Matemática Avanzada, Funciones

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Funciones
Prof. R. Padilla

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Funciones
• Función: relación que asigna
exactamente un valor del rango a cada
valor del dominio.

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Funciones
• Relación → cualquier conjunto de pares
ordenados. Ejemplo: 𝑥, 𝑦
• Dominio → son todos los valores de x
en una relación.
• Rango → son todos los valores de y en
una relación.

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Función madre
• Una función madre es la forma más
simple en un conjunto de funciones que
forman una familia.
• Cada miembro de la familia es una
transformación de la función madre.

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Funciones
• Las funciones se pueden transformar
utilizando la reflexión, la traslación, la
extensión y la compresión.
• Todas esas transformaciones forman
una familia de funciones.

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Relación vs. Función
• Ejemplos:
– {(2,-3), (4, 3), (5,6), (2,8)}
– {(3,5) , (8,4), (9,4), (1,5)}
– {(1,-2), (3, -2), (5, -2)}

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La prueba de la recta
vertical

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La prueba de la recta
vertical

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FUNCIONES BÁSICAS Y SUS
FAMILIAS

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𝑓 𝑥 = 𝑥²

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𝑓 𝑥 = −𝑥²
• ¿Qué tiene de diferente la función?
• ¿Qué efecto tiene ese negativo?
• ¿De qué forma altera la gráfica con
respecto a la función original?

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El negativo en la función crea una
reflexión de la gráfica en el eje de x
𝑓 𝑥 = −𝑥²

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f(x) = x² + 4
Y esta función,
¿qué tiene de diferente?

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𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4
x f(x)x f(x)
-2 8
-1 5
0 4
1 5
2 8

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𝑓 𝑥 = 𝑥² + 4
• El 4, por ser positivo, ocasiona una
traslación de la función.
• La función se trasladó 4 unidades hacia
arriba con respecto a su posición
original.
• En conclusión, la suma o resta de
constantes hará una traslación en el eje
de y hacia arriba o hacia abajo
respectivamente.

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El próximo miembro en la
familia de 𝑓 𝑥 = 𝑥² es
𝑓 𝑥 = (𝑥 + 3)²
• ¿Qué crees que pasará?
• ¿Se trasladará también hacia arriba
como ocurrió cuando le sumamos 4 a la
función?

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𝑓 𝑥 = (𝑥 + 3)²
x f(x)x f(x)
-2 1
-1 4
0 9
1 16
2 25

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𝑓 𝑥 = (𝑥 + 3)²
• A diferencia de la función anterior, tanto el 3
como la x están siendo afectadas por el
exponencial.
• En este caso, la función se traslada hacia la
izquierda. Exactamente 3 unidades.
• Cuando se le suma o resta una constante
dentro del paréntesis, esto crea una traslación
en el eje de x.

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¿Cuál de estas funciones muestra
una traslación hacia la derecha?
A. f(x)= x² - 8
B. f(x) = (x – 8)²

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x f(x)
-2 8
-1 2
0 0
1 2
2 8
x f(x)
Te presento al último miembro de la
familia de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥²
• Grafiquemos f(x) = 2x² y veamos qué
pasa.

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𝑓 𝑥 = 𝑥²
• 2 es un número mayor que 1. ¿Qué
crees que ocurrirá si el número es
menor que 1?
• Por ejemplo: 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥²
x f(x)x f(x)
-2 2
-1 ½
0 0
1 ½
2 1

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Transformaciones
• Estas transformaciones se llaman
extensión y compresión.
• La extensión ocurre cuando el coeficiente
es mayor que 1.
• La compresión ocurre cuando el
coeficiente es mayor que 0 pero menor
que 1.

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Transformaciones
• Mientras más grande sea el coeficiente más
estrecha será su gráfica. Se acercará más al eje
de y, sin nunca tocarlo.
• Mientras más cerca de 0 sea el coeficiente,
más amplia será su gráfica. Se acercará más al
eje de x, pero nunca lo tocará.

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𝑓 𝑥 = 𝑥³

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𝑓 𝑥 = 𝑥³
• Si nos dejamos llevar por las
transformaciones de f(x) = x² ; ¿Qué
crees que pasará si le añadimos un
negativo?
• ¿Cómo será la gráfica de f(x) = -x³?

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𝑓 𝑥 = −𝑥³
• El negativo de la función crea una
reflexión de la gráfica en el eje de x.

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𝑓 𝑥 = 𝑥³
• ¿Qué pasará si le sumamos o restamos
una constante a la función?
• Por ejemplo:
• f(x) = x³ + 1
• f(x) = x³ - 3

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𝑓 𝑥 = 𝑥³
• Al igual que en la función f(x) = x² + 4, la
suma o resta de una constante hará que
la gráfica de la función se traslade.
• En el caso de f(x) = x³ + 1 se trasladará
exactamente 1 unidad hacia arriba.
• En f(x) = x³ - 3, la función se trasladará
exactamente 3 unidades hacia abajo de
la función básica .

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𝑓 𝑥 = 𝑥³ + 1

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𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 3

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¿Puedes imaginar que
pasará en 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 5)³?
• La función
básica se
trasladará
exactamente 5
unidades
hacia la
derecha.

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¿Cómo debo escribir la función para
demostrar una traslación de 10
unidades hacia la izquierda?

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Veamos ahora cómo funciona la
extensión y compresión en 𝑓(𝑥) = 𝑥³
• Si graficamos f(x) = 10x³ notaremos que
la gráfica se hará más estrecha.

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Veamos ahora cómo funciona la
extensión y compresión en 𝑓(𝑥) = 𝑥³
• Mientras que en la gráfica
será más amplia.

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x f(x)
La próxima función básica
es 𝑓(𝑥) = |𝑥|
• Grafiquemos esta función:
x f(x)
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2

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𝑓(𝑥) = |𝑥|
• Ahora, veamos si ya entiendes las
transformaciones.
• ¿Cómo será cada una de las siguientes
gráficas?
▪ f(x) = -|x|
▪ f(x) = |x| + 6
▪ f(x) = |x + 6|
▪ f(x) = |x| - 9
▪ f(x) = |x - 9|

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x f(x)
La última función básica es
• Grafiquemos esta función:
x f(x)
0 0
1 1
2 1.14
3 1.73
4 2

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Practiquemos una vez más
las transformaciones
1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4
2) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2
3) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5
4) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3
5) 𝑓 𝑥 = 15 𝑥
6) 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥

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• Hay que destacar un detalle muy importante
en la extensión y compresión de .
• En la extensión, contrario a los casos
anteriores, la gráfica de la función se verá más
amplia a la vez que se acerca al eje de y.
• Mientras que en la compresión, la gráfica se ve
más estrecha a la vez que se acerca al eje de x.

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Practiquemos ahora como graficar
funciones que tienen más de una
transformación
1) 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 3 2
+ 2
2) 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 + 1 − 4
3) 𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 + 3 ³ + 5
4) 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 1 + 6

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Práctica:
Grafica las siguientes funciones
1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ² − 3
2) 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 ²
3) ℎ 𝑥 = 𝑥 + 5 − 3
4) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2
5) 𝑔 𝑥 = 𝑥² + 6
6) ℎ 𝑥 =
4
5
𝑥²
7) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 + 3
8) 𝑔 𝑥 = 𝑥³ − 2
9) ℎ 𝑥 = −𝑥2 − 1
10) 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 6
11) 𝑔 𝑥 = −(𝑥 − 4)²
12) ℎ 𝑥 = −
1
3
𝑥³

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1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ² − 3

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2) 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 ²

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3) ℎ 𝑥 = 𝑥 + 5 − 3

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4)𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2

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5) 𝑔 𝑥 = 𝑥² + 6

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6) ℎ 𝑥 =
4
5
𝑥²

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7) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 + 3

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8) 𝑔 𝑥 = 𝑥³ − 2

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9) ℎ 𝑥 = −𝑥2
− 1

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10) 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 6

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11) 𝑔 𝑥 = −(𝑥 − 4)²

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12) ℎ 𝑥 = −
1
3
𝑥³