Material preparación (PSU) pre universitario pedro de valdivia.

1. GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 32
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA PROPORCIONAL II
TEOREMAS DE EUCLIDES
El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y CD es altura.
a y b: catetos
c: hipotenusa
p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.
 
A D B
 Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura hc al cuadrado es igual al producto
entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
q h
=
h p
c
c

 Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto al cuadrado es igual al
producto entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
p a
=
a c

q b
=
b c

EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 2, CD es altura. ¿Cuál es la medida de
CD ?
A) 3 13
B) 2 13
C) 6
D) 4
E) 36
2. En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 3, BD es altura. ¿Cuál es la medida de
AD ?
A) 10
B) 8
C) 2
D) 2 5
E) 4 5
A
C
B
D
2
4
fig. 3
a2 = p  c b2 = q  c
A C
4
9
D
fig. 2
B
C
b a
c
q
hc


p
fig. 1
2c
h = p  q
C u r s o : Matemática
Material N° 32

2. 3. En el triángulo ABC rectángulo en A de la figura 4, AD es altura. ¿Cuál es la medida de
2
1
C
A B
3
D
fig. 4
BC ?
A) 2 2
B) 6 2
C) 8
D) 9
E) 10
4. En el triángulo ABC rectángulo en B de la figura 5, BD es altura. ¿Cuál es la medida de
AB ?
A) 3 5
B) 6 5
C) 6
D) 10
E) 13
15
D 3 C
5. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida de
BC ?
A) 5
B) 8
C) 4 6
D) 4 3
E) 4 2
fig. 6
6. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 7, CD es altura. ¿Cuál es la medida del
cateto AC ?
A) 48
B) 16
C) 4 3
D) 2 6
E) 4
7. Según los datos proporcionados por la figura 8, la medida de x es
A) 1,5
B) 2 5
C) 3 5
D) 5
E) 9
A
B
fig. 5
A
C
D 4 B
12
D
A
B
C
4 2
fig. 7
2 2
D
C
A
fig. 8
B
x
4
6

3. PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema de las cuerdas
Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en
el interior de ella, el producto de los segmentos
determinados en una de ellas es igual al producto de
segmentos determinados en la otra.
3
Teorema de las secantes
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento
exterior es igual al producto de la otra secante por su
segmento exterior.
Teorema de la tangente y la secante
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
una tangente y una secante, la tangente al cuadrado es
igual al producto entre la secante y su segmento exterior.
C B
P
B
D
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de la figura 1, AB y CD son cuerdas que se intersectan en P. Si
AP = 9 cm, PB = 12 cm y CP = 18 cm, entonces CD mide
A) 24 cm
B) 21 cm
C) 13,5 cm
D) 6 cm
E) 3 cm
2. En la figura 2, PS y PU son secantes a la circunferencia de centro O. Si PR = RS = 14 y
PT = 8, entonces TU es igual a
A) 8
B) 16,5
C) 24,5
D) 41
E) 49
A D
A
C
P
A
B
T
P
AP · PB = CP · PD
PA · PC = PB · PD
= 2 PT PA · PB
fig. 1
D
P
A C
B
R
S
U
P
T
O
fig. 2

4. 3. En la circunferencia de centro O de la figura 3, AB es tangente y AC secante. Entonces,
según los datos proporcionados en al figura, ¿cuál es la longitud de DC ?
4
A) 18
B) 21
C) 25
D) 29
E) 30
4
4. En la figura 4, AC y BD son cuerdas. Si AE = EC, entonces la cuerda AC mide
A) 36
B) 18
C) 9
D) 6 2
E) 3 2
3
5. En la circunferencia de la figura 5, PS y PR son secantes. Si PQ = 2 cm, QR = 5 cm y
PS = 14 cm, ¿cuál es la longitud de PT ?
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 4 cm
D) 5
7
cm
E) 13 cm
T
6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, MN es tangente en N y MS es secante.
Si MR = 3 cm y RS = 45 cm, entonces la tangente MN mide
A) 144 cm
B) 72 cm
C) 32 cm
D) 12 cm
E) 3 5 cm
P
Q
R
S
fig. 5
E
fig. 4
A
B
C
D
E
6
S
N
M
R
O
fig. 6
A
B
C
10 D
fig. 3
O

5. PB n A P B
5
DIVISIÓN DE TRAZOS
 DIVISIÓN INTERNA
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n
AP m
=
 DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA
Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo
que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el
segmento mayor y el menor.
(AP > PB)
OBSERVACIÓN: La razón AB
AP
se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO: 
EJEMPLOS
1. Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón 5 : 3. Si PB = 36 cm,
¿cuánto mide AB ?
A) 12 cm
B) 48 cm
C) 60 cm
D) 72 cm
E) 96 cm
2. Un punto Q divide en sección áurea a un trazo CD, con CQ > QD. Si CD = 10 cm y
CQ = x, entonces la ecuación para determinar x es
A) x2 + 10x – 100 = 0
B) x2 – 10x + 100 = 0
C) x2 – 10x – 100 = 0
D) x2 + 10x + 100 = 0
E) x2 + x – 100 = 0
A P B
 = AB
AP
= 5 + 1
2
 1,618034
AB AP
=
AP PB

6. 3. ¿Cuál(es) de los siguientes trazos, se encuentra(n) dividido(s) interiormente por el
6
punto P en la razón 2 : 3?
I)
II)
III)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
4. En la figura 1, R divide en sección áurea a PQ siendo PR < RQ. Entonces, se cumple que
A) x2 = m · n
B) n2 = m · x
C) m2 = n · x
D) n = m · x
E) m = n · x
m
5. Un punto P divide interiormente a un segmento AB en la razón 3 : 7. Si AB mide 25 cm,
¿cuál es la medida de AP ?
A) 2,5 cm
B) 7,5 cm
C) 9,5 cm
D) 17,5 cm
E) 18,5 cm
6. La pierna y el brazo de Juan están en razón áurea, respectivamente. Si la pierna mide
un metro de longitud, entonces ¿cuánto mide el brazo?
A) 5 + 1
2
m
B) 5 + 1
3
m
 m
C) 5 1
2
 m
D) 5 1
3
 m
E) 5 1
4
20
A P 12 B
15
2
A 5 P B
6
18
A P B
n fig. 1
P R x Q

7. RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7
1 y 2 C B D B D C D
3 y 4 A D B D A D
5 y 6 E A C A B C
7
DMTRMA-32
Ejemplos
Págs.
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