1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Sen 2 x Cos 2 x 1 ; x R
Sen 2 x
Cos 2 x
1 Cos 2 x
1 Sen 2 x
Ciclo 2012-III Sec 2 x Tan 2 x 1 ; x R (2n 1)
2
; n Z
Sec 2 x
Tan 2 x
Tan 2 x 1
Sec 2 x 1
TRIGONOMETRÍA Csc 2 x Cot 2 x 1 ; x R n ; n Z
C sc 2 x
Cot 2 x
Cot 2 x 1
Csc 2 x 1
“Identidades Trigonométricas” Semana Nº 7
IDENTIDADES 1
sec x tgx n sec x tgx
TRIGONOMETRICAS n
Son aquellas igualdades que relacionan funciones
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se  Si:
verifican para todo admisible, clasificándose de la 1
csc x ctgx m csc x ctgx
siguiente manera: m
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS senx 1 cos x cos x 1 senx
 Sen . Cosec = 1 R-n  ;
 Cos . Sec =1 R–(2n+1) 1 cos x senx 1 senx cos x
 Tan . Cotan = 1 R – n /2
 (senx cosx)2 = 1 2senx.cosx
2. IDENTIDADES POR DIVISION
 Tan = Sen / Cos R–(2n+1) /2 RECORDAR
 Cotan = Cos / Sen R–n Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
3. IDENTIDADES PITAGORICAS Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
 Sen2 + Cos2 = 1 R
 1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1) /2
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
 1 + Ctg2 = Csc2 R–n
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
4. IDENTIDADES AUXILIARES
cumpliéndose.
 sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x  Sen 2 2x + cos 2 2x = 1
 1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2
 sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x  Sen 5x . csc 5x = 1
sen 10x
 tg x + cotg x = sec x . cosec x  tg 10x
cos 10x
 sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
5. TIPOS
 (1 senx cosx)2 =2 (1 senx)(1 cosx) A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
 Si: ejercicios, estas son:
 Escoger el miembro más complicado de la
asenx +bcosx = C c a2 b2 identidad.
Entonces:  Colocar el miembro escogido en términos
a b de senos y cosenos.
senx cos x  Hacer uso de identidades algebraicas,
c c según sea el caso.
 Cuando haya potencias puede ser útiles
 Si: hacer factorizaciones
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
 De las identidades fundamentales se 1 cos x 1 cos x
podrán deducir otras. senx k
senx . cos x k
Calcular el valor de “k”
Los ejercicios sobre IDENTIDADES
TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos: a) senx b) cosx c) tgx
 Demostraciones d) senx.cosx e) Cscx.Tgx
 Simplificaciones
 Condicionales 8. Si: Secx Tgx a ; csc x Ctgx b
 Eliminación del ángulo
Determinar la relación que elimina el arco “x”
de “x”
PROBLEMA DE CLASE
a) 4a .b a 2 1 b 2 1 b) 2a .b a 2 1 b 2 1
Senx Cosx Tgx c) a .b a 2 2 b 2 2 d) 2a .b a2 1 b2 1
E
1. Simplificar: Cscx Secx Ctgx e) 4a .b a2 1 b2 1
2 2
a) 1 b) Sec x c) Csc x
d) Secx e) Cscx 9. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
(Senx Cosx )2 1 F tg 4 x 3tg 2 x k sec 4 x sec 2 x
E
2. Simplificar: Senx .Cosx a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0
10. Reducir:
Cosx Cosx 2 sen 8 x cos 8 x
F cos 2 x
3. Determinar "k" en: 1 Senx 1 Senx k 1 2sen 2 x . cos 2 x
2
a) Cos x b) SenxCosx c) Senx a) Sen 2 x b) Cos 2 x c) Sen 2 x
d) Cosx e) Sen 2x d) Cos 2 x e) Sen 4 x
4. Simplificar: Sen 4 x Cos 4 x 1
E
1 2 SenxCosx Senx 11. Simplificar: Sen 6 x Cos 6 1
E (x IC)
Senx a) 5/3 b) -1 c) 2/3 d) ¾ e) 1/3
a) Senx b) Cosx c) 1
d) Tgx e) Ctgx 12. Reducir:
E 3(Sen 4 x Cos 4 x) 2(Sen 6 x Cos 6 x)
5. Determinar a-1 en la siguiente identidad
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
1 1 1
a
sen x 2
ctg x 2
cos2 x 13. Si: Senx+Cosx = m
a) ctg x2 b) tg 2 x c) Sen 2 x Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx)
d) Cos 2 x e) Sec 2 x 1 m2 1 m2 (1 m)2
a) 2 b) 2 c) 2
6. Calcular “k”, para que la siguiente igualdad (1 m)2
sea una identidad. d) 2 e) 1+m
sen k x 1 sen k x 1
6sen 2 x 2 cos 4 x 14. Si: Sen 3 x
senx 1 senx 1 Senx Cos 2 x ; calcular
a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10 F Cscx Sen 3x
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
7. Si la siguiente expresión es una identidad:
15. Si: Tgx Tg 2 x Tg 3x 1 ; calcular
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
F Ctgx Tg 3 x c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2– n2 = p2 – q 2
a) 2 b) 1 c) 3 d) -1 e) -2 e) m 3– n2 = p2 – q 3
PROBLEMA DE REPASO
16. Si: Tgx Secx 1
n ; calcular
Tgx Secx 1
1. Hallar A2 en la siguiente identidad:
F Secx Tgx
1 Senx A
a) n-2 b) n-1 c) n d) n2 e) n 1 Senx Cscx 1
2 2 2
a) Sen x b) Cos x c) Tg x
17. Determinar "x" para que la igualdad:
2 2
1 1 1 1 d) Ctg x e) Sec x
Cos 2 Tan 2 Cot 2 x
Sea una identidad 2. Eliminar "x" a partir de:
a) Sen
2
b) Cos
2
c) Tan
2 Tgx + Ctgx = a
d) Secx e) Cscx Tgx - Ctgx = b
2
a) a b2 3 b) a
2
b2 3
18. Si la igualdad es una identidad c) a
2
b 2
4 d) a
2
b2 4
Calcular: M+N 2 2
Cscx Ctgx Cscx Ctgx e) a b 8
M 4 Ctg N x
Cscx Ctgx Cscx Ctgx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Senx Cosx 7
6
3. Si:
Calcular: C = Senx Cosx
19. Si: 1 ,
a .Cos 4
bSen 4 1 1 1 1 1
1 1 a) 7 b) 6 c) 14 d) 12 e) 9
a b
5 4 4 , tal que a 0y b 0, 4.
m
Hallar ,si se cumple la identidad
mn
Calcular Sec n
a) a b b) a b c) a ctg 2x cos2 x ctg m x . cosn x
a b b a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
d) a b e) a b
b a 5. La expresión (1 - sen2x )(1 + tg2x) es
idéntica a:
20. Si: p q t , determinar la relación a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x e)N.A
senx cos x tgx
que elimina el arco “x” 6. 1 sen 2 x sec x tgx senx es
a) q 2 p 2 t 2 p 2q 2 b) t 2 p 2 q 2
pt 2 2
idéntica a:
c) p 2 p 2 q2 q 2t 2 d) q 2 p 2 t 2 q 2p2 a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x e)N.A
e) p 2 p 2 q2 q 2t 2
7. Si csecα – cos α= 1
p q sen 3
21. Si: m q .tgx ;n p .tgx Calcular T =
cos x cos x 1 cos
Determinar la relación que elimina el arco a) 1 b) -1 c) senα d) –senα e) cosα
de “x”
a) m – n = p – q b) m + n = p + q 8. Reducir la expresión
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
cos sec 17. Simplificar:
k=
sec 4 x 1 sen 4 x 2tg 2 x
3
sen c sec F
a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1 Csc 4 x 1 cos 4 x 2Ctg 2 x
a)0 b) tgx c) 1 d) Ctgx e) -1
9. Si: tg + ctg = 25/12 Calcular el valor
de: sen + cos
18. Simplificar:
a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4
sec 4 x Csc 4 x Sec 2 x .Csc 2 x
F
sec 2 x Csc 2 x Sec 4 x .Csc 4 x
10. El cociente de: [ (1 - sen A)½ + (1 + sen A)½ ]2
a) 0 b) -1 c) -2 d)-3 e) -4
entre 2.( cos A + sec2A – tg2A)
a) 1 b) sen x c) cos x d) csc x 19. Simplificar:
1 Cos 2 x Cos 4 x Cos 6 x Sen 3x
11. Si: x ( /4 ; /2 ) reducir: F
1 Sen x 2
Sen x Sen x
4 6
Cos 3x
1 2senx. cos x 1 2senx. cos x
a) 1 b) 2sen x c) cos x d) sen x x 0;
2
4 4 a) Cscx b) Secx c) tgx d) Ctgx e) Cosx
C Sen x Cos x
12. Reducir: Senx Cosx
a) 1 b) Senx c) Cosx 20. Si: Cos 2 x Senx Cosx ; Calcular:
d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx F 2Ctgx Cos 2 x
a) Cosx b) 1 Cosx c) Senx.Cosx
13. Simplificar: d) ½ e) 1
C (1 Tan 2 x)Cos 4 x (1 Cot 2 x)Sen 4 x
2 2 2 2 21. Si: tg 2 x 2tg 2 y 1 ; calcular
a) 1 b) Sen xCos x c) Sen x d) Cos x e) 2
F 2Cos x 2
Cos y 2
4
Sen x Cos x 4 7 a) Cosx b) Cosy c) tgx
14. Si: 9
d) 0 e) 1
Calcular: C Sen 6 x Cos 6 x
2
1 2 1 2 4 Tga Tgb
a) 3 b) 3 c) 9 d) 9 e) 9
22. Si: tg 2 a Tg 2b ,
Senx Tgx
15. Simplificar: determinar Cosx en función de tg a y tg b.
tgx sec x
2
ctgx csc x
2 a) tgb b) tga c) tga + tgb
F tga tgb
senx 1 cos x 1
d) tga 1 e) 2tga
a) tg 2 x b) Ctg 2 x c) Cos 2 x
tgb 1 tgb
d) 2 e) 1
23. Si: m tg ctg 3
2
16. Simplificar:
sec 6 x tg 6 x 1 n Sec .Csc 1
2
F
Csc 6 x Ctg x 1
6
Determinar la relación que elimina el arco
a) tg x 5 b) Ctg 5 x c) 1 de “ ”
a) m n 1 b) m n 2
d) tg 6 x e) Ctg 6 x
c) n m 4 d) 2 m n 3
e) n m 4
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo