1) El documento presenta varias identidades trigonométricas y sus demostraciones, incluyendo transformaciones de suma a producto, producto a suma, y series trigonométricas. 2) También describe propiedades importantes de los ángulos de un triángulo. 3) Finalmente, propone varios problemas para practicar el uso de estas identidades y propiedades.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“Transformaciones Trigonométricas”
A) TRANSFORMACIONES DE SUMA O
DIFERENCIA A PRODUCTO.
Demostración:
Conocemos:
Si sumamos (1) + (2) obtenemos:
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ....... (*)
Hacemos un cambio de variable :
Sea: obtenemos:
Luego en (*):
Las restantes identidades pueden verificarse en
forma análoga.
OBSERVACIÓN: debemos percatarnos de que
solamente se aplican las formulas dadas en caso
de tener suma o diferencia de senos o de
cosenos.
B) TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A
SUMA O DIFERENCIA.
Siendo: x > y
PROPIEDADES IMPORTANTES
Si A, B, y C son los ángulos de un triángulo se
obtiene:
2
cos.
2
cos.
2
cos4)1
CBA
senCsenBsenA 
2
cos.
2
.
2
4)2
CB
sen
A
sensenCsenBsenA 
1
2
.
2
.
2
4coscoscos)3 
C
sen
B
sen
A
senCBA
1
2
.
2
cos.
2
cos4coscoscos)4 
C
sen
BA
CBA
SERIES TRIGONOMÉTRICAS:
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos
están en progresión aritmética.
  )
2
(.
)
2
(
)
2
(
)1(...)2()(
UP
sen
r
sen
nr
sen
rnAsenrAsenrAsensenA


  )
2
cos(.
)
2
(
)
2
(
)1cos(...)2cos()cos(cos
UP
r
sen
nr
sen
rnArArAA







 





 





 





 





 





 





 





 

2
BAenS
2
BASen2CosACosB
2
BACos
2
BACos2CosBCosA
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2
BA
Cos
2
BA
Sen2SenBSenA










(4)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(3)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(2)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen
(1)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen





Byx
Ayx
2
BAy
2
BAx 





 





 
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)
2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y) 
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)
2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y) 







 













n
1K







 














n
1K 2
UP
Cos
2
rSen
2
nrSen
)r)1K((Cos
2
UPSen
2
rSen
2
nrSen
)r)1K((Sen
Donde :
n : # de términos
r : razón de la P.A.
P : primer ángulo
U : último ángulo
Semana N° 11

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
PROBLEMA DE CLASE
1. Si 2𝛼 = 15º, calcule el valor
de (𝑠𝑒𝑛𝛼 – 𝑠𝑒𝑛3𝛼)(2𝑐𝑜𝑠5𝛼 + 2𝑐𝑜𝑠3𝛼)
A) −
√3
2
B) −
√5
7
C) −
√3
3
D)
√3
6
E)
√5
7
2. Si 𝐴 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥−𝑠𝑒𝑛3𝑥+𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥
y 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
4
3
,
calcule 117A.
A) – 44 B) – 24 C) – 30 D) 24 E) 34
3. Calcule el valor de
𝑐𝑜𝑠40º + 𝑐𝑜𝑠20º −
𝑠𝑒𝑛70º
2𝑠𝑒𝑛10º
A) – 1 B) – 1/2 C) ½ D) 1 E) 2
4. Si se cumple
𝑠𝑒𝑛40º + 𝑠𝑒𝑛20º = 𝑎
𝑐𝑜𝑠40º + 𝑐𝑜𝑠20º = 𝑏
calcule
𝑎2
− 𝑏2
𝑎2+ 𝑏2
A) −
√3
2
B) − ½ C) ½ D)
√3
2
E) 1
5. Reduzca la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛6º𝑠𝑒𝑛18º𝑠𝑒𝑛84º +
√3
8
A) cos6º B)
1
2
𝑐𝑜𝑠6º C)
1
4
cos6º
D)
1
8
cos6º E)
1
4
sen4º
6. Si se cumple que
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛3𝑥
= 𝑎 halle el
equivalente de
𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 𝑎 + 1 B) – (𝑎 + 1) C) 𝑎 – 1
D) 1 – 𝑎 E)
−1
1+𝑎
7. Si 90º < 𝑥 < 180º, calcule el valor de x
en la siguiente igualdad.
𝑠𝑒𝑛40º𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠40º𝑐𝑜𝑠𝑥 – 2𝑐𝑜𝑠20º𝑐𝑜𝑠𝑥
A) 110º B) 120º C) 130º D) 140º E) 150º
8. Si
𝑠𝑒𝑛25º+𝑠𝑒𝑛35º
𝑐𝑜𝑠65º−𝑐𝑜𝑠55º
=
𝑚
√3
calcule el valor de (𝑚 – 1)𝑡𝑎𝑛40º.
A) 1 + 𝑚2
B) 𝑚 – 1 C) 𝑚 + 1 D)
1
𝑚
+ 1 E) 𝑚
9. Calcule el valor de
1
2𝑠𝑒𝑛10º
− 2𝑠𝑒𝑛70º
A) ½ B) 1 C) √2 D) √3 E) 2
10. Si 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑧 = 0 𝑦 𝑧 − 𝑥 =
𝜋
4
calcule el menor valor de 𝑐𝑜𝑠2
𝑧 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥.
A)
2−√2
4
B) – ½ C) −
√2
2
D) 1 −
√2
2
E)
√2−1
2
11. Determine el equivalente de la expresión
(6𝑐𝑠𝑐10º𝑐𝑜𝑠65º − 3√2𝑐𝑠𝑐10º)𝑠𝑒𝑛35º
A) 3cos70º B) – 6sen20º C) – 3cos70º
D) 3sen70º E) – 6cos20º
12. Calcule el valor de la expresión
(2𝑐𝑜𝑠40º + 𝑐𝑜𝑠80º)𝑐𝑠𝑐80º
A)
√3
2
B)
√2
2
C) √2 D) √3 E) 2√3
13. Dado el sistema 𝑥 + 𝑦 =
4𝜋
3
,
𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑦 = 1 , calcule el valor 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦).
A) – 1 B) – 1/2 C) ½ D)
√3
2
E) 1
14. Calcule el valor de
𝑠𝑒𝑛
𝜋
10
𝑠𝑒𝑛
2𝜋
10
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
10
𝑠𝑒𝑛
4𝜋
10
A)
√5
16
B)
√5
8
C)
√5−1
8
D)
√5−1
4
E)
√5+1
4
15. ¿En qué tipo de triángulo ABC se cumple
𝑠𝑒𝑛2
𝐴 + 𝑠𝑒𝑛2
𝐵 + 𝑠𝑒𝑛2
𝐶 = 2?
A) acutángulo B) oblicuángulo
C) equilátero D) rectángulo E) obtusángulo
16. Si 16𝑠𝑒𝑛5
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶𝑠𝑒𝑛5𝑥,
determine el valor de 𝐴 + 2𝐵 + 𝐶.
A) – 3 B) – 2 C) 1 D) 4 E) 6
17.De la igualdad:

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
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


40kctg
20cos10sen
70cos80sen
,
Calcule el valor de k.
A) 1/2 B) 1 C) -1
D) -1/2 E) 1/3
18.Calcule el valor de n en la igualdad:
 10cosn55cos55sen
A) 1 B) -1 C) 2
D) 2 E)
2
2
19.Calcule x2 + y2 de las condiciones
siguientes:


4cosy3cos5cos
3cosx2sen4sen
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 16
20.Luego de transformar a producto la
expresión: 5,010sen20cos  , se obtiene
ksen40° cos10°. ¿Qué valor posee k?
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) -1 E) -2
21.Reducir:
x)1n2cos(...x5cosx3cosxcos
x)1n2(sen...x5senx3sensenx
N



A) tgnx B) tg(2n-1) C) tg(2n+1)x
D) tg2nx E) 1
22.Si:



4sen6sen
19sen17sen
)(f
Calcular: 




 
23
f
A) -1 B) 1 C) -2
D) 2 E) -3
23.Calcule el equivalente de la siguiente
expresión 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥
A) 4cos2xcos4xcos6x
B) 4cosxcos3xcos5x
C) 4cosxcos2xcos3x
D) 4cosxcos2xcos4x
E) 4cos2xcos3xcos4x
24.Simplifique la siguiente expresión
𝑠𝑒𝑛6𝜃 + 𝑠𝑒𝑛4𝜃 + 𝑠𝑒𝑛5𝜃
𝑐𝑜𝑠6𝜃 + 𝑐𝑜𝑠4𝜃 + 𝑐𝑜𝑠5𝜃
A) tanθ B) tan3θ C) cot5θ D) cotθ
E) tan5θ
25.Si 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑀𝑐𝑜𝑠5𝑥, calcule 𝑡𝑎𝑛4𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
A)
𝑀+1
𝑀−1
B)
𝑀−1
𝑀+1
C)
𝑀+2
𝑀
D)
𝑀
𝑀−1
E)
𝑀
𝑀+1
26.En el triángulo ABC, simplifique la
expresión
𝑠𝑒𝑛𝐵+𝑠𝑒𝑛𝐶+𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴+𝑠𝑒𝑛𝐵+𝑠𝑒𝑛𝐶
A) 2 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 0
27.El valor de la expresión
𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
7
) + 𝑐𝑜𝑠 (
4𝜋
7
) + 𝑐𝑜𝑠 (
6𝜋
7
) es
A) – ½ B) 0 C) ½ D) – 1 E) 1
28.De la siguiente identidad
4𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠3𝜃 + 1 =
𝑠𝑒𝑛(𝐴𝜃)
𝑠𝑒𝑛𝜃
,
calcule el valor de A.
A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 2
29.Calcule el valor de la siguiente expresión
1
2𝑠𝑒𝑛10º
− 2𝑠𝑒𝑛70º
A) – 1 B) 0 C) 1 D)
√2
2
E)
√3
2
30.Calcule el valor de la siguiente expresión
(√3𝑠𝑒𝑐70º − 2)𝑐𝑠𝑐50º ·
A) 2 B)√3 C) 3 D) 1/2 E) 4

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
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31.Dado un triángulo ABC, reducir:
senAsenB
C2senB2senA2sen 
A)4senC B) 2cosC C) 2senC
D) 4cosC E) 2tgC
32.Hallar el valor:
º20senº50senº100sen
º20cosº50cosº100cos
E



A)2 3 B) 3 -2 C)1 D) -1 E) 3
33.Hallar el valor de:
E =
13
9
cos
13
3
cos
13
9
cos
13
cos
13
3
cos
13
cos





A)1 B)
2
1
C) -1
D)
2
3
E)
2
1

34.Dado un triángulo ABC, reducir:
  1tgCtgBtgA
1C2cosB2cosA2cos


A)4senAsenBsenC
B)-4cosAcosBcosC
C)4cosAcosBcosC
D)-4senAsenBsenC
E)-2senAsenBsenc
35.Reduzca la siguiente expresión
𝑠𝑒𝑛(𝐴 − 3𝐵) + 𝑠𝑒𝑛(3𝐴 − 𝐵)
cos (𝐴 − 3𝐵) + cos(3𝐴 − 𝐵)
A) tanA
B) tanB
C) tan(2A–2B)
D) tan(A–B)
E) tan(3A–3B)
36.Determine el valor de
𝑠𝑒𝑛 20º + 𝑠𝑒𝑛 30º + 𝑠𝑒𝑛 40º
cos 20º + cos30 º + cos40 º
A) tan10º B) cot10º C)
√3
3
D) √3 E) tan20º
37.De la siguiente identidad
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛7𝑥
= 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝐶𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥
halle A+B+C+D.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
38.Se sabe que
𝑠𝑒𝑛7𝑥
sen5x
= 𝑛
Halle 𝑡𝑎𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥.
A) 𝑛2
B) 𝑛2
+1 C)
𝑛+1
𝑛
D)
𝑛−1
𝑛
E)
𝑛+1
𝑛−1
39.Halle la relación entre a, b y c
independiente de x, a partir de
𝑎
𝑆𝑒𝑛𝑥
=
𝑏
𝑆𝑒𝑛2𝑥
=
𝑐
𝑆𝑒𝑛3𝑥
A) 𝑎2
+ 𝑐2
= 𝑏2
B) 𝑎2
+ 𝑎𝑐 = 𝑏2
C) 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
D) 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑎2
E) 𝑏2
+ 𝑏𝑐 = 𝑎2
40.Si 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑎 ∧ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑏
halle 𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦).
A)
𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2
B)
𝑎𝑏
𝑏2−𝑎2
C)
2𝑎𝑏
𝑎2−𝑏2
D)
2𝑎𝑏
𝑏2−𝑎2
E)
𝑎
𝑏
41.Si 𝑐𝑜𝑠4𝜃 + 𝑐𝑜𝑠8𝜃 + 𝑐𝑜𝑠12𝜃 = 0, halle AE
en términos de n a partir del gráfico.
A) n
B) 2n
C) 4n
D) 8n
E) 16n