Contiene la demostración de las ecuaciones de Cauchy-Riemmann, el teorema de Cauchy & Cauchy-Grousat con un ejemplo y conceptos (div, curl & gradient)

1. Teorema de Cauchy
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann, Ejemplo del
Teorema de Cauchy, Conceptos
Análisis Cuantitativo del Riesgo
Algoritmos y Modelación
David Solís

2. 2
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann
Teorema de Cauchy - Ejemplo
Conceptos
Desarrollo de intuición
Ejercicios y Extensiones
1
2
3
4
Referencias 5

3. 3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

4. 3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

5. z0
∂z = ∂x
∂z = i∂y
3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

6. z0
∂z = ∂x
∂z = i∂y
3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

7. z0
∂z = ∂x
∂z = i∂y
3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

8. z0
∂z = ∂x
∂z = i∂y
3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

9. z0
∂z = ∂x
∂z = i∂y
3
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann

10. 4
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann
Teorema de Cauchy - Ejemplo
Conceptos
Desarrollo de intuición
Ejercicios y Extensiones
1
2
3
4
Referencias 5

11. Teorema de Cauchy & Cauchy-Grousat
5

12. Teorema de Cauchy - Ejemplo 1/6
6

13. Teorema de Cauchy - Ejemplo 1/6
6

14. Teorema de Cauchy - Ejemplo 1/6
6

15. El método Polya
Para solución de problemas
Entender el problema Configurar un plan
¿Puedes usar alguna de las siguientes
estrategias?
Ensayo y error, buscar un patrón, resolver un
problema más simple, usar razonamiento directo
o indirecto, hacer una figura, hacer un diagrama,
resolver un problema equivalente, trabajar hacia
atrás
¿Entiendes todo lo que dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias
palabras?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Es este problema similar a algún otro que hayas
resuelto antes?
Ejecutar un plan Mirar hacia atrás
Implementar la o las estrategias que escogiste hasta
solucionar completamente el problema
Concédete un tiempo razonable para resolver el
problema.
No tengas miedo de volver a empezar. Suele
suceder que un comienzo fresco o una nueva
estrategia conducen al éxito.
¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface
lo establecido en el problema?
¿Adviertes una solución más sencilla?
¿Puedes ver cómo extender tu solución a un
caso general?
7

16. Teorema de Cauchy - Ejemplo 2/6
Cr
CR
C
L1 L2
-R -r 0 r R
8

17. Teorema de Cauchy - Ejemplo 2/6
Cr
CR
C
L1 L2
-R -r 0 r R
8

18. Teorema de Cauchy - Ejemplo 3/6
9

19. Teorema de Cauchy - Ejemplo 3/6
9

20. Teorema de Cauchy - Ejemplo 3/6
9

21. Teorema de Cauchy - Ejemplo 3/6
9

22. Teorema de Cauchy - Ejemplo 4/6
10

23. Teorema de Cauchy - Ejemplo 4/6
10

24. Teorema de Cauchy - Ejemplo 4/6
10

25. Teorema de Cauchy - Ejemplo 4/6
10

26. Teorema de Cauchy - Ejemplo 4/6
10

27. Teorema de Cauchy - Ejemplo 5/6
11

28. Teorema de Cauchy - Ejemplo 5/6
11

29. Teorema de Cauchy - Ejemplo 5/6
11

30. Teorema de Cauchy - Ejemplo 6/6
12

31. Teorema de Cauchy - Ejemplo 6/6
12

32. Teorema de Cauchy - Extensiones
13

33. Teorema de Cauchy - Extensiones
13

34. Teorema de Cauchy - Extensiones
13

35. Teorema de Cauchy - Extensiones
13

36. Teorema de Cauchy - Extensiones
13

37. 14
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann
Teorema de Cauchy - Ejemplo
Conceptos
Desarrollo de intuición
Ejercicios y Extensiones
1
2
3
4
Referencias 5

38. 15
Grad - Intuición
‣ Representa los puntos de gradiente
en la dirección de la mayor tasa de
aumento de la función y su magnitud
es la pendiente de la gráfica en esa
dirección. Los componentes del
gradiente en coordenadas son los
coeficientes de las variables en la
ecuación del espacio tangente a la
gráfica.
‣ Es una generalización del concepto
de derivada de una función en una
dimensión a una función en varias
dimensiones. Si F es una función
diferenciable, escalar con valores de
coordenadas cartesianas estándar en
el espacio euclidiano, su gradiente es
el vector cuyas componentes son las
n derivadas parciales de f. Es por
tanto una función vectorial.
Los valores de la función están
representados en blanco y negro
(los más altos), su gradiente son las
flechas azules.

39. 16
Curl - Intuición
‣ Si la hélice se mueve, significa que el
campo tiene rotación en ese punto (lo
que implica que el campo no es
conservativo).
‣ Curl es un vector, es decir tiene
magnitud (fuerza) y dirección (es la
orientación del eje de la hélice a fin
de obtener la máxima rotación).
‣ Es la cantidad de fuerza que empuja
a lo largo de un contorno cerrado o
ruta.
‣ Es simplemente la circulación por
unidad de superficie, la densidad de
la circulación, o la tasa de rotación
(cantidad de torsión en un solo
punto).
Curl = circulation
area =
R
FR(r)·dr
S
Dirección en posición r
Fuerza en posición r
Superficie considerada
La dirección a la curvatura es la normal a la superficie
Hélice para medir el giro
Campo vectorial

40. 17
Div - Intuición
‣ El flujo neto del cubo de la figura es la
suma de los cambios de flujo en el
componente X en la dirección X, más
los del Y y Z en las direcciones
correspondientes.
‣ Es una cantidad, como la densidad.
‣ El gradiente (del) nos da las derivadas
parciales (dx, dy, dz), y el producto
escalar los suma (x dx + y dy + z dz).
‣ Es la "densidad de flujo", es decir la
cantidad de flujo de entrada o salida
de un punto, es decir la tasa de
expansión de flujo (divergencia
positiva) o la contracción del flujo
(divergencia negativa).
‣ Cuanto más grande es la densidad
de flujo (positivo o negativo), más
fuerte es la fuente de flujo. Un div de
cero significa que no hay cambio de
flujo neto
Superficie con flujo 0
Nada cruza
máximo Campo vectorial
Superficie con flujo
Flujo parcial
Divergence = divF = F = lim
Depende del ángulo r · Vol!1
Flux
Vol
r · F =
✓
@F1
@x
+
@F2
@y
+
@F3
@z
◆
F1 es el campo en la dirección X, F2 en la Y y F3 en la Z

41. 18
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann
Teorema de Cauchy - Ejemplo
Conceptos
Desarrollo de intuición
Ejercicios y Extensiones
1
2
3
4
Referencias 5

42. 19
Ejercicios y Extensiones
‣ ¿Cuál es la relación de las ecuaciones de
Cauchy-Riemann con las funciones
holomórficas y con la ecuación de Laplace?
‣ Revisa el teorema de Jordan (se sugiere la
referencia citada)
‣ Completa el desarrollo para las integrales de
Direchlet y Fresnel
‣ Explique el concepto de Div en la ecuación de
calor

43. 20
Demostración Ecuaciones Cauchy-Riemann
Teorema de Cauchy - Ejemplo
Conceptos
Desarrollo de intuición
Ejercicios y Extensiones
1
2
3
4
Referencias 5

44. 21
Referencias
Libros
Otras fuentes
‣ Yuefeng, F. (1996). Proof without words: Jordan's inequality 2x/π ≤
sin x ≤ π/2. Mathematics Magazine, 69(2), 126-126.

45. 22
Retroalimentación - Discusión