R.m. 4to.grado-teoría de exponentes-polinomios-logaritmo

I.E. “Teodosio Franco Garcia” Matemática Cuarto Secundaria - 2016
Equipo de Matemática http://luiscanedocortez.blogspot.pe/ Prof. Luis Cañedo Cortez
Teoría de exponentes
Potenciación:
an =







2n,nsi;a.aa.a
1n:si;a
veces"n"
 
TEOREMAS
Si a    m, n  
1. Multiplicación de
potencias bases
iguales.
am
. an
= am+n
2. División potencias
de bases iguales
nm
n
m
a
a
a 

3. Potencia de una
multiplicación.
(a.b.c)n
= an
.bn
.cn
4. Potencia de una
Fracción
n n
n
a a
b b
 
 
 
; b ≠ 0
5. Potencia de
potencias.
 ([ ] )
Pm n mnp
a a
Observación:
 
m mn n
a a
6. Potencia de
exponente negativo
n n
a b
b a

   
   
   
Radicación
Donde: n: índice (n   2n  )
a: radicando o cantidad subradical
r: raíz n-ésima principal de “a”
TEOREMAS
Si
n
a y
n
b existen, entonces se cumple:
1. Raíz de una Multiplicación.
2. Raíz de una División.
3. Raíz de una Radicación.
Nota:
*
m n p
cba 
= p.n.mn.mm cba


*
m n
aa 
=
n.m n
a 
Ejercicios:
1. Reducir:
22
2
45.35
49.25.15
M 
a)
3
1
b)
2
1
c)
9
1
d)
5
1
e) 5
2. Simplificar:
4n
3n4n
2
22
N




a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/5
3. Calcular:
13825
32F


a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Calcular:
1 1
0,2 0,250,25 (0,2) 1P
 
   
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
5. Efectuar:
1 13 2 0
8 4 3
9 4 6
  
  
 
a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
6. Efectuar:
37753
4010864
x.......x.x.x.x
x........x.x.x.x
M 
a) x
60
b) x
54
c) x
57
d) x
63
e) x
51
7. Simplificar:
1
4
11
3
11
2
1
4
1
3
1
2
1
N











































a) 287 b) 281 c) 235 d) 123 e) 435
an = P ; a  ; n 
 Exponente Cero: a0 = 1  a  0
 Exponente Negativo:
n
n
a
1
a  ;  a  0
 Exponente Fraccionario:
n mn
m
aa   n  2; n 
ra
n
  rn = a
nnn
b.aab 
nnn abb.a 
n
n
n
b
a
b
a

n.mm n
bb 
nnn abb.a 

1
1 2 2 5 3
3
A      
3 3 2
2
2
m m
m
m m
x x
x x




8. Halle el exponente final de “x”.
cba3
veces"b"
acacacabcbca
))x((
x......x.x.)x(.)x(
  
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
9. Si: 2x
xx
 . Calcular:
xxxx
xP


a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 2 e)
4
2
10. Si:
2
1
a5b ba
 
. Calcular:
1ab
aR


a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 33
11. Calcular:









7
60
502
7
7
4249.7.7E
a) 6
50
b) 7
54
c) 7
55
d) 7
41
e) 1
12. Determine el inverso multiplicativo de 30A, donde:
a) 1/77 b) -1/77 c) 77 d) -1/30 e) 2/77
13. Reducir:    
3 22 3
2 2  
a)0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
14. Reduzca la expresión, considere m ,
x 

a) 0 b) 1 c) m d) x e) xm
15. Reducir: 54 33 2
a.a.aN 
a)
12 47
a b) a46/12
c)
12 113
aa d) a11
e) a47
16. Reducir:
8
72 324 324 224 323 4
7
773
77.27M  
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) N.A.
17. Reducir: a
a
a
21
21
R




a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18. Calcular:
3
1
5
3
3
1
)32(64T













a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
19. Calcular:
3 4 3 5 40732
2222I 

a)
3
2 b)
3
8 c)
3
4 d)
3
22 e) 1
20. Si
4 2
5 5
5
x x
x
A
 

 y
5 3
3 3
3
y y
y
B
 

 .
Calcular 36
A
S
B
 
  
 
a) 10 b) 100 c) 100/36 d) 216 e) 600
21. Si 2a
a  , calcular el valor de E:
1
2a
a a
E a a

 
a) 6 b) 12 c) 8 d) 20 e) 32

Polinomio
Expresión algebraica
Es la representación de una o más operaciones
algebraicas.
Ejemplos:
E(x) = x
3
– 2x +
x
3
E(x,y) =
1y
x3xy2


R(x) = 1 + x + x2
+ x3
………..
Clases de expresiones algebraicas
A) Por su forma o naturaleza
Expresión algebraica racional. Es aquella que luego
de ser reducida o simplificada, presenta en todas las
variables del numerador exponentes enteros.
Expresión algebraica racional entera. Los
exponentes de todas sus variables son números
naturales.
Ejemplo: P(x; y; z) = 3x
2
y + z
2
x
2
y + 2xy
Expresión algebraica racional fraccionaria. Es
cuando por lo menos una de sus variables tiene
exponentes enteros negativos en el numerador.
Ejemplo: 2 7
2
7 1
( , ) 2
3
A x y x y
x xyz

  
Expresión algebraica irracional. Es cuando al menos
una de sus variables tiene exponentes fraccionarios
o signo radical.
Ejemplo: 21
( ) 2
2
P x x x 
B) Por su número de términos
Monomio: 1 término
Es aquella expresión algebraica racional en la que las
únicas operaciones que aparecen entre las variables
son el producto y la potencia de exponente natural.
Ejemplos: 8x
5
y
3
; – 2x; 5
Polinomio: 2 ó más términos.
Ejemplo: 3x2
– 2x + x3
+ 8 ; x2
+ x – 1 ; x + 2
Nota: si un polinomio tiene 2 términos recibe el
nombre de binomio; si tiene 3, recibe el nombre de
trinomio. Si tiene "n" términos se le denomina
polinomio de "n" términos.
Término algebraico
Es una expresión algebraica racional (entera,
fraccionaria y/o racional) que consta de una parte
numérica (coeficiente) y una parte literal (variables
gobernadas solo por las operaciones de multiplicación y
potenciación).
Términos semejantes
Son aquellos términos algebraicos que sin importar sus
coeficientes poseen las mismas variables afectadas del
mismo exponente (misma parte literal).
Ejemplos:
Son términos semejantes: Igual parte literal:
10x
7
y-1
; -8x
7
y-1
;
𝑏
𝑎
x
7
y-1
x
7
y-1
3x
1/2
y-1/2
; 2x
1/2
y-1/2
; ax
1/2
y-1/2
x
1/2
y-1/2
Grado de las expresiones algebraicas
Es la categoría que se le asigna a un polinomio racional
entero.
Tipos de grado
Grado relativo (GR): se da respecto a una de sus
variables.
Grado absoluto (GA): o simplemente grado. Se da
respecto a todas sus variables.
GRADOS:
 Grado Relativo de un Monomio: Esta dado por
el exponente de la variable indicada.
 M(x, y, z) = 4x
2
y
4
z
5
GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5
 Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta
dado por la suma de los exponentes de las
variables.
 M(x, y, z) = 32
x4
y5
z7
G.A. = 4 + 5 + 7 = 16
 Grado Relativo de un Polinomio: Estado dado
por el mayor exponente de la variable referida.
Ejm.:
 P(x, y) = 2x
4
y
2
+ 6x
3
y
5
+ 7x
7
GR(x) = 7 ; GR(y) = 5
 Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado
por el monomio de mayor grado.
 P(x, y) =

10
64
7
52
5
23
yx6yx2yx4 
G. A. (P) = 10
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos que presentan ciertas características
particulares relacionadas a los exponentes de las
variables o a los coeficientes de las mismas. Los más
importantes son:
1. Polinomio Mónico:
Un polinomio de una variable que tiene coeficiente
principal uno se le denomina mónico.
Ejemplos: A(x) = 1 + x
2
+ 3x
B(x) = 7 – 2x
2
+ x
3
C(x) = x
2. Polinomio Ordenado
Es aquel donde los exponentes de la variable van
aumentando o disminuyendo.
Ejm.:
P(x, y) = x16
– 2x10
+ x2
+ 1
Polinomio Ordenado Descendente
Q(x, y) = 2 + x
4
+ 5x
7
+ x
10
Polinomio Ordenado Ascendente

3. Polinomio Completo
Es aquel donde aparecen todos los exponentes de
la variable, desde el mayor, hasta el término
independiente.
Ejm.:
P(x) = 6x
2
+ 2x + 3x
3
+ 5
4 términos
Q(x) = 2 + x + 3x
2
+ 5x
3
+ 4x
4
5 términos
Propiedad: En todo polinomio completo se
cumple:
# Términos = Grado + 1
Sea:
P(x) = 2x
2
+ 5x + 1
Tiene 3 términos: 3 = 2 + 1
4. Polinomio Homogéneo
Es aquel donde todos sus términos tienen el
mismo grado absoluto.
Ejm.:
a. P(x, y) =   
º2
2
º2º2
2
yxyx6 
b. Q(x, y) = 
º6
6
º6
33
º6
24
yyx3yx2 

5. Polinomio Idénticamente Nulo
Es aquel donde para cualquier valor asignado a
su variable, el resultado es siempre cero.
P(x; y; z) = Ax
2
y
2
+ Bxz
2
+ Cy
3
z  0
A = B = C = 0
6. Polinomios idénticos
Son aquellos cuyos coeficientes que afectan a sus
términos semejantes son iguales.
Ejemplos:
R(x) = (x+7)
2
; T(x) = x
2
+ 14x +49: son polinomios
idénticos R(x)  T(x)
Ejercicios:
b) Hallar el grado del siguiente monomio:
M(x; y; z) = – 3a(x
2
y
3
)
4
. z
2
A. 22 B. 26 C. 20 D. 25
c) Sea el polinomio:
F(x; y) = xm + 8
.ym – 4
+ xm + 7
.ym
+ x2m + 1
.y8
; cuyo
grado es 27. Calcular: G.R.(x) + G.R.(y)
A. 28 B. 30 C. 26 D. 25
d) El polinomio: P(x) = ax
a + 2
+ 3ax
a + 4
– 4x
a
; es de grado 8.
Calcular la suma de sus coeficientes.
A. 16 B. 12 C. 14 D. 18
e) En el polinomio:
P(x; y)  2xn+3
ym-2
z6-n
+ xn+2
ym+3
el G.A. = 16
y G.R.(x) – GR(y) = 5.
Calcular el valor de: 2m + n + 1
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
f) Dado el polinomio:
P(x; y) = xa-2
yb+5
+ 2xa-3
yb
+ 7xa-1
yb+6
Donde: G.A. = 17  G.R.(x) = 4
Calcular: (a - b)
2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 16
g) Si: P(x) = x
2
+ x – 2; calcular: P(8) + P(2)
A. 56 B. 49 C. 54 D. 74
h) Si: F(2x – 1) = x
2
– 3x – 4 ; calcular: F(3) – F(1)
A. – 12 B. – 6 C. 4 D. 0
i) Hallar: a + b
ax
2
+ bx + 7  k(3x
2
– 2x + 1)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
j) Calcular: m + 2n en:
m(x + n) + n(x + m)  3x - 56
a) -3 b) -2 c) -1 d) 3 e) 5
k) Hallar: a + b + c. Si el polinomio es idénticamente nulo.
P(x) = a(3x2
– x + 2) + b(2x - 1) - c(x2
- x) – 6x
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
l) Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado
ascendentemente. Hallar: (a + b + c + d)
P(x) = xa+d-1
+ 2xb-c+1
+ 3xa+b-4
a) 9 b) 10 c) 8 d) 7 e) 11
m) Hallar: (a + b), si el polinomio es homogéneo:
P(x, y) = 3x2a-5
y4b
+ 5x2a-4b
y3
+ x4
y9
a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 5
n) Halla el coeficiente del monomio:
P(x; y) = 9
m + 1
.3
-n
.x
3m + 2n
.y
5m - n
, si su grado
absoluto es 10 y el grado con respecto a x es 7.
A) 9 B) 3 C) 18 D) 27 E) 81
o) El polinomio:
P(x; y) = mx2
y + nx2
y - 4x2
y + mxy - xy – nxy es
idénticamente nulo. Halla: 4mn
A) 8 B) 12 C) 15 D) 10 E) 18
p) En el siguiente polinomio:
P(x; y) = xm
yn - 1
+ xm + 1
yn
- xm-2
yn + 2
+ xm + 3
yn + 1
el
GR(x) = 12 y GA(P) = 18. Calcula el GR(y).
A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 5
q) Calcular “a + b”, si los siguientes términos son
semejantes: t1(x; y) = nx
a + 1
y
b + 3
t2(x; y) = x
b
y
2b
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
r) Si: F(x + 3) = x
2
+ 2x – 15; hallar: F(x + 5)
A. x
2
+ 6x – 7 B. x
2
+ 6x C. x
2
– 7 D. x
2
+ 5x + 7

22
ba4 
3
x
1
x  2
2
x
1
x 
5
x
1
x 
4
4
x
1
x 
10
1
b.a 
5
22
22
)162()162(
)37()37(
R



MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios utilizaremos la propiedad
distributiva. Ejemplo:
PRODUCTOS NOTABLES
Son aquellas multiplicaciones cuyos productos se
obtienen de forma directa sin necesidad de realizar
operación alguna.
 BINOMIO AL CUADRADO:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
 IDENTIDADES DE LEGENDRE:
(a + b)
2
+ (a – b)
2
= 2(a
2
+ b
2
)
(a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
 BINOMIO AL CUBO:
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
= a
3
– b
3
– 3ab(a – b)
 SUMA POR DIFERENCIA DE BINOMIOS:
(Diferencia de cuadrados) (a + b)(a – b) = a
2
– b
2
 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON
TÉRMINO COM ÚN:
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
 MULTI PLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO
: (a + b)(a
2
– ab + b
2
) = a
3
+ b
3
Suma de cubos
(a – b)(a
2
+ ab + b
2
) = a
3
– b
3
Diferencia de cubos
PRINCIPALES IDENTIDADES:
Desarrollo de un trinomio al cuadrado:
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + bc + ac)
Desarrollo de un trinomio al cubo:
(a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b)(b + c)(a + c)
(a + b + c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc
Identidad trinómica (Argand):
(x
2
+ x + 1)(x
2
– x + 1) = x
4
+ x
2
+ 1
(x
2
+ xy + y
2
)(x
2
– xy + y
2
) = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
IGUALDADES CONDICIONALES:
Si: a + b + c = 0 , se cumple:
I. a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
II. a
2
+ b
2
+ c
2
= –2(ab + ac + bc)
III. (ab + bc + ac)
2
= (ab)
2
+ (bc)
2
+ (ac)
2
Nota: Sean: a; b; c ∈ lR y m; n ∈ lN
a
2n
+ b
2m
= 0 ⇒ a = b = 0
a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ac ⇒ a = b = c
Ejercicios:
1. Sabiendo a + b = 11; ab = 20. Calcular:
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
2. Si: x + y = 3  xy = 1
Indicar el valor de: (x - y)2
a) 2 b) 4 c) 5 d) 7 e) 1
3. Si: . Calcular:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8
4. Si: . Dar el valor de:
a) 5 b) 7 c) 25 d) 13 e) 10
5. Si:
Hallar el valor de: W = (5a + 3b)2 - (5a - 3b)2
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
6. Dar el valor más simple de:
a) 5 b) 10 c) 25 d) e) 15
7. Simplificar:
a) 1 b) 0.2 c) 0.4 d) 0.5 e) 2
8. Reducir:
A = (x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8)(x - y) + y16
a) x b) 2x2 c) x4 d) x16 e) x8
9. Simplificar: (x + 1)
2
– (x + 2)
2
– (x + 3)
2
+ (x + 4)
2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)
2
+ 6(x + 2)
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
11. Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3)
2
+ (x– 3)
2
– (x– 4)(x– 5)
A. – 14 B. – 16 C. – 18 D. – 20
12. Efectuar: (x + 4)
3
– (x + 3)(x + 4)(x + 5)
A. x + 4 B. x + 3 C. x + 2 D. x – 1
13. Hallar el área de la siguiente figura:
A. 10x
2
+ 30x + 45
B. 10x
2
+ 34x + 15
C. 15x
2
+ 34x + 45
D. 15x
2
+ 30x + 15
14. Efectuar: (x + y + 1)
3
– (x + y)
3
– 3(x + y)(x + y + 1)
A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1
15. Reducir: (x
2
+ 8x + 11)
2
– (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
16. Si: a = 2 1  b = 2 1
Calcular el valor de: a
2
+ b
2
+ 3ab
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
16 16842
1)15)(15)(15)(15(26T 

17. Si: a + b + c = 0 ; reducir:
(2a + b + c)
3
+ (a + 2b + c)
3
+ (a + b + 2c)
3
A. – 3 B. 3abc C. – 3abc D. 3
18. Si: x = 2 3 5   y = 2 3 5 
Evaluar: N = (x + 1)
2
+ (y + 1)
2
+ 2xy – 1
A. 23 B. 25 C. 34 D. 36
19. Si: m + n = 5  mn = 1 ; calcular: (m
2
– n
2
)
2
A. 25 B. 5 C. 5 D. 5 5
LOGARITMO
Definición. Se denomina logaritmo de un número real
positivo, al exponente a que se debe elevar una base
positiva y distinta de la unidad, para obtener una
potencia igual al número propuesto.
Entonces: Logb
N =   N = b
Donde:
 = Logaritmo;   R
b = base; b > 0 ; b  1
N = número al cual se le toma logaritmo. N > 0
Ejemplos:
 Log5
25 = 2 ; porque: 25 = 52
 Log1/3
9 = -2 ; porque: 9 = (1/3)-2
 Log3
1 = 0 ; porque: 1 = 30
Identidad Fundamental: Nb
N
b
Log

 x > 0  a  R+
- {1}
Ejemplos:
1. 53
5
3
Log

2. 98 9Log8 
Observación:
  
decimalesaritmoslogllaman
searitmoslogdetipoEste
10
ogNLNogL 
Ejemplos:
1. Log100  x10Log 2
10
  102
= 10x
2. Log1000  x10Log 3
10
  103
= 10x
  
Ndenaturalaritmologcomo
conocesearitmologdetipoEste
e
NlogLnN 
Ejemplos:
1. Ln e  xeLoge
  e1
= ex
, x = 1
2. Lne5
= 5
3. Lne6
= 6
Debemos saber: Log2  0,3 Log10 = 1
Log3  0.47 Log5  0,69
PROPIEDADES:
a) 01Log
b
 Ejemplo Log3
1 = 0
b) 1bLog
b
 Ejemplo Log3
3 = 1 ; log5
5 = 1
c) Logx
ab = Logx
a + Logx
b (a, b, x  R+
)
Ejemplo
Log10
6 = Log10
2 + Log10
3
= 0,3 + 0,47 = 0,77
d) Logx
(a/b) = Logx
a - Logx
b (a, b, x  R+
)
Ejemplo
Log10
2
3 = Log10
3 - Log10
2
= 0,47 - 0,3 = 0,17
e) NLog
m
n
NLog a
n
ma
 (n  R; m  R; N > 0)
Propiedad del Sombrero
Ejemplo
1) 3Log
3
2
3Log
5
2
35

2) 2Log
4
3
2Log
3
3
43

3) 3Log23Log
5
2
15

4) 2Log
2
1
2Log
3
1
23

f) bLog
aLog
1
a
b
 Propiedad Inversa
Ejemplo
1) 2Log
3Log
1
3
2

2) 2Log
6Log
1
6
2

x = 2
x = 3
Este sistema fue
implementado por
Neper cuya base es
e  2,718…

g) Cambio de base.
bLog
aLog
aLog
x
x
b

Ejemplo 1: 3Log
8Log
3Log
8
5
5 
Ejemplo 2:
3Log3
5Log
3
2
3Log
5Log
27Log
25Log
2
2
3
2
2
32
2
8 
5Log
9
2
3

BLOQUE I
1. Determina los siguientes logaritmos.
a) Log30 =
b) Log
2
3
=
c) Log2
4 =
d) Log3
9 =
e) Log36 =
2. Aplicando la identidad fundamental determinar
el valor de las siguientes expresiones:
a)
5
3
Log
3 =
b)
2
5
Log
5 =
c)
5
4
Log
4
3 =
d)
2
4
Log2
4 =
e)
3
7
Log3
7 =
f)
2
5
Log
54
3 =
3. Determinar el valor de:
E = Log10 + Log1000 + 1
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6
4. Determinar el valor de:
A = Log10
4
+ Loge
e
5
+ Ine
a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 10
5. Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos:
a) Log3
9 = x
b) Log5
625 = x
c) Log5
x = 2
d) Logx
25 = 2
e) Logx
36 = 2
6. Hallar: “E ” Si:
3Log2Log
6Log
E


a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7. Indicar el valor de:



















4
3
Log
3
2
Log
2
4
LogA
222
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) 4
8. Si: Log2 = 0,3 Log3 = 0,4
Hallar el valor de: E = Log3
9 + Log2
4 + Log6
a) 1,4 b) 4,3 c) 4,7 d) 4,9 e) 5,3
a) Log3
27 =
b) 8Log
2
=
c) 3
25
5Log =
d) 3Log
3
=
10. Hallar “x” en:
3
5
Log
5100Logx 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
BLOQUE II
1. Calcular: 





9
1
Log
3,0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4
2. Simplificar:



















243
32
Log
81
50
Log
16
75
LogG
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Calcular: 1
2
3
3Log
2Log
1
E 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Reducir: (Log2
3 + Log2
5) . Log15
2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Calcular: 2LogM
64

6. Calcular:
3 2
3
3LogM 
3
1
Log27LogE
232/13

a) 4/3 b) 5/2 c) ½ d) 3/2 e) 4/5
8. Reducir: 3
( 10 )
3
Log Log Lne
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
9. El valor de “x” en la ecuación:
1)8(Log
3
1
)16(Log
2
1
)x(Log 
es: a) 18 b) 20 c) 10 d) 30 e) 25
10. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4
a) 0,5 b) 1 c) -5 d) 2 e) -1/2
11. Calcular: 22LogLog
816
a) -1/4 b) 4 c) -4 d) 1/2 e) -8

TEMA: LOGARITMOS – PROPIEDADES
1. Cologaritmo.
Cologaritmo de un número se define como el logaritmo
de la inversa del número dado.
cologbN = - logbN
Ejemplo 1: colog25 = - log25
Ejemplo 2:
3Log
3
1
3Log
3
1
Log3logCo
3
1
332727







 
=
3
1

2. Antilogaritmo
N
b
bNaritmologAnti 
Nota: Logb(antilogbN) = N
Antilogb(logbN) = N
Ejemplo 1: Antilog23 = 23 = 8
Ejemplo 2: Antilog3[antilog23 – 7]
= Antilog3[23 – 7] = 31 = 3
3. Regla de la cadena.
Logb
a . Logc
b . Logd
c = Logd
a
Ejemplo
Log3
5 . Log2
3 . Log25
2 = Log25
5 = 5Log 2
5
=
2
1
5Log
2
1
5

EJERCICIOS:
1. Transforma y simplificar de ser posible:
a) Log2 a base 3
b) Log9 a base 3
c) Log5 a base 5
d) Log32 a base 2
e) Log75 a base 5
f) Log62 a base 2
g) Log916 a base 32
2. Hallar aquello que se indica en cada caso:
a) colog24
b) colog5125
c) colog20,5
d) colog2(log381)
e) colog4(log5625) Rpta: - 1
f)  log log 642
6
co Rpta: - 2
g) antilog2(log27)
h) antilog3(log381)
i) antilog(colog100) Rpta: 1/100
j) antilog2(log83) Rpta: 3 3
k) antilog2(log162) Rpta: 4 2
3. Indicar el producto de logaritmos:
a) Log2
3 . Log3
2 =
b) Log5
2 . Log2
5=
4. Hallar: n
mmn
nLog.mLogE 
Siendo (m, n  Z
+
> 10)
a) m + n b)
n
m
c)
m
n
d) 1 e)
nm
nm


5. Evaluar: A = Log5
3 . Log27
125
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Indicar el valor de: E = Log5
3 . Log3
4 Log4
7
a) Log3
7 b) Log4
7 c) Log7
5 d)
5Log
1
7
e) N.A.
7. Hallar: M = Log5
3 . Log4
7 . Log3
6 . Log6
4
a) Log3
7 b) Log7
3 c) Log7
5 d) Log5
7 e) Log5
3
8. Determinar el valor de: E = Log5
3 . Log3
5
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
9. Determinar: “E
2
”
Si: E = Log3 . Log7
10 . Log3
7
a) 1 b) 4 c) 16 d) 9 e) 25
10. Hallar: “M”
Si:
3
4
Log.4
3
Log 5
3
Log
9
5
Log.5
3
Log
3
5
M 
a) 25 b) 25/4 c) 25/3 d) 5 e) 1
11. Calcular:
E = - Colg4Antilog2log2antilog24
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) N.A.
12. log3(log216 + 5) + antilog32
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
13.  log log 81 log 253 5
2
anti 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Calcular
K= 49logloglogloglog 752532 anticoantianti
a) 2 b) 3 3 c) 3 d) 3 2 e) N.A
15. Calcular “x” en:
813logloglog 224 antiantianti x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
16. Reducir:
R= 25log5log512log 932  coCo
a) -5 b) -7 c) -9 d) -11 e) 7
17. Reducir
P= 5loglog5loglog2log 22333 antiantianti 
a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20
18. Calcular:
5
22
Log50
5
1
Log
32,0
3
4,0

a) 5/6 b) 1/3 c) ½ d) 1/6 e) 5/3

19. Reducir:
8
5
Log
5
7
Log
7
2
Log
2
5
Log
2
5LogA 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. Calcular:  5 8
log 6 log
36 1,5 27
P
 
   
 
a) 4 b) 5 c) 4,5 d) 4,25 e) 4,75
21. Hallar: 3 54log 9 log 2 log 5
3 4 5
R 
a) 1/60 b) 1/30 c) 1/10 d) 1/40 e) 1/50
ECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS.
I. Resolver las siguientes ecuaciones
exponenciales:
1. 6
x
– 9(2
x
) – 4(3
x
) + 36 = 0 Rpta: 2
2. 15
x
– 5
x
– 125(3
x
) + 125 = 0 Rpta: {0; 3}
3. 6x
– 4(3x
) – 9(2x
) + 36 = 0 Rpta: 2
4. 6
x
– 3(2
x
) – 16(3
x
) + 48 = 0 Rpta: {1; 4}
5. 3
x
+ 3
x – 1
+ 3
x – 2
+ 3
x – 3
+ 3
x – 4
= 121
Rpta: 4
II. Determinar el valor de x en las siguientes
ecuaciones logarítmicas:
1. log2x = log43 Rpta: 3
2. log2x = log2(3x – 12) Rpta: 6
3. log3x = log92 Rpta: 2
4. logx + logx3
= 16 Rpta: 104
III.Resolver los siguientes problemas:
1. Hallar “x” en: logx + log(x+1)=colog6
-1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Hallar “x” en: antilog2
5 = 32
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Hallar: “E”
Si: ...........xxxE 
Además: x = Antilog5
Log5
2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
4. Resolver: Antilog5
x = 3
a) Log5
3 b) Log3
5 c) Log3 d) Log5 e) Log10
5. Resolver:
13log8x.logx8 + logx3x + logx16 = 16 + logx
29
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. Calcular “x”:
log3(2x + 1) + log1/3(x + 8) = 0
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. Calcular “x”, en: log2x + log4x = 3
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
8. Hallar “x” en: Logx = Log2
5 . Log5
2
a) 1 b) 0 c) 10 d) 100 e) 1 000
9. Determinar el valor de x en la ecuación:
log2[log2(colog2x)] = 0
a) ¼ b) 1/3 c) 2 d) 4 e) ½
10.Resolver la ecuación:
log log 22 2
2 log 2
x x
x



y
dar como respuesta la suma de las raíces
obtenidas.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
11.Hallar x a partir de: 5
x + 2
– 10 = 5
x + 1
a) Log(2/5) b) –log(2/5) c) –log2/log5 d)
log2/log5 e) log(2,5)
12.Resolver: log2x + log8x = 4
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16
13.Hallar x en:
log 5232 3 log 1
5
x
 
a) log3
log5
b) log5
log3
c) log5
5log3
d) log3
3log5
e) log3
5log5
14.Hallar el valor de x en:
2logx + 1 = log45 + log25 – log32
a) 15/8 b) 8/15 c) 2/15 d) 4/15 e)
15/4

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