Este documento trata sobre conceptos de tasas de interés en matemáticas financieras. Explica las diferencias entre tasas de interés efectivas, nominales y periódicas, y presenta fórmulas para convertir entre estos tipos de tasas. También cubre el cálculo de valores equivalentes y su importancia para operaciones financieras. El objetivo es que los estudiantes comprendan y resuelvan relaciones entre tasas de interés y puedan aplicar estas conversiones en la gestión financiera.
3. Matemáticas financieras
Semestre 3
Tabla de contenido Página
Introducción 1
Conceptos previos 1
Mapa conceptual fascículo 3 2
Logros 2
Tasas de interés 2
Tasa de interés efectiva 5
Tasa de interés nominal 5
Tasa de interés periódica 6
Relaciones y cálculos entre tasas efectivas, nominales y
periódicas 6
Equivalencias entre tasas vencidas y tasas anticipadas 12
Otras tasas de interés 15
Ecuaciones de valores equivalentes 16
Actividad de trabajo colaborativo 20
Resumen 21
Bibliografía recomendada 22
Nexo 22
Seguimiento al autoaprendizaje 23
Créditos: 3
Tipo de asignatura: Teórico – Práctica
5. 1
Fascículo No. 3
Semestre 3
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Introducción
Tal vez uno de los temas de mayor complejidad en el estudio de las
Matemáticas Financieras, lo constituye las equivalencias de las tasas de
interés. Estas relaciones, que se desprenden de esquemas de trabajo de
interés compuesto, han sido objeto de diversas intenciones didácticas para
su presentación, sobre todo en el uso de las tasas nominales, que son
utilizadas más por una tradición comercial que por una necesidad real.
El empleo correcto de los conceptos básicos de las conversiones de tasas
de interés, es un factor determinante para la gestión del responsable de las
finanzas en una organización, que no puede incurrir en imprecisiones
imperdonables como pretender que un 3% es equivalente a un 36%
Efectivo Anual, cuando en realidad es equivalente a un 42,576% E.A. y una
decisión derivada de ello, puede marcar la diferencia entre el éxito o el
fracaso empresarial.
Por último, el cálculo de valores equivalentes es esencial para trasladar
conjuntos de obligaciones en el tiempo, situación que se presenta muy a
menudo en el ejercicio de reconversión de Pasivos mediante la aplicación
del factor de acumulación a interés compuesto (1+i)n
.
Conceptos previos
El estudiante deberá manejar con suficiencia los conceptos y principios del
interés compuesto, ejercitándose en el despeje de todas las variables que
intervienen en este tipo de transacciones.
6. 2
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Tasas de Interés
Vencidas
Interés
Compuesto
Tasas de Interés
Anticipadas
Ecuaciones de
Valores
Equivalentes
A partir del
Segeneran equivalencias de
Que apoyan las
Operaciones
financieras
complejas
y otras
ia ipai ip
Mapa conceptual fascículo 3
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capa-
cidad de:
Comprender y resolver todo tipo de relaciones entre diferentes tasas de
interés en las operaciones que comprenden la gestión financiera.
Entender y construir ecuaciones de valores equivalentes, así como dia-
gramas de tiempo y valor que permitan expresar correctamente las dimen-
siones del dinero en el tiempo.
Evaluar la trascendencia del desarrollo de competencias en manejo de
tasas de interés, para incursionar con responsabilidad en escenarios finan-
cieros complejos.
Familiarizarse con las cuantías de las tasas que se manejan en el mercado
financiero y con los indicadores más importantes en el lenguaje económico
del país.
Tasas de Interés
Las tasas de interés normalmente se expresan en forma anual. De hecho si
la tasa se expresa sin mencionar período alguno de capitalización, se
LogrosLogrosLogros
7. 3
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Dos tasas son equivalen-
tes cuando producen los
mismos intereses, con dife-
rentes períodos de capital-
zación.
entiende que este es anual y además, que opera bajo esquemas de interés
compuesto. No obstante, en ocasiones la naturaleza de la transacción
exige un número de capitalizaciones diferente al año, por lo cual se deben
expresar las tasas en períodos como meses, trimestres, semestres, etc.
Estas conversiones de tasas en Interés Simple, se realizan dividiendo las
tasas anuales, o multiplicando las tasas de períodos inferiores a un año. En
Interés Compuesto, en cambio, se requiere el uso de fórmulas para hallar
las equivalencias entre tasas de interés.
Por ejemplo, la tasa de interés que se reconoce en una cuenta de ahorros
normalmente se expresa en forma anual, pero es posible que se capita-
licen intereses en forma mensual o trimestral, para lo cual es necesario
hallar el equivalente mensual o trimestral de esa tasa anual. De igual
manera, las tasas de interés a las que se otorgan los créditos bancarios,
usualmente se publican en su expresión anual, pero si las amortizaciones
son mensuales o semestrales, se debe hallar la equivalencia de la tasa
anual a ese período establecido.
En el fascículo 2 se planteó como conclusión del Ejemplo 9, que una tasa
de interés del 1% mensual es equivalente a un 12,682503% efectivo anual.1
La explicación de esto es que cada mes se produce una capitalización del
1% sobre el valor acumulado (capital + interés) del período anterior, hasta
llegar a incrementarse en un 12,682503% en un año.
Ahora se comprobará esta equivalencia mediante un ejemplo de inversión
en el que se emplean las dos tasas (mensual y anual):
Ejemplo 1
Un capital de $5.000.000 es invertido durante 12 meses a una tasa del:
1
Esta afirmación contradice la suposición de la mayoría de las personas, de que 1% mensual es equivalente a 12% anual.
Esto es válido solamente para el Interés Simple.
8. 4
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
a. 1% mensual
b. 12,682503% efectivo anual
Hallar el Valor Futuro de estas transacciones.
Solución A. Se resuelve el problema con la tasa mensual. Los datos
son:
P = $5.000.000; n = 12 meses i = 1% mensual
F = P (1+i)n
F = 5.000.000 (1+0,01)12
F = 5.634.12515
Solución B. Se resuelve el problema con la tasa anual. Los datos son:
P = $5.000.000; n = 1 año i = 12,682503%
anual
F = P (1+i)n
F = 5.000.000 (1+0,12682503)1
F = 5.634.12515
De esta manera queda comprobado que una tasa de interés del 1%
mensual es equivalente a un 12,682503% efectivo anual.
La complejidad de estas equivalencias ha llevado a distinguir tres tipos de
tasas de interés, cuando se aplican esquemas de Interés Compuesto; no
obstante, las tasas que se utilizan en las fórmulas son las efectivas y las
periódicas.
Respuesta: El Valor Futuro (F) es de $5.634.12515
Respuesta: El Valor Futuro (F) es de $5.634.12515
9. 5
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Frecuencia de conversión
(m) cantidad de veces que se
capitaliza una tasa de interés
en un año.
Tasa de Interés Efectiva (i)
Es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año. Esta tasa de
interés permite comparar otras tasas bajo una base común (año). De
hecho la tasa de interés efectiva es el instrumento apropiado para medir y
comparar el rendimiento de distintas alternativas de inversión.
Se ha convenido entre algunos especialistas que la denominación
“Efectiva”, se reserve para las tasas anuales y NO para tasas que se
capitalizan en períodos menores a un año.
Es usual expresar las tasas de Interés Efectivas, así:
24% Efectiva Anual 20,1% Efectiva 21,52% Anual
16,3% E.A. 18,5% E. 14,2% A.
28% Capitalizable anualmente
Tasa de Interés Nominal (j)
Es la tasa de interés que se expresa en forma anual, pero se capitaliza
varias veces al año. Estas tasas siempre van acompañadas de unas letras
que indican que deben dividirse en un número de períodos (entre la
frecuencia de conversión).
La cuantía de estas tasas no refleja el verdadero rendimiento de intereses.
Suele utilizarse para hallar la tasa que debe capitalizarse en cada período
(aunque hay métodos más sencillos).
Es usual expresar las tasas de Interés Nominal (j), así:
29% nominal anual capitalizable mensualmente ó 29% C.M.
16,25% convertible trimestralmente ó 16,25% C.M.
32% capitalizable bimestre vencido ó 32% B.V.
10. 6
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
De esta manera, la frecuencia de conversión (m) de una tasa nominal
convertible mensualmente es m = 12; y la frecuencia de conversión (m)
de una tasa nominal capitalizable trimestralmente es m = 4.
Tasa de Interés Periódica (ip)
Es la tasa que se capitaliza en cada período menor a un año. Así, en el
ejemplo 1 de este fascículo, el 1% corresponde a una tasa de interés
periódica mensual (ip).
Es usual expresar las tasas de Interés periódicas (ip), así:
1,8% mensual 3,44% trimestral 12% semestral
1,1% quincenal 3% bimensual 0,8% semanal
A juicio de algunos autores, las tasas nominales no cumplen una
función necesaria en el mercado financiero y contribuyen a
generar confusiones entre los usuarios de la información. Esto se
sustenta en que las conversiones de tasas efectivas-periódicas,
pueden realizarse sin hacer esta transición, que además, prolonga
sin necesidad la operación. De hecho, las tasas nominales no se
deben utilizar en la ejecución de las fórmulas. Cuando en la
información recibida se encuentra una tasa nominal, simplemente
se convierte a la tasa periódica y se aplica en la ecuación.
Para efectos de lograr una comunicación efectiva entre el público,
lo más pertinente es expresar todas las tasas en términos de
“Efectivo Anual”, para facilitar las comparaciones y la toma de
decisiones.
Relaciones y cálculos entre tasas efectivas,
nominales y periódicas
Para convertir una tasa nominal (j) a una tasa periódica (ip), basta con
dividir la tasa nominal (j) entre la frecuencia de conversión (m):
11. 7
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
mipj *
m
j
ip
(Fórmula 3.1)
Donde:
ip = Tasa de Interés Periódica
j = Tasa de Interés Nominal
m = Frecuencia de conversión
Observe ahora algunos ejemplos de estas relaciones (tabla 3.1)
Frecuencia de
Conversión (m )
Operación
realizada
21% C.M. 12 0,21 / 12 1,75% mensual
24% C.Semestral 2 0,24 / 2 12% semestral
18% T.V. 4 0,18 / 4 4,5% trimestral
Tasa Periódica (ip )Tasa Nominal (j )
Tabla 3.1
Conversión de tasas nominales a periódicas.
En sentido contrario (si se requiere), para convertir una tasa periódica (ip)
a una tasa nominal (j), se multiplica la tasa periódica (ip) por la frecuencia
de conversión (m):
Observe ahora algunos ejemplos de estas relaciones (tabla 3.2)
Frecuencia de
Conversión (m )
Operación
realizada
2% mensual 12 0,02 * 12 24% C.M.
3,5% bimensual 6 0,035 * 6 21% C.B.
9,8% semestral 2 0,098 * 2 19,6% S.V.
Tasa Periódica (ip ) Tasa Nominal (j )
Tabla 3.2
Conversión de tasas periódicas a nominales.
Es importante descifrar las relaciones entre las tasas nominales y perió-
dicas, pero de mayor importancia es la relación entre las tasas efectivas y
las tasa periódicas, ya que son estas las que se aplican en las fórmulas y
sobre las cuales se establecen las equivalencias en la realidad.
12. 8
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Tasa Periódica Tasa Efectiva Anual
Para hallar la tasa Efectiva Anual (i) equivalente a una Tasa Periódica (ip)
se aplica la siguiente fórmula:
1)1( m
ipi (Fórmula 3.2)
Donde:
i = Tasa de Efectiva Anual
ip = Tasa de Interés Periódica
m = Frecuencia de conversión
Con esta fórmula también es posible hallar equivalencias entre tasas de
interés periódicas a otras tasas periódicas con mayores períodos de
capitalización. Por ejemplo, convertir una tasa mensual a una trimestral o
convertir una tasa bimensual a una tasa semestral.
Para ilustrar esta fórmula, se presenta el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2
Se conoce una tasa del 2% mensual y se requiere hallar su equivalente
a) Anual; b) Semestral; c) Trimestral
Solución A. Tasa de interés Efectiva Anual
i = (1+ip)m
-1
i = (1+0,02)12
-1
i = 0,26824179
Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 26,824179% anual
Solución B. Tasa de interés Semestral.
i = (1+ip)m
-1
iSemestral = (1+0,02)6
-1
iSemestral = 0,12616242
13. 9
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 12,616242% semestral
Solución C. Tasa de interés Trimestral.
i = (1+ip)m
-1
iTrimestral = (1+0,02)3
-1
iTrimestral = 0,061208
Respuesta: Un 2% mensual es equivalente a un 6,1208% trimestral.
Ahora se comprobará que estas tasas halladas son equivalentes entre sí.
De acuerdo con lo ya anotado “Dos tasas son equivalentes cuando
producen los mismos intereses, con diferentes períodos de capitalización”.
La demostración se realizará invirtiendo un capital de $100.000 durante
dos años y se realizará la comparación del Valor Futuro (F). La fórmula
es: F = P (1+i)n
Veamos:
Tasa y Tiempo Despeje de la Fórmula Valor Futuro
Mensual (24 meses): F = 100.000 (1+0,02)24
= 160.84372
Trimestral (8 trimestres): F = 100.000 (1+0,061208)8
= 160.84372
Semestral (2 semestres): F = 100.000 (1+0,12616242)4
= 160.84372
Anual (2 años): F = 100.000 (1+0,26824179)2
= 160.84372
Como se observa, todos los resultados son los mismos, luego las tasas
son equivalentes. Sólo se ha aplicado la tasa respectiva y el tiempo
expresado en la misma unidad de la tasa de interés.
Tasa Efectiva Anual Tasa Periódica
De igual manera, para hallar la Tasa Periódica (ip) equivalente a una tasa
Efectiva Anual (i), se utiliza la misma estructura y solamente se invierte la
frecuencia de conversión (m), que se aplica como 1/m, así:
1)1( /1
m
iip (Fórmula 3.3)
14. 10
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Con esta variación de la fórmula también es posible hallar equivalencias
entre tasas de interés periódicas a otras tasas periódicas con menores
períodos de capitalización. Por ejemplo, convertir una tasa semestral a una
tasa trimestral o convertir una tasa bimensual a una tasa mensual.
Ahora, se analizarán las conversiones de tasas cuando se cuenta con la
Tasa Efectiva Anual:
Ejemplo 3
Se conoce la Tasa de Interés del 36% E. A. y se requiere establecer su
equivalente:
a) Semestral; b) Bimensual; c) Mensual.
Solución A. Tasa de interés Periódica Semestral.
ip = (1+i)1/m
-1
iSemestral = (1+0,36)1/2
-1
iSemestral = 0,16619038
Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 16,619038% semestral
Solución B. Tasa de interés Periódica Bimensual.
ip = (1+i)1/m
-1
iBimensual = (1+0,36)1/6
-1
iBimensual = 0,05258332
Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 5,258332% bimensual
Solución C. Tasa de interés Periódica Mensual.
ip = (1+i)1/m
-1
iMensual = (1+0,36)1/12
-1
iMensual = 0,02595483
15. 11
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Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
EFECTIVA
ANUAL
NOMINAL
VENCIDA
PERIÓDICA
VENCIDA
i
j ip
mipj *
m
j
ip
1)1( m
ipi
1)1( /1
m
iip
1)1( m
m
j
i
mij m
*1)1( /1
Respuesta: Un 36% E.A. es equivalente a un 2,595483% mensual
Con el fin de comprobar que estas tasas de interés son equivalentes entre
sí, se realizará una inversión por valor de $200.000 durante tres años y se
realizará la comparación del Valor Futuro (F). La fórmula es:
F = P (1+i)n
Veamos:
Tasa y Tiempo Despeje de la Fórmula Valor Futuro
Anual (3 años): F = 200.000 (1+0,36)3
503.091
Semestral (6 semestres): F = 100.000 (1+0,16619038)6
503.091
Bimensual (18 bimestres): F = 100.000 (1+0,05258332)18
503.091
Mensual (36 meses): F = 100.000 (1+0,02595483)36
503.091
Como se observa, todos los resultados en Valor Futuro son los mismos,
luego las tasas son equivalentes.
Ahora se presenta una figura que registra las relaciones entre las tasas
Periódicas-Nominales-Efectivas y las fórmulas que las articulan:
Figura 3.1
Equivalencias entre tasas efectivas-nominales-periódicas.
16. 12
Matemáticas financieras
Matemáticas
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Fascículo No. 3
Semestre 3
Semestral Trimestral Bimensual Mensual
21%
9%
3,20%
1,80%
5%
Tasas Periódicas VencidasEfectiva
Anual
3.1
Diligencie el cuadro con las equivalencias respectivas:
Equivalencias entre tasas vencidas y tasas anticipadas
El modelo general del interés compuesto parte de la idea de una
proporción del capital inicial, conocida como interés. Sin embargo, hay
situaciones en las que se debe determinar esta proporción, calculada
sobre el monto final ya establecido, hacia el presente, la cual se conoce
como descuento.
Las tasas empleadas en estas modalidades de descuento son llamadas
Tasas Anticipadas (ia) y si se trata de tasas con periodicidad menor a un
año, para conservar la línea de nomenclatura manejada hasta ahora, las
llamaremos Tasas Periódicas Anticipadas (ipa).
Por medio del ejemplo que se detalla a continuación, se ilustran las
relaciones entre estas tasas anticipadas y las tasas vencidas.
Ejemplo 4
Una deuda contraída hace algún tiempo fue garantizada mediante un
pagaré que vence dentro de 18 meses, por valor total de $40.000.000. Hoy
se desea cancelar la obligación y se pacta una tasa anticipada del 1,6%
mensual. ¿Cuánto dinero se debe pagar el día de hoy?
La fórmula que se utilizará para esta operación es una variante de la de
Valor Presente a Interés Compuesto, donde se incorpora la variable “Tasa
Anticipada”, así:
17. 13
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
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i
i
ia
1
P = F (1-ia)n
P = 40.000.000 (1-0,016)18
P = 29.920.700,92
Respuesta: Para cancelar la obligación hoy, luego de la operación de
descuento, se deben pagar $29.920.70092
Luego de resolver esta transacción, surge la inquietud por establecer
cómo se relacionan las Tasas Anticipadas (ia) con las Tasas de Interés
Vencidas (i). Pues bien, existen unas fórmulas que permiten realizar con-
versiones entre estas tasas de interés, las cuales se exponen a conti-
nuación:
Tasa Vencida (i) Tasa Anticipada (ia)
Conociendo una Tasa Vencida es posible hallar su equivalente Anticipada,
así:
(Fórmula 3.4)
Tasa Anticipada (ia) Tasa Vencida (i)
Igualmente, conociendo una Tasa Anticipada es posible hallar su
equivalente Vencida, así:
a
a
i
i
i
1 (Fórmula 3.5)
Ejemplo 5
Con base en la información del ejemplo 4, hallar la tasa vencida mensual
equivalente y probarla por medio de la fórmula de Valor Futuro.
La fórmula a utilizar es la 3.5, es decir:
a
a
i
i
i
1
18. 14
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
a
a
i
i
i
1 016,01
016,0
i 01626016,0i
Respuesta: Una tasa del 1,6% mensual anticipada es equivalente a una
tasa del 1,626016% mensual vencida.
Ahora se procede a probar que estas tasas son equivalentes, aplicando la
tasa vencida en una operación de Valor Futuro, con la información
resultante del ejemplo 4, así:
F = P (1+i)n
F = 29.920.700,92 (1+0,01626016)18
P = 40.000.000
Obsérvese que al invertir los $29.920.70092
que habría que pagar hoy, a
razón del 1,626016% mensual vencida, se obtiene de nuevo el Valor Futuro
de $40.000.000.
Veamos otras relaciones interesantes entre tasas vencidas y anticipadas,
por medio de un ejemplo típico.
Ejemplo 6
Hoy recibo prestados $10.000.000 durante 3 meses y me anuncian que el
pago de intereses es al 5% trimestral por anticipado. ¿Qué tasa de interés
trimestral vencida aplica en la transacción?
Aplicando la fórmula para convertir la tasa anticipada (ia) a una tasa
vencida (i), se tiene:
a
a
i
i
i
1 05,01
05,0
i 05263158,0i
19. 15
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Captación:
Proceso mediante el cual
el sistema financiero reco-
ge recursos del público
ahorrador y los utiliza co-
mo fuente del mercado fi-
nanciero.
http://www.businesscol.co
m/productos/glosarios/eco
nomico
Respuesta: Una tasa del 5% trimestral anticipada es equivalente a una
tasa del 5,263158% trimestral vencida.
Otra forma de calcular la tasa es considerar las variables de la transacción
y deducirla. Al recibir el dinero me liquidan el 5% de intereses que equi-
valen a $500.000 y no me entregan los $10.000.000, sino solamente
$9.500.000. No obstante, dentro de 3 meses debo pagar los $10.000.000
completos (ya los intereses se encuentran cancelados).
Con esta información se puede reducir la operación a una de Valor Futuro
donde se despeja la Tasa de Interés (i), con los siguientes datos:
P = $9.500.000 F = $10.000.000 n = 1 trimestre
1
/1
n
P
F
i 1
000.500.9
000.000.10
1/1
05263158,0
Se confirma la respuesta que señala, que una tasa del 5% trimestral
anticipada es equivalente a una tasa del 5,263158% trimestral vencida.
Otras Tasas de Interés
En el contexto financiero colombiano es frecuente el uso de otras tasas de
interés que regulan y orientan el quehacer económico y comercial. A
continuación se enuncian algunas de las más relevantes en el país.
Respecto de las operaciones de captación y colocación de recursos de
los intermediarios financieros, existen dos tipos de tasas de interés: Las
tasas pasivas o de captación son las que los intermediarios financieros
reconocen a los clientes por el dinero que reciben de estos; y las tasas
activas o de colocación, son las que cobran los intermediarios financieros
a los clientes por concepto de créditos, en sus diferentes modalidades.
20. 16
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
El IPC es un indicador que
mide la variación de precios
de una canasta de bienes y
servicios representativos del
consumo de los hogares del
país.
http://www.dane.gov.co
Para calcular la tasa de
usura se toma la tasa de
interés bancario corriente
certificada por la Superin-
tendencia Financiera y se
incrementa en un 50% (es
decir, se multiplica por 1,5).
Una tasa de interés muy importante en la economía colombiana es la DTF.
Esta tasa se ha convertido en la principal referencia del costo de los
recursos del país. De acuerdo con el Banco de la República, la DTF es “el
promedio ponderado de las tasas de interés de los CDT de captación a 90
días ofrecidas por el sistema financiero colombiano”.
La tasa de inflación, por su parte, refleja la variación del Índice de Pre-
cios al Consumidor (IPC), que en Colombia es medido por el Departa-
mento Administrativo Nacional de Estadística (DANE). Estos incrementos
en el nivel general de precios afectan el poder adquisitivo del dinero frente
a la canasta de bienes y servicios. A la tasa a la cual se ha descontado el
efecto de la inflación se le conoce como tasa de interés real.
Respecto del límite para el cobro de intereses en las operaciones comer-
ciales y financieras, en Colombia existe la Tasa de Usura. Su función
principal es evitar que se cobren intereses excesivos a todos aquellos
quienes solicitan créditos.
La Tasa Interna de Retorno es un indicador de evaluación financiera para
proyectos de inversión que analiza la rentabilidad de los flujos de fondos.
Así mismo, se define como la tasa de interés que hace que el Valor
Presente Neto sea igual a cero. Esta tasa se estudiará con detalle en el
fascículo 8.
Ecuaciones de Valores Equivalentes
Una vez abordados los problemas financieros a interés compuesto, donde
normalmente interviene un Valor Presente (P), una Tasa de Interés (i) y un
tiempo (n), surgen situaciones un poco más complejas donde convergen
varias transacciones que es preciso resolver en una sola operación, con el
fin de igualar y resolver un conjunto de derechos y obligaciones, pactando
nuevas condiciones de pago.
21. 17
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
Fecha Focal:
Es la fecha que se elige
para hacer coincidir el va-
lor de las diferentes opera-
ciones, dicho de otra ma-
nera es la fecha que
se escoge para la equiva-
lencia.
0 6
F.F
$ 8.000.000 $ 15.000.000
HOY
4 5
X
1 2 3
Estas comparaciones en el tiempo tienen lugar en un momento
denominado “Fecha Focal” (F.F.), concepto que tiene aplicación en el
manejo de las matemáticas financieras tradicionales y en ejercicios de
evaluación financiera de proyectos de inversión. La fecha focal supone que
los valores que se encuentran en diferentes momentos en una línea de
tiempo, deben ser trasladados a un solo momento, que puede ser en el
futuro o en el presente, para que esas cantidades representen su
equivalencia frente a las obligaciones existentes.
Con el fin de ilustrar el planteamiento de ecuaciones de valor, se presentan
los siguientes casos:
Ejemplo 7
Se han adquirido dos deudas respaldadas por letras de cambio que tienen
vencimientos así: La primera letra de cambio vence hoy por un valor total
de $8.000.000, y la segunda vence dentro de 2 meses por un valor total de
$15.000.000. Se acuerda con el acreedor, ampliar el plazo de las dos
obligaciones y realizar un solo pago dentro de 6 meses, para lo cual se ha
pactado una tasa de interés del 2,5% mensual. Se desea establecer el
valor del pago final.
Figura 3.2
Representación del ejemplo 7.
Para resolver este acuerdo, se ha de precisar que la fecha focal se ubica
en el sexto mes, ya que es allí donde se ha pactado el pago total de la
obligación. Luego se resolverá por medio de este planteamiento:
22. 18
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
0 6
F.F
$ 8.000.000 $ 15.000.000
HOY
4 5
X
1 2 3
El valor del pago (en el sexto mes) es igual a: el Valor Futuro de la primera
obligación (6 meses después), más el Valor Futuro de la segunda
obligación (4 meses después). Es decir:
Valor Pago = Valor Futuro Obligación 1 + Valor Futuro Obligación 2
Figura 3.3
Planteamiento de solución del ejemplo 7.
Al trasladar esta proposición a una ecuación quedaría:
X = 8.000.000(1+0,025)6
+ 15.000.000(1+0,025)4
X = 9.277.547,35 + 16.557.193,36
X = 25.834.740,71
Respuesta: El valor del pago final es de $25.834.74071
Obsérvese que el pago se ubica a un lado del igual y las deudas se ubican
al otro lado. Además se utilizó la fórmula de Valor Futuro (F) para trasladar
los valores en el tiempo F = P(1+i)n
.
Lo que se logró fue hallar el valor equivalente de cada una de las deudas,
en el sexto mes, a una tasa del 2,5%. Al hacerlo, es posible sumar las
cantidades para establecer el valor del pago en esa fecha. De no hacerlo,
sería equivocado sumar las cantidades, ya que al encontrarse en períodos
diferentes sus capacidades de pago no serían equivalentes. Ahora se
analiza un caso contrario en el tiempo:
23. 19
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
0 1 2 3 4 5 6 7 128 9 10 11
X
$ 48.000.000 $ 10.000.000 $ 25.000.000
F.F
Ejemplo 8
El Gerente Financiero de la empresa recibe un crédito con una tasa de
interés muy baja y decide cancelar el día de hoy, tres Pagarés con su
proveedor, cuyos montos y vencimientos son:
1. Valor total de $25.000.000 con vencimiento dentro de 9 meses
2. Valor total de $10.000.000 con vencimiento dentro de 5 meses
3. Valor total de $48.000.000 con vencimiento dentro de 1 mes
Acuerda con el proveedor el pago inmediato de las obligaciones,
cancelando el equivalente a la fecha y pactando una tasa de interés del
2,5% mensual para establecer las equivalencias de las deudas el día de
hoy. Se requiere hallar el valor del pago.
Figura 3.4
Representación del ejemplo 8.
En primer lugar se establece la fecha focal para resolver el problema, que
de manera natural, por la coincidencia del pago, se ubica el día de hoy.
Esto quiere decir que los pagarés que estaban ubicados en el futuro
deberán ser trasladados hacia atrás en el tiempo, cada uno en la cantidad
de meses que corresponda y a la tasa de interés pactada.
Un planteamiento general del problema sería:
Valor Pago Hoy = V.P. primer pagaré + V.P. segundo pagaré +
V.P. tercer pagaré
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Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
0 1 2 3 4 5 6 7 128 9 10 11
X
$ 48.000.000 $ 10.000.000 $ 25.000.000
F.F
Figura 3.5
Planteamiento de solución del ejemplo 8.
En términos matemáticos y utilizando la fórmula de Valor Presente, la
ecuación será:
X = 48.000.000(1+0,025)-1
+ 10.000.000(1+0,025)-5
+ 25.000.000(1+0,025)-9
X = 46.829.268,29 + 8.838.542,88 + 20.018.209,04
X = 75.686.020,21
Respuesta: El valor del pago el día de hoy es de $75.686.02021
. Esto
indica que las tres deudas inicialmente convenidas, son equivalentes en su
conjunto, a un pago por este valor el día de hoy, a la tasa de interés
pactada.
3.2
Plantee y resuelva un caso de valores equivalentes en una transacción
con el sector bancario, donde además se incluya una conversión de
tasas de interés. Socialícelo con el tutor.
En grupos de tres estudiantes formulen una hoja de cálculo en Excel, de tal
manera que se puedan realizar todas las posibles conversiones de tasa de
interés (efectivas, nominales y periódicas – vencidas y anticipadas) de manera
automática, solamente ingresando las variables.
Realicen las pruebas necesarias de esta herramienta financiera, con los ejemplos
ya desarrollados y con los ejercicios propuestos en los textos guía.
25. 21
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
La complejidad del interés compuesto se representa en el manejo de sus
tasas de interés, que requieren de fórmulas específicas para resolver sus
equivalencias y poder aportar en la solución de situaciones empresariales
en el área financiera. Estas equivalencias se conciben como la cualidad de
producir los mismos rendimientos con períodos de capitalización diferen-
tes.
En estas operaciones se reconocen principalmente las tasas efectivas (con
capitalización anual) y las tasas periódicas (con capitalizaciones menores a
un año). La fórmula genérica 1)1( m
ipi permite hallar cualquier
equivalencia entre tasas vencidas, solamente modificando (cuando sea
necesario) la frecuencia de conversión (m).
Igualmente, ante la necesidad (no tan frecuente) de convertir tasas
anticipadas (ia) en vencidas (i), se utiliza la fórmula
a
a
i
i
i
1
y en caso
contrario, para convertir tasas vencidas (i) en tasas anticipadas (ia) se
utiliza
i
i
ia
1
Por otra parte, cuando se presentan situaciones de reconversión de
deudas o de pagos, y sea necesario replantearlas en otros términos, se
deberán construir ecuaciones que permitan representar los valores en sus
respectivas dimensiones en el tiempo, bajo una igualdad que se puede
expresar así: Pagos = deudas. Esto, en una fecha focal donde se
realizan las comparaciones y a una tasa de interés dada.
26. 22
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
AYRES, Frank. Matemáticas financieras. Primera edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 2001.
BACA CURREA, Guillermo. Matemática financiera. Tercera edición. Bogotá
D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto guía).
CANOVAS, Roberto. Matemáticas financieras: fundamentos y aplicaciones.
Primera edición. Mexico: Trillas, 2004
CISSELL, Robert. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.:
CECSA, 1999. (Texto guía).
DÍAZ, Alfredo. Matemáticas financieras. Segunda edición. México D.F.: Mc
Graw Hill, 1997.
GARCÍA, Jaime. Matemáticas Financieras con ecuaciones de diferencia
finita. Cuarta Edición. Bogotá D.C.: Pearson Educación de Colombia Ltda.
2000. (Texto guía).
PORTUS, Lincoyán. Matemáticas Financieras. Cuarta edición. Bogotá D.C.:
Mc Graw Hill, 1997.
SÁNCHEZ, Jorge E. Manual de matemáticas financieras. Segunda edición.
Bogotá D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.
En el fascículo 4 se retomarán los conceptos de tasas equivalentes y de
ecuaciones de valores equivalentes para aplicarlos al tema de Series
Uniformes o “Anualidades”, por medio de casos financieros reales.
27. 23
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
SeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizajeSeguimientoalautoaprendizaje
Matemáticas Financieras - Fascículo No. 3
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad __________________________________Semestre: _______________
Resuelva las siguientes preguntas de selección múltiple con única respuesta, con
el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:
1. Se ha concedido un crédito bancario a una tasa del 24% E.A. Se requiere
construir el plan de pagos trimestrales, para lo cual es necesario hallar la tasa
trimestral equivalente. La ecuación que se plantea para establecer la
equivalencia de tasas, en este caso es:
A. ip = (1 + 0,24)1/4
-1
B. i = (1 + 0,24)4
-1
C. ip = (1 + 0,02)1/4
-1
D. i = (1 + 0,02)4
-1
2. El gerente requiere de un crédito para financiar la compra de una maquinaria.
Existen dos alternativas en el mercado: una tasa del 2,5% mensual vencido y
una tasa del 2,5% mensual anticipado. En relación con el costo, la decisión
del gerente debe ser:
A. La tasa vencida del 2,5%
B. La tasa anticipada del 2,5%
C. Es indiferente porque las dos tienen el mismo valor
D. Es indiferente porque las dos tasas son equivalentes
3. Una deuda que debía ser cancelada hoy, por valor de $12.000.000, se ha
convenido pagarla en tres cuotas iguales a 1, 2 y 3 meses. La tasa de interés
pactada es del 2% mensual. La ecuación de valor para hallar el monto de cada
uno de los pagos es:
A. 12.000.000 = X(1+0,24)-1
+ X(1+0,24)-2
+ X(1+0,24)-3
B. 12.000.000 = X(1+0,24)1
+ X(1+0,24)2
+ X(1+0,24)3
C. 12.000.000 = X(1+0,02)-1
+ X(1+0,02)-2
+ X(1+0,02)-3
D. 12.000.000 = X(1+0,02)1
+ X(1+0,02)2
+ X(1+0,02)3
4. Un televisor cuyo precio de venta es de $1.600.000, se propone pagarlo así:
Una cuota inicial del 40% y el saldo en 3 meses. Si la tasa de financiación es
del 2,7% mensual, entonces el valor del pago en el mes 3, será de:
28. 24
Matemáticas financieras
Matemáticas
financieras
Fascículo No. 3
Semestre 3
A. $ 1.250.42850
B. $ 1.039.87842
C. $ 886.25746
D. $ 1.037.76000
5. Llene los cuadros con los valores correspondientes
Semestral Trimestral Mensual Semestral Trimestral Mensual
18,5%
9%
4,25%
1,60%
8,20%
Efectiva
Anual
Tasas Periódicas VencidasTasas Periódicas Anticipadas
