 48 casos favorables para el evento 𝐴: No sacar
reina y por tanto la probabilidad de este es:
𝑃(𝐴) =
48
52
=
12
13
≈ 0.92.
Solución

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