FACTORES DE INTEGRACIÓN
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ESTE MATERIAL CONTIENE EJERCICIOS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTAS A TRAVÉS DE UN FACTOR INTEGRANTE.
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- 1. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ecuaciones Diferenciales reducibles a Exactas. Factores de integración
- 2. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Factores integrantes. Caso I. Cuando 𝑀 𝑦−𝑁 𝑥 𝑁 es función solo de x, entonces 𝑃(𝑥)= 𝑀 𝑦−𝑁 𝑥 𝑁 por lo que 𝑓(𝑥) = 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 es un factor integrante. Caso II. Cuando 𝑁 𝑥−𝑀 𝑦 𝑁 es función solo de y, entonces 𝑃(𝑦)= 𝑁 𝑥−𝑀 𝑦 𝑀 lo que implica que 𝑓(𝑦) = 𝑒∫ 𝑝(𝑦)𝑑𝑦 es un factor integrante. Ecuaciones diferenciales. (4𝑥𝑦2 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥2 𝑦 + 2𝑥)𝑑𝑦 = 0 Factor integrante 𝑥2 𝑦 Factores integrantes en función de una sola variable. Ejercicios Resueltos. Ejemplo 1. ( 𝟐𝒙𝒚 + y4 ) 𝒅𝒙 + (𝟑x2 + 𝟔𝒙y3 ) 𝒅𝒚 = 𝟎 Se buscan las derivadas parciales para verificar si la E. D. es o no exacta. My = 2x + 4y3 Nx = 6x + 6y3 Dado que My ≠ 𝑁𝑥 la ecuación diferencial no es exacta. Se busca un F. I. que al ser multiplicado por E. D. la convierta en exacta. 𝑝(𝑦) = 𝑁 𝑥−𝑀 𝑦 M 𝑝(𝑦) = 6𝑥+6𝑦3−2𝑥−4𝑦3 2𝑥𝑦+𝑦4 = 4𝑥+2𝑦3 2𝑥𝑦+𝑦4 = 2 (2𝑥+𝑦3) 𝑦 (2𝑥+𝑦3) 𝑝(𝑦) = 2 y
- 3. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Luego: F. I = e∫ p(y)dy F. I = e ∫ 2 y dy F. I = e2 ln y F. I = 𝐞𝐥𝐧 𝐲 𝟐 F. I = y2 Se multiplica el F. I. por la ecuación diferencial y se calculan las derivadas parciales. 𝐲 𝟐 (𝟐𝒙𝒚 + y4 ) 𝒅𝒙 +y2 (𝟑x2 + 𝟔𝒙y3 ) 𝒅𝒚 = 𝟎 (2xy3 + y6)𝑑𝑥 + (3𝑥2 𝑦2 + 6𝑥𝑦5)𝑑𝑦 = 0 My = 6xy2 + 6y5 Nx = 6xy2 + 6y5 Ahora, se integra respecto a dx y a dy ∫(2𝑥𝑦3 + 𝑦6) 𝑑𝑥 = 0 2𝑦3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦6 ∫ 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑥2 𝑦3 + 𝑥𝑦6 = 𝐶1 ∫(3𝑥2 𝑦2 + 6𝑥𝑦5) 𝑑𝑦 = 0 3𝑥2 ∫ 𝑦2 𝑑𝑦 + 6𝑥 ∫ 𝑦5 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑥2 𝑦3 + 𝑥𝑦6 = 𝐶2 Solución General 𝑥2 𝑦3 + 𝑥𝑦6 = 𝐶
- 4. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ejemplo 2. (𝒙𝒚 𝟑 + 𝟏) 𝒅𝒙 + 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟎 Solución: 𝑀 𝑦 = 3𝑥𝑦2 𝑁𝑥 = 2𝑥𝑦2 Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta. Buscamos el F. I. 𝑝 (𝑥) = 𝑀 𝑦−𝑁 𝑥 𝑁 𝑝 (𝑥) = 3𝑥𝑦2−2𝑥𝑦2 𝑥2 𝑦2 = 𝑥𝑦2 𝑥2 𝑦2 = 1 𝑥 𝑝 (𝑥) = 1 𝑥 F. I.= 𝑒∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 F. I.= 𝑒∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒∫ 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑒ln 𝑥 F. I.= 𝒙 Ahora se multiplica a x por la E. D. 𝑥 ( 𝑥𝑦3 + 1) 𝑑𝑥 + 𝑥 ( 𝑥2 𝑦2) 𝑑𝑦 = 0 ( 𝑥2 𝑦3 + 1) 𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 Luego: 𝑀 𝑦 = 3𝑥2 𝑦2 𝑁𝑥 = 3𝑥2 𝑦2 Como se muestra, la E. D. ha sido convertida en exacta. Ahora se procede a integrar con respecto a cada diferencial. ∫( 𝑥2 𝑦3 + 1) 𝑑𝑥 = 0 𝑥3 𝑦3 3 + 𝑥 = 𝐶 Solución general 𝑥3 𝑦3 3 + 𝑥 = 𝐶 ∫ 𝑥3 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 𝑥3 𝑦3 3 + 𝑥 = 𝐶
- 5. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ejemplo 3. 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥 + (𝑥3 𝑦 + 𝑦 + 3) 𝑑𝑦 = 0 Se calculan las derivadas parciales. 𝑀 𝑦 = 2𝑥2 𝑦 𝑁𝑥 = 3𝑥2 𝑦 Como se observa, 𝑀 𝑦 ≠ 𝑁𝑥 la E. D. no es exacta. 𝑝 (𝑥) = 𝑀 𝑦−𝑁 𝑥 𝑁 𝑝 (𝑥) = 2𝑥2 𝑦−3𝑥2 𝑦 𝑥3 𝑦+𝑦+3 = −𝑥2 𝑦 𝑥3 𝑦+𝑦+3 Como se observa, con p (𝑥) no es posible expresar en función de una sola variable. 𝑝 (𝑦) = 𝑁 𝑥−𝑀 𝑦 𝑀 𝑝 (𝑦) = 3𝑥2 𝑦−2𝑥2 𝑦 𝑥2 𝑦2 = 𝑥2 𝑦 𝑥2 𝑦2 = 1 𝑦 𝑝 (𝑦) = 1 𝑦 F. I.= 𝑒∫ 𝑝(𝑦) 𝑑𝑦 F. I.= 𝑒 ∫ 1 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 ∫ 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑒ln 𝑦 F. I.= 𝒚 Se multiplica y por la E. D. 𝑦 (𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥) + 𝑦 (𝑥3 𝑦 + 𝑦 + 3) 𝑑𝑦 = 0 𝑥2 𝑦3 𝑑𝑥 + (𝑥3 𝑦2 + 𝑦2 + 3𝑦) 𝑑𝑦 = 0 Se calculan las derivadas parciales. 𝑀 𝑦 = 3𝑥2 𝑦2 𝑁𝑥 = 3𝑥2 𝑦2 Al ser 𝑀 𝑦 = 𝑁𝑥 la ecuación diferencial es exacta.
- 6. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy ∫ 𝑥2 𝑦3 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑦3 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑦3 𝑥3 3 = 𝐶 Se integra con respecto a dy ∫(𝑥3 𝑦2 + 𝑦2 + 3𝑦) 𝑑𝑦 = 0 𝑥3 ∫ 𝑦2 𝑑𝑦 + ∫ 𝑦2 𝑑𝑦 + 3 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦3 𝑥3 3 + 𝑦3 3 + 3𝑦2 2 = 𝐶 Solución general 𝑦3 𝑥3 3 + 𝑦3 3 + 3𝑦2 2 = 𝐶
- 7. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Caso III. Factor integrante de la forma 𝑥 𝑚 𝑦 𝑛 En este caso el factor integrante estará dado por la expresión 𝑀 𝑦 − 𝑁𝑥 = 𝑚 𝑁 𝑥 − 𝑛 𝑀 𝑦 Ejemplo 1. (𝑥2 𝑦5 + 𝑦3)𝑑𝑥 + (𝑥3 𝑦4 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0 𝑀 𝑦 = 5𝑥2 𝑦4 + 3𝑦2 𝑁𝑥 = 3𝑥2 𝑦4 + 1 Dado que 𝑀 𝑦 ≠ 𝑁𝑥 la ecuación diferencial no es exacta, por lo que: 𝑴 𝒚 − 𝑵 𝒙 = 𝒎 𝑵 𝒙 − 𝒏 𝑴 𝒚 5𝑥2 𝑦4 + 3𝑦2 − 3𝑥2 𝑦4 − 1 = 𝑚 𝑥3 𝑦4+𝑥 𝑥 − 𝑛 𝑥2 𝑦5+𝑦3 𝑦 2𝑥2 𝑦4 + 3𝑦2 − 1 = 𝑚( 𝑥2 𝑦4 + 1) − 𝑛(𝑥2 𝑦4 + 𝑦2) 2𝑥2 𝑦4 + 3𝑦2 − 1 = 𝑚 𝑥2 𝑦4 + 𝑚 − 𝑛𝑥2 𝑦4 − 𝑛𝑦2 2𝑥2 𝑦4 + 3𝑦2 − 1 = (𝑚 − 𝑛) 𝑥2 𝑦4 − 𝑛𝑦2 + 𝑚 De lo anterior, se extrae lo siguiente: { 𝑚 − 𝑛 = 2 −𝑛 = 3 𝑚 = −1 Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que: 𝒎 = −𝟏 𝒚 𝒏 = −𝟑 Esto indica que el factor integrante es 𝒙−𝟏 𝒚−𝟑 Ahora se multiplica este factor por la ecuación diferencial 𝒙−𝟏 𝒚−𝟑 (𝑥2 𝑦5 + 𝑦3)𝑑𝑥 + 𝒙−𝟏 𝒚−𝟑 (𝑥3 𝑦4 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0 (𝑥𝑦2 + 𝑥−1)𝑑𝑥 + (𝑥2 𝑦 + 𝑦−3)𝑑𝑦 = 0 Se calculan nuevamente las derivadas parciales 𝑀 𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑁𝑥 = 2𝑥𝑦 Dado que 𝑀 𝑦 = 𝑁𝑥 la ecuación diferencial es exacta.
- 8. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ahora se integra con respecto a dx y con respecto a dy ∫(𝑥𝑦2 + 𝑥−1) 𝑑𝑥 𝑦2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑦2 𝑥2 2 + ln 𝑥 = 𝐶 ∫( 𝑥2 𝑦 + 𝑦−3 ) 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑥2 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 𝑦−3 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦2 𝑥2 2 + 𝑦−2 −2 = 𝐶 𝑦2 𝑥2 2 − 1 2𝑦2 = 𝐶 Solución General 𝑦2 𝑥2 2 − 1 2𝑦2 + ln 𝑥 = 𝐶 𝑥2 𝑦2 − 1 𝑦2 + 2 ln 𝑥 = 𝐶 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 − 𝟏 𝒚 𝟐 + 𝐥𝐧 𝒙 𝟐 = 𝑪
- 9. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ejemplo 2. (𝑥−3 𝑦4 − 2𝑥4 𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥−2 𝑦3 + 𝑥5 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 Se calculan las derivadas parciales 𝑀 𝑦 = 4𝑥−3 𝑦3 − 4𝑥4 𝑦 𝑁𝑥 = −2𝑥−3 𝑦3 + 5𝑥4 𝑦 Dado que las derivadas parciales, no son iguales, esta ecuación diferencial no es exacta. Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para esto la fórmula: 𝑀 𝑦 − 𝑁𝑥 = 𝑚 𝑁 𝑥 − 𝑛 𝑀 𝑦 4𝑥−3 𝑦3 − 4𝑥4 𝑦 + 2𝑥−3 𝑦3 − 5𝑥4 𝑦 = 𝑚 𝑥−2 𝑦3 +𝑥5 𝑦 𝑥 − 𝑛 𝑥−3 𝑦4 −2𝑥4 𝑦2 𝑦 6𝑥−3 𝑦3 − 9𝑥4 𝑦 = 𝑚 (𝑥−3 𝑦3 + 𝑥4 𝑦) − 𝑛 (𝑥−3 𝑦3 − 2𝑥4 𝑦) 6𝑥−3 𝑦3 − 9𝑥4 𝑦 = 𝑚 𝑥−3 𝑦3 + 𝑚 𝑥4 𝑦 − 𝑛 𝑥−3 𝑦3 + 2 𝑛𝑥4 𝑦 6𝑥−3 𝑦3 − 9𝑥4 𝑦 = (𝑚 − 𝑛) 𝑥−3 𝑦3 + (𝑚 + 2𝑛) 𝑥4 𝑦 De la expresión anterior, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: { 𝑚 − 𝑛 = 6 𝑚 + 2𝑛 = −9 Al resolver este sistema de ecuaciones, nos queda que: 𝒎 = 𝟏 𝒚 𝒏 = −𝟓 Por lo que el Factor integrante es 𝒙 𝒚−𝟓 Se multiplica el Factor integrante por la ecuación diferencial 𝑥𝑦−5(𝑥−3 𝑦4 − 2𝑥4 𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦−5(𝑥−2 𝑦3 + 𝑥5 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 (𝑥−2 𝑦−1 − 2𝑥5 𝑦−3) 𝑑𝑥 + (𝑥−1 𝑦−2 + 𝑥6 𝑦−4) 𝑑𝑦 = 0 Se calculan las derivadas parciales. 𝑀 𝑦 = −𝑥−2 𝑦−2 + 6𝑥5 𝑦−4 𝑁𝑥 = −𝑥−2 𝑦−2 + 6𝑥5 𝑦−4
- 10. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Comprobada la exactitud de la ecuación diferencial, se procede ahora a integrar respecto a dx y dy. ∫(𝑥−2 𝑦−1 − 2𝑥5 𝑦−3) 𝑑𝑥 = 0 ∫ 𝑥−2 𝑦−1 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥5 𝑦−3 = 𝐶 𝟏 𝒙 𝒚 − 𝟐𝒙 𝟔 𝟔𝒚 𝟑 = 𝑪 𝟏 𝟏 𝒙 𝒚 − 𝒙 𝟔 𝟑𝒚 𝟑 = 𝑪 𝟏 ∫(𝑥−1 𝑦−2 + 𝑥6 𝑦−4) 𝑑𝑦 = 0 ∫ 𝑥−1 𝑦−2 𝑑𝑦 + ∫ 𝑥6 𝑦−4 = 𝐶 𝟏 𝒙 𝒚 − 𝒙 𝟔 𝟑𝒚 𝟑 = 𝑪 𝟐 Solución general: 𝟏 𝒙 𝒚 − 𝒙 𝟔 𝟑𝒚 𝟑 = 𝑪
- 11. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Ejemplo 3. 𝑥 (4𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦) + 𝑦3(3𝑦 𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑦) = 0 Solución: (4𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥2 𝑑𝑦) + (3𝑦4 𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑦3 𝑑𝑦) = 0 (4𝑥𝑦 + 3𝑦4) 𝑑𝑥 + (2𝑥2 + 5𝑥 𝑦3) 𝑑𝑦 = 0 Se calculan las derivadas parciales. 𝑀 𝑦 = 4𝑥 + 12𝑦3 𝑁𝑥 = 4𝑥 + 5𝑦3 Como se observa, la ecuación diferencial no es exacta. Ahora se procede a buscar el F. I. utilizando para esto la fórmula: 𝑀 𝑦 − 𝑁𝑥 = 𝑚 𝑁 𝑥 − 𝑛 𝑀 𝑦 4𝑥 + 12𝑦3 − 4𝑥 − 5𝑦3 = 𝑚 2𝑥2+5𝑥 𝑦3 𝑥 − 𝑛 4𝑥𝑦+3𝑦4 𝑦 12𝑦3 − 5𝑦3 = 𝑚 (2𝑥 + 5𝑦3) − 𝑛 (4𝑥 + 3𝑦3) 7𝑦3 = 2𝑚𝑥 + 5𝑚𝑦3 − 4𝑛𝑥 − 3𝑛𝑦3 7𝑦3 = (5𝑚 − 3𝑛) 𝑦3 + (2𝑚 − 4𝑛)𝑥 De lo anterior se deduce que: { 5𝑚 − 3𝑛 = 7 2𝑚 − 4𝑛 = 0 Resolviendo este sistema de ecuaciones, nos queda que: 𝒎 = 𝟐 𝒚 𝒏 = 𝟏 Luego el F. I. es 𝒙 𝟐 𝒚 Se multiplica 𝒙 𝟐 𝒚 por la ecuación diferencial 𝒙 𝟐 𝒚 (4𝑥𝑦 + 3𝑦4) 𝑑𝑥 + 𝒙 𝟐 𝒚 (2𝑥2 + 5𝑥 𝑦3) 𝑑𝑦 = 0 (4𝑥3 𝑦2 + 3𝑥2 𝑦5) 𝑑𝑥 + (2𝑥4 𝑦 + 5𝑥3 𝑦4) 𝑑𝑦 = 0
- 12. Ecuaciones Diferenciales Prof. J. Amauris Gelabert S. Se calculan nuevamente las derivadas parciales para verificar si la E. D. es exacta. 𝑀 𝑦 = 8𝑥3 𝑦 + 15𝑥2 𝑦4 𝑁𝑥 = 8𝑥3 𝑦 + 15𝑥2 𝑦4 Dado que la ecuación diferencial es exacta, se procede a integrar respecto a dx y a dy. ∫ (4𝑥3 𝑦2 + 3𝑥2 𝑦 5 ) 𝑑𝑥 = 0 ∫ 4𝑥3 𝑦2 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥2 𝑦 5 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑥4 𝑦2 + 𝑥3 𝑦5 = 𝐶1 ∫(2𝑥4 𝑦 + 5𝑥3 𝑦4) 𝑑𝑦 = 0 ∫ 2𝑥4 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 5𝑥3 𝑦 4 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑥4 𝑦2 + 𝑥3 𝑦5 = 𝐶2 Solución General: 𝒙 𝟒 𝒚 𝟐 + 𝒙 𝟑 𝒚 𝟓 = 𝑪