Se muestran unas reflexiones y ejemplos respecto a la visualización y configuración numérica en la Enseñanza Primaria

1. Abril 2003 • 2003ko Apirila 7
Configuraciones Numéricas en Primaria
CONFIGURACIONES NUMÉRICAS EN PRIMARIA
¡ A golpe de vista !
Santiago Fernández (*)
1. UN POCO DE HISTORIA
Los antiguos griegos hacían una distinción entre las relaciones existentes entre los distintos
números y el cálculo práctico de dichos números. Las primeras relaciones fueron estudiadas
en un campo que lo denominaban Aritmética, mientras que el cálculo práctico fue estudiado
por la Logística.
En los siglos V y VI a. C., los Pitagóricos se preocuparon especialmente por el estudio de la
Aritmética, estudiaron los números, clasificándolos según propiedades bien definidas.
Descubrieron muchos tipos números: amistosos, perfectos, abundantes, deficientes,detenién-
dose especialmente en el estudio de los llamados números figurados.
• Dos números son amigos si cada uno es la suma de los divisores propios del otro. Por
ejemplo: 284 y 220 son números amigos ya que la suma de los divisores propios de
284 (1,2,4,71,142) es igual a 220, y la de los divisores propios de 220, que son
1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110, es igual a 284.
• Un número es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual al número. Por
ejemplo, los números 6, 28 y496 son perfectos. El número 6 es igual a 1+2+3. El
número 28 es igual a 1+2+4+7+14.
• Un número es abundante si la suma de sus divisores propios es mayor que el
número.Por ejemplo el número 12 es abundante ,ya que la suma de 1, 2, 3, 4 y 6 es
mayor que el 12.
• Un número es deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que el número.
Por ejemplo el Número 8 es deficiente ya que la suma de 1, 2 y 4 es menor que el 8.
• Los números figurados, eran concebidos como los números de puntos en ciertas con-
figuraciones geométricas, estas representaciones constituyen un nexo de unión entre la
geometría y la aritmética.
2. NÚMEROS POLIGONALES Y POLIÉDRICOS
Para los pitagóricos, el estudio de los números fue una de sus grandes pasiones. De acuerdo a
la posibilidad de representar los números en el plano o en el espacio, dividían los números
figurados en poligonales o poliédricos.
2.1.) Números poligonales
Corresponden a configuraciones numéricas que se pueden representar sobre el plano, a modo
de ejemplo:
(*) Asesor de matemáticas del Berritzegune de Abando (Bilbao).

2. TIPO ORDEN
1 2 3 4
Triangulares
1 3 6 10
Cuadrados
1 4 9 16
Pentagonales
1 5 12 22
Hexagonales
1 6 15 28
Heptagonales 1 7 18 34
SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.8
Santiago Fernández
NÚMEROS POLIGONALES

3. 2.2.) Números poliédricos
Los Pitagóricos estudiaron no sólo configuraciones planas, sino otras que al representarse
espacialmente generaron sucesiones de números aún más complicadas, por ejemplo con base
en configuraciones triangulares generaban figuras piramidales como las pilas de naranjas que
a veces uno se encuentra en las fruterías.
Como resumen, podemos decir que los números figurados durante siglos cautivaron la aten-
ción de muchos matemáticos, en el siglo XVII el gran matemático francés P.Fermat dedujo
algunas propiedades curiosas de dichos números. La demostración de otras propiedades for-
mulados por B.Pascal fueron realizadas por Euler y Lagrange. Un estudio más general lo pode-
mos encontrar en las obras del matemático francés A. Cauchy (s. XIX).
Esta manera de jugar con los números, a través de sus representaciones, y tratar de encontrar
relaciones entre ellos cayó con el tiempo en el olvido, en algunas ocasiones su estudio fue una
mera curiosidad sin importancia, en otras ha sido aprovechada por Pseudociencias como: La
numerología,astrología etc.
Estas configuraciones las podemos encontrar en multitud de situaciones:
Números triangulares
Números cuadrados Números piramidales
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4. 3. PROPUESTA DIDÁCTICA
El trabajar con este tipo de disposiciones geométricas puede ser muy interesante desde un
punto de vista didáctico. De hecho, es muy recomendable de cara a reforzar el llamado
sentido numérico. Veamos dos ejemplos:
¿Cuántas bolas hay en esta disposición?
a) Una manera de afrontar la cuestión es
contar las bolas una a una, así obtene-
mos: 14 bolas.
b) Otra manera es ver que hay cuatro
filas de tres bolas cada una, lo que
hacen 12 bolas, y dos bolas más;
suman nuevamente 14 bolas.
c) Otra manera es observar que de un
cuadro de 20 bolas ( 4x5) se han qui-
tado 6 bolas ( 2x3) , lo que nueva-
mente suman 14.
¿Cuántas bolas negras hay en esta dispo-
sición?
a) Una manera de afrontar la cuestión es
contar las bolas negras, una a una, así
obtenemos: 18 bolas.
b) Otra, es observar que en cada fila hay
tres bolas negras , como hay 6 filas,
tenemos 18 bolas negras.
c) Podemos también contar todas las
bolas, son 30, y restar las blancas....
Es evidente que la respuesta está condicionada por la edad del alumnado, el tipo de tareas que
realizan en el aula, etc.
A continuación se proponen una serie de situaciones. Se deja en manos del docente el obte-
ner el mayor beneficio ...
SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.10
Santiago Fernández
Ejemplo 1
Ejemplo 2

5. Abril 2003 • 2003ko Apirila 11
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¿Cuántas bolitas hay?
¿Cuántas bolas negras hay?
¿Cuántas bolas blancas?
¿Cuántas bolas blancas hay?
¿Cuántas bolas negras?
1)
2)
3)

6. SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.12
Santiago Fernández
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas bolas hay?
¿Cuántas bolas hay?
4)
5)
6)

7. Abril 2003 • 2003ko Apirila 13
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¿Cuántas bolas hay?
¿Cuántas bolas hay?
¿Cuántas bolas hay?
7)
8)
9)

8. SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.14
Santiago Fernández
c)b)a)
A) 8 B) 12 D) 11
Relaciona figura y número
¿Cuántas bolas blancas hay?
b)
a)
Si hablamos de 39 bolas. ¿De qué configuración estamos hablando?
10)
11)
12)

9. Abril 2003 • 2003ko Apirila 15
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¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas son blancas?
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas son blancas?
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas son blancas?
¿Cuántas son negras?
13)
14)
15)

10. SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.16
Santiago Fernández
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas bolas hay en total?
16)
17)
18)

11. Abril 2003 • 2003ko Apirila 17
Configuraciones Numéricas en Primaria
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas son blancas?
¿Cuántas bolas hay en total?
¿Cuántas son negras?
¿Cuántas bolas hay en la siguiente
configuración?
19)
20)
21)

12. SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.18
Santiago Fernández
¿Cuántas bolas hay?
¿Cuántas cuadrados hay en total?
¿Cuántas bolas hay?
22)
23)
24)

13. Abril 2003 • 2003ko Apirila 19
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¿Cuántas cuadrados hay en total?
¿Cuántas rectángulos hay en total?
Nota. los cuadrados son también
rectángulos
¿Cuántas triángulos hay en total?
25)
26)
27)

14. SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.20
Santiago Fernández
¿Cuántas rectángulos hay en total?
27123
¿Cuál es la siguiente configuración?
1063
¿Cuál es la siguiente configuración?
28)
29)
30)