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Aceleración
    Presentación PowerPoint de
 Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
El cheetah (guepardo): Un gato diseñado para correr. Su fortaleza
y agilidad le permiten sostener una rapidez tope de más de 100
km/h. Tales rapideces sólo se pueden mantener durante unos diez
segundos.            Foto © Vol. 44 Photo Disk/Getty
Objetivos: Después de completar
   este módulo, deberá:
• Definir y aplicar los conceptos de velocidad
  promedio e instantánea y aceleración.
• Resolver problemas que involucren velocidad
  inicial y final, aceleración, desplazamiento y
  tiempo.
• Demostrar su comprensión de las direcciones y
  signos para velocidad, desplazamiento y
  aceleración.
• Resolver problemas que involucren un cuerpo en
  caída libre en un campo gravitacional.
Aceleración uniforme en una
          dirección:
• El movimiento es a lo largo de una línea recta
  (horizontal, vertical o inclinado).
• Los cambios en el movimiento resultan de
  una fuerza CONSTANTE que produce
  aceleración uniforme.
• La causa del movimiento se discutirá más
  tarde. Aquí sólo se tratan los cambios.
• El objeto en movimiento se trata como si
  fuese una partícula puntual.
Distancia y desplazamiento
    Distancia es la longitud de la trayectoria real
    Distancia es la longitud de la trayectoria real
    que sigue el objeto. Considere el viaje del
    que sigue el objeto. Considere el viaje del
    punto A al punto B en el siguiente diagrama:
    punto A al punto B en el siguiente diagrama:

                            La distancia s es una
                            cantidad escalar (sin
                     B      dirección):
     s = 20 m
                            Sólo contiene magnitud y
A                           consta de un número y
                            una unidad.

                             (20 m, 40 mi/h, 10 gal)
Distancia y desplazamiento
Desplazamiento es la separación en línea
 Desplazamiento es la separación en línea
recta de dos puntos en una dirección
 recta de dos puntos en una dirección
específica.
 específica.

                          Una cantidad vectorial:
D = 12 m, 20o      B
                          Contiene magnitud Y
A                         dirección, un número,
        θ
                          unidad y ángulo.
                          (12 m, 300; 8 km/h, N)
Distancia y desplazamiento
•• Para movimiento a lo largo de los ejes x o y,, el
   Para movimiento a lo largo de los ejes x o y el
   desplazamiento se determina por la coordenada x o y
   desplazamiento se determina por la coordenada x o y
   de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que
   de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que
   viaja 8 m al E, luego 12 m al O.
   viaja 8 m al E, luego 12 m al O.

El desplazamiento neto
D es desde el origen             D       8 m,E
hasta la posición final:                                  x
   D = 4 m, W
   D = 4 m, W
                           x = -4              x = +8
¿Cuál es la distancia                12 m,O
recorrida? 20 m !!
Los signos del
            desplazamiento
• El desplazamiento es positivo (+) o
  negativo (-) con base en la UBICACIÓN.
    Ejemplos:
                             2m
El desplazamiento es
la coordenada y. Si el
movimiento es arriba o
abajo, + o -, se basa      -1 m
en la UBICACIÓN.           -2 m


    ¡La dirección del movimiento no importa!
     ¡La dirección del movimiento no importa!
Definición de rapidez
•• Rapidez es la distancia recorrida por unidad
   Rapidez es la distancia recorrida por unidad
   de tiempo (una cantidad escalar).
   de tiempo (una cantidad escalar).

                               s       20 m
     s = 20 m       B    v=        =
                               t        4s
 A
                               v = 5 m/s
                               v = 5 m/s

                         ¡No depende de la
   Tiempo t = 4 s        dirección!
Definición de velocidad
•• Velocidad es el desplazamiento por
   Velocidad es el desplazamiento por
   unidad de tiempo. (Una cantidad
   unidad de tiempo. (Una cantidad
   vectorial.)
   vectorial.)

s = 20 m          B      D 12 m
                       v= =
      D=12 m             t  4s
A
       20o            v = 3 m/s, 2000 N del E
                      v = 3 m/s, 20 N del E

 Tiempo t = 4 s        ¡Requiere dirección!
Ejemplo 1. Una corredora corre 200 m, este,
     luego cambia dirección y corre 300 m, oeste.
     Si todo el viaje tarda 60 s, ¿cuál es la
     rapidez promedio y cuál la velocidad
     promedio?
 Recuerde que la rapidez
 promedio es una         s2 = 300 m              s1 = 200 m
 función sólo de la
 distancia total y del              inicio
 tiempo total:
  Distancia total: s = 200 m + 300 m = 500 m

                    trayectoria total 500 m    Rapidez
Rapidez pr omedio =                  =
                         tiempo        60 s   prom. 8.33
                                                 m/s
               ¡No importa la dirección!
Ejemplo 1 (Cont.) Ahora encuentre la
   velocidad promedio, que es el desplazamiento
   neto dividido por el tiempo. En este caso,
   importa la dirección.
                                       t = 60 s
       x f − x0          xf = -100 m            x1= +200 m
  v=
          t
x0 = 0 m; xf = -100 m                  xo = 0
                                  La dirección del
   −100 m − 0                     desplazamiento final es
v=            = −1.67 m/s         hacia la izquierda, como se
      60 s                        muestra.

   Velocidad promedio:   v = 1.67 m/s, West
 Nota: La velocidad promedio se dirige al oeste.
Ejemplo 2. Un paracaidista salta y cae 600
 m en 14 s. Después se abre el paracaídas y
 cae otros 400 m en 150 s. ¿Cuál es la
 rapidez promedio de toda la caída?
 Distancia total/tiempo total:    14 s

    x A + xB 600 m + 400 m       A
 v=          =                       625 m
    t A + tB   14 s + 150 s
   1000 m
v=             v = 6.10 m/s
    164 s
                                 B
La rapidez promedio sólo es
 La rapidez promedio sólo es         356 m
función de la distancia total
 función de la distancia total
recorrida y el tiempo total
 recorrida y el tiempo total      142 s
requerido.
 requerido.
Ejemplos de rapidez
                      Órbita
                    2 x 104 m/s
Luz = 3 x 108 m/s




 Jets = 300 m/s         Automóvil = 25 m/s
Ejemplos de rapidez (Cont.)



Corredora = 10 m/s


                      Glaciar = 1 x 10-5 m/s


Caracol = 0.001 m/s
Rapidez promedio y
         velocidad instantánea
 La rapidez promedio depende SÓLO de
 La rapidez promedio depende SÓLO de
  la distancia recorrida y el tiempo
   la distancia recorrida y el tiempo
  requerido.
   requerido.
     s = 20 m      B   La velocidad
                        La velocidad
                       instantánea es la
                        instantánea es la
       C
 A                     magnitud y la dirección
                        magnitud y la dirección
                       de la rapidez en un
                        de la rapidez en un
                       instante particular. (v en
                        instante particular. (v en
                       el punto C)
                        el punto C)
  Tiempo t = 4 s
Los signos de la velocidad
 La velocidad es positiva (+) o negativa (-)
 La velocidad es positiva (+) o negativa (-)
  con base en la dirección de movimiento.
  con base en la dirección de movimiento.


   +       -       Elija primero la dirección +;
                   Elija primero la dirección +;
               +   entonces v es positiva si el
                   entonces v es positiva si el
                   movimiento está en dicha
                   movimiento está en dicha
                   dirección, y negativa si es
                   dirección, y negativa si es
   +
           -       contraria a esa dirección.
                   contraria a esa dirección.
v promedio e instantánea
Velocidad promedio:        Velocidad instantánea:
        ∆x x2 − x1                    ∆x
 vavg =   =                   vinst =    (∆t → 0)
        ∆t t2 − t1                    ∆t

                                                  pendient




                              Desplazamiento, x
                                                     e
 x2
                                                             ∆x
                      ∆x
 x1
                                                       ∆t
            ∆t

       t1        t2                                    Tiempo
Definición de aceleración
     Una aceleración es el cambio en velocidad
      por unidad de tiempo. (Una cantidad
      vectorial.)
     Un cambio en velocidad requiere la
      aplicación de un empuje o jalón (fuerza).

Más adelante se dará un tratamiento formal de
fuerza y aceleración. Por ahora, debe saber que:

• La dirección de la        • La aceleración es
  aceleración es la misma     proporcional a la
  que la dirección de la
                              magnitud de la fuerza.
  fuerza.
Aceleración y fuerza

                 F
                                  a

                     2F           2a


Jalar el carrito con el doble de fuerza
 Jalar el carrito con el doble de fuerza
produce el doble de aceleración y la
 produce el doble de aceleración y la
aceleración está en la dirección de la
 aceleración está en la dirección de la
fuerza.
 fuerza.
Ejemplo de aceleración

     +                           Fuerz
                                 a
               t=3s

 v0 = +2 m/s          vf = +8 m/s

 El viento cambia la rapidez de un bote
 de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Cada segundo
 cambia la rapidez por 2 m/s.
La fuerza del viento es constante, por tanto la
La fuerza del viento es constante, por tanto la
          aceleración es constante.
          aceleración es constante.
Los signos de la aceleración
•• La aceleración es positiva ((+)) o negativa ((-)
   La aceleración es positiva + o negativa -)
   con base en la dirección de la fuerza..
   con base en la dirección de la fuerza


               +        Primero elija la dirección
                         Primero elija la dirección
 F           a (-)      +. Entonces la
                         +. Entonces la
                        aceleración a tendrá el
                         aceleración a tendrá el
                        mismo signo que el de la
                         mismo signo que el de la
             a(+)       fuerza F,, sin importar la
                         fuerza F sin importar la
 F                      dirección de la
                         dirección de la
                        velocidad.
                         velocidad.
a promedio e instantánea
              ∆v v2 − v1                   ∆v
     aavg   =   =                ainst   =    (∆t → 0)
              ∆t t2 − t1                   ∆t


                                     pendiente
v2
                                                 ∆v
                            ∆v
v1
                                            ∆t
                  ∆t

             t1        t2                  tiempo
Ejemplo 3 (sin cambio en dirección): Una fuerza
   constante cambia la rapidez de un auto de 8 m/s a
   20 m/s en 4 s. ¿Cuál es la aceleración promedio?

         +                            Fuerza

                   t=4s

    v1 = +8 m/s              v2 = +20 m/s

Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo.
Paso 2. Elija una dirección positiva (derecha).
Paso 3. Etiquete la información dada con signos + y -.
Paso 4. Indique la dirección de la fuerza F.
Ejemplo 3 (continuación): ¿Cuál es la
     aceleración promedio del auto?

             +                             Fuerza

                        t=4s

         v1 = +8 m/s                v2 = +20 m/s

Paso 5. Recuerde la definición    20 m/s - 8 m/s
de aceleración promedio.     a=                  = +3 m/s
                                       4s
           ∆v v2 − v1
  aavg   =   =            a = + 3 m/s, a la derecha
           ∆t t2 − t1
Ejemplo 4: Un carrito que se mueve al este a 20
  m/s encuentra un viento de cara muy fuerte, lo
  que hace que cambie de dirección. Después de 5
  s, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración
  promedio? (Asegúrese de los signos.)

      +                                 Fuerza
                                      E
vf = -5 m/s        vo = +20 m/s

Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo.
Paso 2. Elija la dirección al este como positiva.
Paso 3. Etiquete la información dada con los
signos + y -.
Ejemplo 4 (Cont.): El carrito que se mueve al este
a 20 m/s encuentra un viento de cara que hace
que cambie de dirección. Cinco segundos
después, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la
aceleración promedio?

Elija la dirección al este como positiva.
Elija la dirección al este como positiva.
Velocidad inicial, voo = +20 m/s, este (+)
Velocidad inicial, v = +20 m/s, este (+)
Velocidad final, vf f = -5 m/s, oeste (-)
Velocidad final, v = -5 m/s, oeste (-)
Cambio en velocidad, ∆v = vf f -- v00
Cambio en velocidad, ∆v = v v
∆v = (-5 m/s) -- (+20 m/s) = -25 m/s
∆v = (-5 m/s) (+20 m/s) = -25 m/s
Ejemplo 4: (continuación)
      +                                    Fuerza
                                         E
               vo = +20 m/s
 vf = -5 m/s
               ∆v = (-5 m/s) - (+20 m/s) = -25 m/s


       ∆v       vf - vo                -25 m/s
aprom=    =                      a=
       ∆t       tf - to                  5s

                          La aceleración se dirige a la
     a = -- 5 m/s
     a = 5 m/s   22
                          izquierda, oeste (igual que F).
Signos para el desplazamiento
      +                      C           Fuerza
      D                                E
              A                                 B
vf = -5 m/s   vo = +20 m/s       a = - 5 m/s2


 Tiempo t = 0 en el punto A. ¿Cuáles son los
 signos (+ o -) del desplazamiento en B, C y
 D?
  En B, x es positivo, derecha del origen
  En C, x es positivo, derecha del origen
  En D, x es negativo, izquierda del origen
Signos para
                  velocidad
       +       x=0
                              C           Fuerza
       D                                E
               A                                 B
 vf = -5 m/s   vo = +20 m/s       a = - 5 m/s2


   ¿Cuáles son los signos (+ o -) de la
   velocidad en los puntos B, C y D?
 En B, v es cero - no necesita signo.
 En C, v es positiva de ida y negativa de vuelta.

 En D, v es negativa, va a la izquierda.
Signos para aceleración

      +                      C           Fuerza
      D                                E
              A                                 B
vf = -5 m/s   vo = +20 m/s       a = - 5 m/s2
¿Cuáles son los signos (+ o -) de la
aceleración en los puntos B, C y D?

 En B, C y D, a = -5 m/s, negativa en todos
  los puntos.
 La fuerza es constante y siempre se dirige a la
  izquierda, de modo que la aceleración no
  cambia.
Definiciones
Velocidad promedio:

           ∆x x2 − x1
  vavg   =   =
           ∆t t2 − t1

Aceleración promedio:

           ∆v v2 − v1
  aavg   =   =
           ∆t t2 − t1
Velocidad para a constante
Velocidad promedio:            Velocidad promedio:

         =
           ∆x x f − x0
              =
                                            v0 + v f
  vavg
           ∆ t t f − t0            vavg =
                                               2
Al hacer to = 0 y combinar lo que se tiene:

                            v0 + v f
                 x = x0 +              t
                               2
Ejemplo 5: Una bola a 5 m del fondo de un plano inclinad
     viaja inicialmente a 8 m/s. Cuatro segundos después, via
     abajo del plano a 2 m/s. ¿Cuán lejos del fondo está en es
     instante?


       +           x               F
                          vf
                   vo
        5m                     -2 m/s
                8 m/s             t=4s             Cuidado

         vo + vf             8 m/s + (-2 m/s)
x = xo +       t        =5m+               (4 s)
            2                     2
(Continuación)
        +                       F
               x
                      vf
               vo
      5m                   -2 m/s
              8 m/s           t=4s

          8 m/s + (-2 m/s)
  x=5m+                 (4 s)
                2
      8 m/s - 2 m/s
x=5m+             (4 s)       x = 17 m
                              x = 17 m
           2
Aceleración constante
                                 ∆v v f − v0
   Aceleración:        a avg   =   =
                                 ∆t t f − t0

    Al hacer to = 0 y resolver para v, se tiene:

                    v f = v0 + at

Velocidad final = velocidad inicial + cambio en velocidad
Aceleración en el ejemplo
                      +                F
v f = v0 + at             x        v
                              vo
     v f − v0
a=                   5m          -2 m/s
        t                  8 m/s    t=4s


        (−2 m/s) − ( +8 m/s)
     a=                      = −2 m/s 2

                4s
                          ¡La fuerza que cambia
                           ¿Cuál es el significado
   a = -2.50 m/s22
   a = -2.50 m/s          delrapidez es abajo del
                          la signo negativo de a?
                                   plano!
Fórmulas basadas en definicione
            v0 + v f
 x = x0 +              t     v f = v0 + at
               2
      Fórmulas derivadas:
               derivadas
 x = x0 + v0t + at 1
                   2
                       2
                           x = x0 + v f t − at
                                          1
                                          2
                                                 2




            2a ( x − x0 ) = v − v
                             2
                             f
                                   2
                                   0


Sólo para aceleración constante
Uso de posición inicial x0 en
problemas.
      0    v0 + v f                     Si elige el origen de
                                         Si elige el origen de
x = x0 +                    t           sus ejes x,y en el
                                         sus ejes x,y en el
                2                       punto de la posición
                                         punto de la posición
      0                                 inicial, puede hacer
                                         inicial, puede hacer
x = x0 + v0t + at   1       2
                                        x00 = 0 y simplificar
                    2                    x = 0 y simplificar
      0                                 estas ecuaciones.
                                         estas ecuaciones.
x = x0 + v f t − at 1
                    2
                                2


            0                             El término xo es muy
2a ( x − x0 ) = v − v   2
                        f
                                    2
                                    0     útil para estudiar
                                          problemas que
v f = v0 + at                             involucran movimiento
                                          de dos cuerpos.
Repaso de símbolos y unidades

•• Desplazamiento ((x, xo); metros ((m))
   Desplazamiento x, xo); metros m
•• Velocidad ((v, vo); metros por segundo ((m/s))
   Velocidad v, vo); metros por segundo m/s
•• Aceleración ((a); metros por s22 ((m/s2))
   Aceleración a ); metros por s m/s2
•• Tiempo ((tt); segundos ((s))
   Tiempo ); segundos s

  Repase la convención de signos para cada
                  símbolo
Los signos del
             desplazamiento
•• El desplazamiento es positivo (+) o
   El desplazamiento es positivo (+) o
   negativo (-) con base en la
   negativo (-) con base en la
   UBICACIÓN..
   UBICACIÓN


  2m                   El desplazamiento es
                       la coordenada y. Si
                       el movimiento es
 -1 m                  arriba o abajo, + o -,
 -2 m                  se basa en la
                       UBICACIÓN.
Los signos de la velocidad
•• La velocidad es positiva (+) o negativa (-)
   La velocidad es positiva (+) o negativa (-)
   con base en la dirección de movimiento..
   con base en la dirección de movimiento

               +
  +        -        Elija primero la dirección +;
                    entonces la velocidad v es
                    positiva si el movimiento
                    está en la dirección +, y
   +
           -        negativa si está contraria a
                    esa dirección.
Aceleración producida por una fuerz

•• La aceleración es ((+)) o ((-) con base en la
   La aceleración es + o -) con base en la
   dirección de la fuerza ((NO con base en v).
   dirección de la fuerza NO con base en v).

                     Se necesita un empujón o
                     jalón (fuerza) para cambiar la
F          a(-)      velocidad, por tanto el signo
                     de a es igual al signo de F.


F          a(+)     Después se hablará
                    más de la relación
                    entre F y a.
Estrategia para resolución de problemas
                                problema
 Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
 Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
 Mencione la información dada y establezca lo que
  se tiene que encontrar.

   Dada: ____, _____, _____ (x,v,vo,a,t)
   Encontrar: ____, _____
 Seleccione la ecuación que contenga una
  y no las otras cantidades desconocidas y
  resuelva para la incógnita.
Ejemplo 6: Un avión que inicialmente vuela a
  400 ft/s aterriza en la cubierta de un
  portaaviones y se detiene en una distancia
  de 300 ft. ¿Cuál es la aceleración?
                            +400 ft/s
      v=0       300 ft
                               F      vo
                 +
                                   X0 = 0

Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo.
Paso 2. Indique la dirección + y la dirección de F.
Ejemplo: (Cont.)
                              +400 ft/s
         v=0      300 ft
                                        vo
                   +            F
                                    X0 = 0

Paso 3. Mencione lo        Dado: vo = +400 ft/s
conocido; encuentre                 v=0
información con signos.
                                    x = +300 ft
Mencione t = ¿?, aun
cuando no se pida el       Encontrar: a = ¿?;
tiempo.                    t = ¿?
Continúa . . .     x        +400 ft/s
              v=0        300 ft
                                             vo
                         +          F
                                         X0 = 0

Paso 4. Seleccione la
                                            0      0
ecuación que contiene a y no       2a(x -xo) = v2 - vo2
t.
       -vo2                       La posición inicial y la
                  -(400 ft/s)2
  a=          =                   velocidad final son
                                    a = -- 267 ft/s22
       2x           2(300 ft)     cero.= 267 ft/s
                                     a

    ¿Por quéla fuerza está en una dirección
    ¡Porque la aceleración es negativa?
                   negativa!
Aceleración debida a la
                  gravedad
•• Todo objeto sobre la Tierra
    Todo objeto sobre la Tierra
   experimenta una fuerza común:
    experimenta una fuerza común:
   la fuerza debida a la gravedad.
    la fuerza debida a la gravedad.
•• Esta fuerza siempre se dirige
    Esta fuerza siempre se dirige
   hacia el centro de la Tierra
    hacia el centro de la Tierra
   (hacia abajo).                      g   W
    (hacia abajo).
•• La aceleración debida a la
    La aceleración debida a la
   gravedad es relativamente
    gravedad es relativamente
   constante cerca de la superficie
    constante cerca de la superficie
   terrestre.
    terrestre.
                                       Tierra
Aceleración gravitacional
•• En un vacío, todos los objetos
    En un vacío, todos los objetos
   caen con la misma aceleración.
    caen con la misma aceleración.
•• Las ecuaciones para
    Las ecuaciones para
   aceleración constante se aplican
    aceleración constante se aplican
   como es usual.
    como es usual.
•• Cerca de la superficie de la
   Cerca de la superficie de la
   Tierra:
   Tierra:

         a = g = 9.80 m/s2 o 32 ft/s2
Dirigida hacia abajo (por lo general negativa).
Determinación experimental
    de la aceleración
    gravitacional.                    ∆t

El aparato consiste de un
dispositivo que mide el tiempo
que una bola requiere para caer
una distancia dada.               y

Suponga que la altura es 1.20
m y que el tiempo de caída
registrado es 0.650 s. ¿Cuál
es la aceleración debida a la
gravedad?
Determinación experimental de la
  gravedad (y0 = 0; y = -1.20 m)

 y = -1.20 m; t = 0.495 s              ∆t
 y = v0t + 1 at 2 ; v0 = 0
           2

      2 y 2(−1.20 m)
    a= 2 =
                                   y
                     2
       t   (0.495 s)                   +
Aceleración de
la gravedad: a   = −9.79 m/s   2

                                       W
La aceleración a es negativa
porque la fuerza W es negativa.
Convención de signos:
                                         Bola que se lanza
                                     verticalmente hacia arriba
             av= -0
              y=+
                =
                                     ••   El desplazamiento es
                                           El desplazamiento es
                                          positivo (+) o negativo (-)
  a == +
  vy +
    =-                ya= + -
                       v ==-               positivo (+) o negativo (-)
                                          con base en la
                                           con base en la
                                          UBICACIÓN..
 ARRIBA = +            y=0                 UBICACIÓN

                       a= -
                       y=
                      v = -0
Punto de                             ••   La velocidad es positiva (+)
                                           La velocidad es positiva (+)
liberación                                o negativa (-) con base en
                                           o negativa (-) con base en
                                          la dirección de movimiento..
                                           la dirección de movimiento

                         yv=
                           =
                      --Negativa
                       Negativa      •    La aceleración es (+) o (-)
                        a=-               con base en la dirección de
                                          la fuerza (peso).
                           Tippens
Misma estrategia de
        resolución de problemas,
              excepto a = g:
 Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
 Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
 Mencione la información dada y establezca la que
  se tiene que encontrar.

   Dado: ____, _____, a = - 9.8 m/s2
   Encontrar: ____, _____
 Seleccione la ecuación que contenga una
  y no las otras cantidades desconocidas, y
  resuelva para la incógnita.
Ejemplo 7: Una bola se lanza verticalmente haci
     arriba con una velocidad inicial de 30 m/s.
     ¿Cuáles son su posición y velocidad después de
     2 s, 4 s y 7 s ?

 Paso 1. Dibuje y etiquete un
 bosquejo.
 Paso 2. Indique la dirección +
                                              +
 y la dirección de la fuerza.     a=g
 Paso 3. Información
 dada/encontrar.

a = -9.8 ft/s2   t = 2, 4, 7 s
                                  vo = +30 m/s
vo = + 30 m/s y = ¿? v = ¿?
Encontrar desplazamiento:

  Paso 4. Seleccione ecuación
  que contenga y y no v.                         +
              0                    a=g
      y = y0 + v0t + at
                      1
                      2
                          2


y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
La sustitución de t = 2, 4 y 7 s   vo = 30 m/s
dará los siguientes valores:


    y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m
    y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m
Encontrar velocidad:
Paso 5. Encuentre v a partir de la
Paso 5. Encuentre v a partir de la
ecuación que contenga v y no x::
ecuación que contenga v y no x
                                                   +
                                     a=g
        v f = v0 + at

v f = 30 m/s + (−9.8 m/s )t  2

                                     vo = 30 m/s
Sustituya t = 2, 4 y 7 s:


v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s
v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s
Ejemplo 7: (Cont.) Ahora
     encuentre la altura máxima
     alcanzada:
El desplazamiento es máximo                   +
cuando la velocidad vf es cero.
                                  a=g
v f = 30 m/s + (−9.8 m/s )t = 0
                         2


       30 m/s
   t=         2
                ; t = 3.06 s
      9.8 m/s
  Para encontrar ymax sustituya
                                  vo = +96 ft/s
  t = 3.06 s en la ecuación
  general del desplazamiento.

     y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
Ejemplo 7: (Cont.) Encuentre la altura máxima:

 y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2       t = 3.06 s

                  Al omitir unidades se obtiene:
          +
a=g            y = (30)(3.06) + ( −9.8)(3.06)
                                  1
                                  2
                                                   2



                    y = 91.8 m - 45.9 m
vo =+30 m/s
                     ymax = 45.9 m
Resumen de fórmulas
           v0 + v f
x = x0 +              t     v f = v0 + at
              2
     Fórmulas derivadas:
              derivadas
x = x0 + v0t + at 1
                  2
                      2
                          x = x0 + v f t − at
                                         1
                                         2
                                                2




           2a ( x − x0 ) = v − v
                            2
                            f
                                  2
                                  0


Sólo para aceleración constante
Resumen: Procedimiento
 Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
 Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
 Mencione la información dada y establezca la que
  debe encontrar.
    Dada: ____, _____, ______
    Encontrar: ____, _____
 Seleccione la ecuación que contenga una y no
  la otra de las cantidades desconocidas, y
  resuelva para la incógnita.
CONCLUSIÓN:
 Aceleración

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  • 1. Aceleración Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University
  • 2. El cheetah (guepardo): Un gato diseñado para correr. Su fortaleza y agilidad le permiten sostener una rapidez tope de más de 100 km/h. Tales rapideces sólo se pueden mantener durante unos diez segundos. Foto © Vol. 44 Photo Disk/Getty
  • 3. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Definir y aplicar los conceptos de velocidad promedio e instantánea y aceleración. • Resolver problemas que involucren velocidad inicial y final, aceleración, desplazamiento y tiempo. • Demostrar su comprensión de las direcciones y signos para velocidad, desplazamiento y aceleración. • Resolver problemas que involucren un cuerpo en caída libre en un campo gravitacional.
  • 4. Aceleración uniforme en una dirección: • El movimiento es a lo largo de una línea recta (horizontal, vertical o inclinado). • Los cambios en el movimiento resultan de una fuerza CONSTANTE que produce aceleración uniforme. • La causa del movimiento se discutirá más tarde. Aquí sólo se tratan los cambios. • El objeto en movimiento se trata como si fuese una partícula puntual.
  • 5. Distancia y desplazamiento Distancia es la longitud de la trayectoria real Distancia es la longitud de la trayectoria real que sigue el objeto. Considere el viaje del que sigue el objeto. Considere el viaje del punto A al punto B en el siguiente diagrama: punto A al punto B en el siguiente diagrama: La distancia s es una cantidad escalar (sin B dirección): s = 20 m Sólo contiene magnitud y A consta de un número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal)
  • 6. Distancia y desplazamiento Desplazamiento es la separación en línea Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección recta de dos puntos en una dirección específica. específica. Una cantidad vectorial: D = 12 m, 20o B Contiene magnitud Y A dirección, un número, θ unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N)
  • 7. Distancia y desplazamiento •• Para movimiento a lo largo de los ejes x o y,, el Para movimiento a lo largo de los ejes x o y el desplazamiento se determina por la coordenada x o y desplazamiento se determina por la coordenada x o y de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que viaja 8 m al E, luego 12 m al O. viaja 8 m al E, luego 12 m al O. El desplazamiento neto D es desde el origen D 8 m,E hasta la posición final: x D = 4 m, W D = 4 m, W x = -4 x = +8 ¿Cuál es la distancia 12 m,O recorrida? 20 m !!
  • 8. Los signos del desplazamiento • El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN. Ejemplos: 2m El desplazamiento es la coordenada y. Si el movimiento es arriba o abajo, + o -, se basa -1 m en la UBICACIÓN. -2 m ¡La dirección del movimiento no importa! ¡La dirección del movimiento no importa!
  • 9. Definición de rapidez •• Rapidez es la distancia recorrida por unidad Rapidez es la distancia recorrida por unidad de tiempo (una cantidad escalar). de tiempo (una cantidad escalar). s 20 m s = 20 m B v= = t 4s A v = 5 m/s v = 5 m/s ¡No depende de la Tiempo t = 4 s dirección!
  • 10. Definición de velocidad •• Velocidad es el desplazamiento por Velocidad es el desplazamiento por unidad de tiempo. (Una cantidad unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.) vectorial.) s = 20 m B D 12 m v= = D=12 m t 4s A 20o v = 3 m/s, 2000 N del E v = 3 m/s, 20 N del E Tiempo t = 4 s ¡Requiere dirección!
  • 11. Ejemplo 1. Una corredora corre 200 m, este, luego cambia dirección y corre 300 m, oeste. Si todo el viaje tarda 60 s, ¿cuál es la rapidez promedio y cuál la velocidad promedio? Recuerde que la rapidez promedio es una s2 = 300 m s1 = 200 m función sólo de la distancia total y del inicio tiempo total: Distancia total: s = 200 m + 300 m = 500 m trayectoria total 500 m Rapidez Rapidez pr omedio = = tiempo 60 s prom. 8.33 m/s ¡No importa la dirección!
  • 12. Ejemplo 1 (Cont.) Ahora encuentre la velocidad promedio, que es el desplazamiento neto dividido por el tiempo. En este caso, importa la dirección. t = 60 s x f − x0 xf = -100 m x1= +200 m v= t x0 = 0 m; xf = -100 m xo = 0 La dirección del −100 m − 0 desplazamiento final es v= = −1.67 m/s hacia la izquierda, como se 60 s muestra. Velocidad promedio: v = 1.67 m/s, West Nota: La velocidad promedio se dirige al oeste.
  • 13. Ejemplo 2. Un paracaidista salta y cae 600 m en 14 s. Después se abre el paracaídas y cae otros 400 m en 150 s. ¿Cuál es la rapidez promedio de toda la caída? Distancia total/tiempo total: 14 s x A + xB 600 m + 400 m A v= = 625 m t A + tB 14 s + 150 s 1000 m v= v = 6.10 m/s 164 s B La rapidez promedio sólo es La rapidez promedio sólo es 356 m función de la distancia total función de la distancia total recorrida y el tiempo total recorrida y el tiempo total 142 s requerido. requerido.
  • 14. Ejemplos de rapidez Órbita 2 x 104 m/s Luz = 3 x 108 m/s Jets = 300 m/s Automóvil = 25 m/s
  • 15. Ejemplos de rapidez (Cont.) Corredora = 10 m/s Glaciar = 1 x 10-5 m/s Caracol = 0.001 m/s
  • 16. Rapidez promedio y velocidad instantánea  La rapidez promedio depende SÓLO de  La rapidez promedio depende SÓLO de la distancia recorrida y el tiempo la distancia recorrida y el tiempo requerido. requerido. s = 20 m B La velocidad La velocidad instantánea es la instantánea es la C A magnitud y la dirección magnitud y la dirección de la rapidez en un de la rapidez en un instante particular. (v en instante particular. (v en el punto C) el punto C) Tiempo t = 4 s
  • 17. Los signos de la velocidad  La velocidad es positiva (+) o negativa (-)  La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento. con base en la dirección de movimiento. + - Elija primero la dirección +; Elija primero la dirección +; + entonces v es positiva si el entonces v es positiva si el movimiento está en dicha movimiento está en dicha dirección, y negativa si es dirección, y negativa si es + - contraria a esa dirección. contraria a esa dirección.
  • 18. v promedio e instantánea Velocidad promedio: Velocidad instantánea: ∆x x2 − x1 ∆x vavg = = vinst = (∆t → 0) ∆t t2 − t1 ∆t pendient Desplazamiento, x e x2 ∆x ∆x x1 ∆t ∆t t1 t2 Tiempo
  • 19. Definición de aceleración  Una aceleración es el cambio en velocidad por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.)  Un cambio en velocidad requiere la aplicación de un empuje o jalón (fuerza). Más adelante se dará un tratamiento formal de fuerza y aceleración. Por ahora, debe saber que: • La dirección de la • La aceleración es aceleración es la misma proporcional a la que la dirección de la magnitud de la fuerza. fuerza.
  • 20. Aceleración y fuerza F a 2F 2a Jalar el carrito con el doble de fuerza Jalar el carrito con el doble de fuerza produce el doble de aceleración y la produce el doble de aceleración y la aceleración está en la dirección de la aceleración está en la dirección de la fuerza. fuerza.
  • 21. Ejemplo de aceleración + Fuerz a t=3s v0 = +2 m/s vf = +8 m/s El viento cambia la rapidez de un bote de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Cada segundo cambia la rapidez por 2 m/s. La fuerza del viento es constante, por tanto la La fuerza del viento es constante, por tanto la aceleración es constante. aceleración es constante.
  • 22. Los signos de la aceleración •• La aceleración es positiva ((+)) o negativa ((-) La aceleración es positiva + o negativa -) con base en la dirección de la fuerza.. con base en la dirección de la fuerza + Primero elija la dirección Primero elija la dirección F a (-) +. Entonces la +. Entonces la aceleración a tendrá el aceleración a tendrá el mismo signo que el de la mismo signo que el de la a(+) fuerza F,, sin importar la fuerza F sin importar la F dirección de la dirección de la velocidad. velocidad.
  • 23. a promedio e instantánea ∆v v2 − v1 ∆v aavg = = ainst = (∆t → 0) ∆t t2 − t1 ∆t pendiente v2 ∆v ∆v v1 ∆t ∆t t1 t2 tiempo
  • 24. Ejemplo 3 (sin cambio en dirección): Una fuerza constante cambia la rapidez de un auto de 8 m/s a 20 m/s en 4 s. ¿Cuál es la aceleración promedio? + Fuerza t=4s v1 = +8 m/s v2 = +20 m/s Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo. Paso 2. Elija una dirección positiva (derecha). Paso 3. Etiquete la información dada con signos + y -. Paso 4. Indique la dirección de la fuerza F.
  • 25. Ejemplo 3 (continuación): ¿Cuál es la aceleración promedio del auto? + Fuerza t=4s v1 = +8 m/s v2 = +20 m/s Paso 5. Recuerde la definición 20 m/s - 8 m/s de aceleración promedio. a= = +3 m/s 4s ∆v v2 − v1 aavg = = a = + 3 m/s, a la derecha ∆t t2 − t1
  • 26. Ejemplo 4: Un carrito que se mueve al este a 20 m/s encuentra un viento de cara muy fuerte, lo que hace que cambie de dirección. Después de 5 s, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración promedio? (Asegúrese de los signos.) + Fuerza E vf = -5 m/s vo = +20 m/s Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo. Paso 2. Elija la dirección al este como positiva. Paso 3. Etiquete la información dada con los signos + y -.
  • 27. Ejemplo 4 (Cont.): El carrito que se mueve al este a 20 m/s encuentra un viento de cara que hace que cambie de dirección. Cinco segundos después, viaja al oeste a 5 m/s. ¿Cuál es la aceleración promedio? Elija la dirección al este como positiva. Elija la dirección al este como positiva. Velocidad inicial, voo = +20 m/s, este (+) Velocidad inicial, v = +20 m/s, este (+) Velocidad final, vf f = -5 m/s, oeste (-) Velocidad final, v = -5 m/s, oeste (-) Cambio en velocidad, ∆v = vf f -- v00 Cambio en velocidad, ∆v = v v ∆v = (-5 m/s) -- (+20 m/s) = -25 m/s ∆v = (-5 m/s) (+20 m/s) = -25 m/s
  • 28. Ejemplo 4: (continuación) + Fuerza E vo = +20 m/s vf = -5 m/s ∆v = (-5 m/s) - (+20 m/s) = -25 m/s ∆v vf - vo -25 m/s aprom= = a= ∆t tf - to 5s La aceleración se dirige a la a = -- 5 m/s a = 5 m/s 22 izquierda, oeste (igual que F).
  • 29. Signos para el desplazamiento + C Fuerza D E A B vf = -5 m/s vo = +20 m/s a = - 5 m/s2 Tiempo t = 0 en el punto A. ¿Cuáles son los signos (+ o -) del desplazamiento en B, C y D? En B, x es positivo, derecha del origen En C, x es positivo, derecha del origen En D, x es negativo, izquierda del origen
  • 30. Signos para velocidad + x=0 C Fuerza D E A B vf = -5 m/s vo = +20 m/s a = - 5 m/s2 ¿Cuáles son los signos (+ o -) de la velocidad en los puntos B, C y D?  En B, v es cero - no necesita signo.  En C, v es positiva de ida y negativa de vuelta.  En D, v es negativa, va a la izquierda.
  • 31. Signos para aceleración + C Fuerza D E A B vf = -5 m/s vo = +20 m/s a = - 5 m/s2 ¿Cuáles son los signos (+ o -) de la aceleración en los puntos B, C y D?  En B, C y D, a = -5 m/s, negativa en todos los puntos.  La fuerza es constante y siempre se dirige a la izquierda, de modo que la aceleración no cambia.
  • 32. Definiciones Velocidad promedio: ∆x x2 − x1 vavg = = ∆t t2 − t1 Aceleración promedio: ∆v v2 − v1 aavg = = ∆t t2 − t1
  • 33. Velocidad para a constante Velocidad promedio: Velocidad promedio: = ∆x x f − x0 = v0 + v f vavg ∆ t t f − t0 vavg = 2 Al hacer to = 0 y combinar lo que se tiene: v0 + v f x = x0 + t 2
  • 34. Ejemplo 5: Una bola a 5 m del fondo de un plano inclinad viaja inicialmente a 8 m/s. Cuatro segundos después, via abajo del plano a 2 m/s. ¿Cuán lejos del fondo está en es instante? + x F vf vo 5m -2 m/s 8 m/s t=4s Cuidado vo + vf 8 m/s + (-2 m/s) x = xo + t =5m+ (4 s) 2 2
  • 35. (Continuación) + F x vf vo 5m -2 m/s 8 m/s t=4s 8 m/s + (-2 m/s) x=5m+ (4 s) 2 8 m/s - 2 m/s x=5m+ (4 s) x = 17 m x = 17 m 2
  • 36. Aceleración constante ∆v v f − v0 Aceleración: a avg = = ∆t t f − t0 Al hacer to = 0 y resolver para v, se tiene: v f = v0 + at Velocidad final = velocidad inicial + cambio en velocidad
  • 37. Aceleración en el ejemplo + F v f = v0 + at x v vo v f − v0 a= 5m -2 m/s t 8 m/s t=4s (−2 m/s) − ( +8 m/s) a= = −2 m/s 2 4s ¡La fuerza que cambia ¿Cuál es el significado a = -2.50 m/s22 a = -2.50 m/s delrapidez es abajo del la signo negativo de a? plano!
  • 38. Fórmulas basadas en definicione v0 + v f x = x0 + t v f = v0 + at 2 Fórmulas derivadas: derivadas x = x0 + v0t + at 1 2 2 x = x0 + v f t − at 1 2 2 2a ( x − x0 ) = v − v 2 f 2 0 Sólo para aceleración constante
  • 39. Uso de posición inicial x0 en problemas. 0 v0 + v f Si elige el origen de Si elige el origen de x = x0 + t sus ejes x,y en el sus ejes x,y en el 2 punto de la posición punto de la posición 0 inicial, puede hacer inicial, puede hacer x = x0 + v0t + at 1 2 x00 = 0 y simplificar 2 x = 0 y simplificar 0 estas ecuaciones. estas ecuaciones. x = x0 + v f t − at 1 2 2 0 El término xo es muy 2a ( x − x0 ) = v − v 2 f 2 0 útil para estudiar problemas que v f = v0 + at involucran movimiento de dos cuerpos.
  • 40. Repaso de símbolos y unidades •• Desplazamiento ((x, xo); metros ((m)) Desplazamiento x, xo); metros m •• Velocidad ((v, vo); metros por segundo ((m/s)) Velocidad v, vo); metros por segundo m/s •• Aceleración ((a); metros por s22 ((m/s2)) Aceleración a ); metros por s m/s2 •• Tiempo ((tt); segundos ((s)) Tiempo ); segundos s Repase la convención de signos para cada símbolo
  • 41. Los signos del desplazamiento •• El desplazamiento es positivo (+) o El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la negativo (-) con base en la UBICACIÓN.. UBICACIÓN 2m El desplazamiento es la coordenada y. Si el movimiento es -1 m arriba o abajo, + o -, -2 m se basa en la UBICACIÓN.
  • 42. Los signos de la velocidad •• La velocidad es positiva (+) o negativa (-) La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento.. con base en la dirección de movimiento + + - Elija primero la dirección +; entonces la velocidad v es positiva si el movimiento está en la dirección +, y + - negativa si está contraria a esa dirección.
  • 43. Aceleración producida por una fuerz •• La aceleración es ((+)) o ((-) con base en la La aceleración es + o -) con base en la dirección de la fuerza ((NO con base en v). dirección de la fuerza NO con base en v). Se necesita un empujón o jalón (fuerza) para cambiar la F a(-) velocidad, por tanto el signo de a es igual al signo de F. F a(+) Después se hablará más de la relación entre F y a.
  • 44. Estrategia para resolución de problemas problema  Dibuje y etiquete bosquejo del problema.  Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.  Mencione la información dada y establezca lo que se tiene que encontrar. Dada: ____, _____, _____ (x,v,vo,a,t) Encontrar: ____, _____  Seleccione la ecuación que contenga una y no las otras cantidades desconocidas y resuelva para la incógnita.
  • 45. Ejemplo 6: Un avión que inicialmente vuela a 400 ft/s aterriza en la cubierta de un portaaviones y se detiene en una distancia de 300 ft. ¿Cuál es la aceleración? +400 ft/s v=0 300 ft F vo + X0 = 0 Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo. Paso 2. Indique la dirección + y la dirección de F.
  • 46. Ejemplo: (Cont.) +400 ft/s v=0 300 ft vo + F X0 = 0 Paso 3. Mencione lo Dado: vo = +400 ft/s conocido; encuentre v=0 información con signos. x = +300 ft Mencione t = ¿?, aun cuando no se pida el Encontrar: a = ¿?; tiempo. t = ¿?
  • 47. Continúa . . . x +400 ft/s v=0 300 ft vo + F X0 = 0 Paso 4. Seleccione la 0 0 ecuación que contiene a y no 2a(x -xo) = v2 - vo2 t. -vo2 La posición inicial y la -(400 ft/s)2 a= = velocidad final son a = -- 267 ft/s22 2x 2(300 ft) cero.= 267 ft/s a ¿Por quéla fuerza está en una dirección ¡Porque la aceleración es negativa? negativa!
  • 48. Aceleración debida a la gravedad •• Todo objeto sobre la Tierra Todo objeto sobre la Tierra experimenta una fuerza común: experimenta una fuerza común: la fuerza debida a la gravedad. la fuerza debida a la gravedad. •• Esta fuerza siempre se dirige Esta fuerza siempre se dirige hacia el centro de la Tierra hacia el centro de la Tierra (hacia abajo). g W (hacia abajo). •• La aceleración debida a la La aceleración debida a la gravedad es relativamente gravedad es relativamente constante cerca de la superficie constante cerca de la superficie terrestre. terrestre. Tierra
  • 49. Aceleración gravitacional •• En un vacío, todos los objetos En un vacío, todos los objetos caen con la misma aceleración. caen con la misma aceleración. •• Las ecuaciones para Las ecuaciones para aceleración constante se aplican aceleración constante se aplican como es usual. como es usual. •• Cerca de la superficie de la Cerca de la superficie de la Tierra: Tierra: a = g = 9.80 m/s2 o 32 ft/s2 Dirigida hacia abajo (por lo general negativa).
  • 50. Determinación experimental de la aceleración gravitacional. ∆t El aparato consiste de un dispositivo que mide el tiempo que una bola requiere para caer una distancia dada. y Suponga que la altura es 1.20 m y que el tiempo de caída registrado es 0.650 s. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad?
  • 51. Determinación experimental de la gravedad (y0 = 0; y = -1.20 m) y = -1.20 m; t = 0.495 s ∆t y = v0t + 1 at 2 ; v0 = 0 2 2 y 2(−1.20 m) a= 2 = y 2 t (0.495 s) + Aceleración de la gravedad: a = −9.79 m/s 2 W La aceleración a es negativa porque la fuerza W es negativa.
  • 52. Convención de signos: Bola que se lanza verticalmente hacia arriba av= -0 y=+ = •• El desplazamiento es El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) a == + vy + =- ya= + - v ==- positivo (+) o negativo (-) con base en la con base en la UBICACIÓN.. ARRIBA = + y=0 UBICACIÓN a= - y= v = -0 Punto de •• La velocidad es positiva (+) La velocidad es positiva (+) liberación o negativa (-) con base en o negativa (-) con base en la dirección de movimiento.. la dirección de movimiento yv= = --Negativa Negativa • La aceleración es (+) o (-) a=- con base en la dirección de la fuerza (peso). Tippens
  • 53. Misma estrategia de resolución de problemas, excepto a = g:  Dibuje y etiquete bosquejo del problema.  Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.  Mencione la información dada y establezca la que se tiene que encontrar. Dado: ____, _____, a = - 9.8 m/s2 Encontrar: ____, _____  Seleccione la ecuación que contenga una y no las otras cantidades desconocidas, y resuelva para la incógnita.
  • 54. Ejemplo 7: Una bola se lanza verticalmente haci arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Cuáles son su posición y velocidad después de 2 s, 4 s y 7 s ? Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo. Paso 2. Indique la dirección + + y la dirección de la fuerza. a=g Paso 3. Información dada/encontrar. a = -9.8 ft/s2 t = 2, 4, 7 s vo = +30 m/s vo = + 30 m/s y = ¿? v = ¿?
  • 55. Encontrar desplazamiento: Paso 4. Seleccione ecuación que contenga y y no v. + 0 a=g y = y0 + v0t + at 1 2 2 y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2 La sustitución de t = 2, 4 y 7 s vo = 30 m/s dará los siguientes valores: y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m
  • 56. Encontrar velocidad: Paso 5. Encuentre v a partir de la Paso 5. Encuentre v a partir de la ecuación que contenga v y no x:: ecuación que contenga v y no x + a=g v f = v0 + at v f = 30 m/s + (−9.8 m/s )t 2 vo = 30 m/s Sustituya t = 2, 4 y 7 s: v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s
  • 57. Ejemplo 7: (Cont.) Ahora encuentre la altura máxima alcanzada: El desplazamiento es máximo + cuando la velocidad vf es cero. a=g v f = 30 m/s + (−9.8 m/s )t = 0 2 30 m/s t= 2 ; t = 3.06 s 9.8 m/s Para encontrar ymax sustituya vo = +96 ft/s t = 3.06 s en la ecuación general del desplazamiento. y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
  • 58. Ejemplo 7: (Cont.) Encuentre la altura máxima: y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2 t = 3.06 s Al omitir unidades se obtiene: + a=g y = (30)(3.06) + ( −9.8)(3.06) 1 2 2 y = 91.8 m - 45.9 m vo =+30 m/s ymax = 45.9 m
  • 59. Resumen de fórmulas v0 + v f x = x0 + t v f = v0 + at 2 Fórmulas derivadas: derivadas x = x0 + v0t + at 1 2 2 x = x0 + v f t − at 1 2 2 2a ( x − x0 ) = v − v 2 f 2 0 Sólo para aceleración constante
  • 60. Resumen: Procedimiento  Dibuje y etiquete bosquejo del problema.  Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.  Mencione la información dada y establezca la que debe encontrar. Dada: ____, _____, ______ Encontrar: ____, _____  Seleccione la ecuación que contenga una y no la otra de las cantidades desconocidas, y resuelva para la incógnita.