El documento presenta el cálculo de varias operaciones con números complejos expresados en forma polar y binómica. Se explican los pasos para sumar, restar y multiplicar números complejos, expresando el resultado final en forma polar.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: números complejos
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Expresar un número complejo en las distintas formas: binómica, trigonométrica y polar.
- Operar correctamente con números complejos en forma binómica y polar.

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PROBLEMA RESUELTO: números complejos
ENUNCIADO:
Calcula:
a)
380|120º −67,62|68,3º
380|0º 67,62|68,3º+63,66|−90º
80|0º+67,62|68,3º −67,62|68,3º
−67,62|68,3º 67,62|68,3º+63,66|−90º
b)
80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º
−67,62 |68,3º 380|0º
( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º
−67,62 |68,3º (67,62 |68,3º+63,66 |−90º)

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PROBLEMA RESUELTO: números complejos
a)
380|120º −67,62|68,3º
380|0º 67,62|68,3º+63,66|−90º
80|0º+67,62|68,3º −67,62|68,3º
−67,62|68,3º 67,62|68,3º+63,66|−90º
Para resolver esta operación en primer lugar realizaremos las sumas que aparecen indicadas, y daremos el resultado en
forma polar.
67,62|68,3º + 63,66|−90º = 67,62 cos 68,3º + 𝑖𝑠𝑒𝑛 68,3º + 63,66 cos −90º + 𝑖𝑠𝑒𝑛 −90º =
= 67,2 cos 68,3º + 63,66 cos −90º + 𝑖 67,62𝑠𝑒𝑛 68,3º + 63,66𝑠𝑒𝑛 −90º = 25 − 0,832𝑖
Expresamos este número en forma polar para ello calculamos su módulo y su argumento.
25 − 0,832𝑖 = 252 + 0,8322 = 25,016
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
−0,832
25
= −1,91 arg 𝑧 = 360 − 1,91 = 358,09
El argumento debe ser positivo.
El número complejo está
en el cuarto cuadrante,
por tanto el ángulo
estará entre 270 y 360º
0º=360º
90º
180º
270º

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Por lo tanto tenemos que:
67,62|68,3º + 63,66|−90º = 25,016 |358,09º
A continuación hacemos la operación 80|0º + 67,62|68,3º
80|0º + 67,62|68,3º = 80 cos 0º + 67,62 cos 68,3º + 𝑖 82𝑠𝑒𝑛 0º + 67,62𝑠𝑒𝑛 68,3º =
105 + 62,8279𝑖 = 122,36|30,894º
Para realizar la operación, consideramos en primer lugar el numerador de la expresión:
380|120º −67,62|68,3º
380|0º 67,62|68,3º + 63,66|−90º
=
380|120º −67,62|68,3º
380|0º 25|358,09º
Lo pasamos a forma polar

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380|120º −67,62|68,3º
380|0º 25|358,09º
= 380|120º 25|358,09º + 67,62|68,3º 380|0º =
= 9500|478,09º + 25695|68,3º = 9500|118,09º + 25695,6|68,3º =
= 9500 cos 118,09º + 25695 cos 68,3º + 𝑖 9500𝑠𝑒𝑛 118,09º + 25695,6𝑠𝑒𝑛 68,3º =
= 5024,85 + 32260,96𝑖 = 32649,95|81,146º
A continuación realizamos el mismo proceso para hacer el determinante del denominador:
Recordemos que para multiplicar dos números
complejos en forma polar, multiplicamos los
módulos y sumamos los argumentos
Lo expresamos en forma polar

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PROBLEMA RESUELTO: números complejos
380|120º −67,62|68,3º
380|0º 25|358,09º
= 380|120º 25|358,09º + 67,62|68,3º 380|0º =
= 9500|478,09º + 25695|68,3º = 9500|118,09º + 25695,6|68,3º =
= 9500 cos 118,09º + 25695 cos 68,3º + 𝑖 9500𝑠𝑒𝑛 118,09º + 25695,6𝑠𝑒𝑛 68,3º =
= 5024,85 + 32260,96𝑖 = 32649,95|81,146º
A continuación realizamos el mismo proceso para hacer el determinante del denominador:
Recordemos que para multiplicar dos números
complejos en forma polar, multiplicamos los
módulos y sumamos los argumentos
Lo expresamos en forma polar

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80|0º + 67,62|68,3º −67,62|68,3º
−67,62|68,3º 67,62|68,3º + 63,66|−90º
=
122,363|30,894º −67,62|68,3º
−67,62|68,3º 25|358,09º
=
= 122,363|30,894º 25|358,09º − 67,62|68,3º 67,62|68,3º = 3061,03|388,984 − 4572,4644136,6º
= 3061,03|28,984 − 4572,4644136,6º = 5999,89 − 1658,4𝑖 = 6224,87|344,55º
De esta forma tenemos:
380|120º −67,62|68,3º
380|0º 67,62|68,3º + 63,66|−90º
80|0º + 67,62|68,3º −67,62|68,3º
−67,62|68,3º 67,62|68,3º + 63,66|−90º
=
32649,95|81,146º
6224,87|344,55º
= 5,24|−263,4º = 5,24|96,6º
Le restamos una vuelta (360º)
Lo expresamos en forma polar
Expresamos el argumento como
un ángulo positivo

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b)
80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º
−67,62 |68,3º 380|0º
( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º
−67,62 |68,3º (67,62 |68,3º+63,66 |−90º)
En primer lugar hallamos las sumas de números complejos que aparecen
80 |0º+67,62 |68,3º = 80 cos 0º + 67,62 cos 68,3º + 𝑖 80𝑠𝑒𝑛 0º + 67,62𝑠𝑒𝑛 68,3º =
= 105 + 62,827𝑖 = 122,36|33,24º
67,62 |68,3º + 63,66 |−90º = 25|358,09º
Lo expresamos en forma polar
Está hecho en el apartado anterior

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PROBLEMA RESUELTO: números complejos
Realizamos en primer lugar el numerador:
80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º
−67,62 |68,3º 380|0º
=
122,36 |33,24º 380|120º
−67,62 |68,3º 380|0º
=
= 122,36|32,24º 380|0º + 380|120º 67,62|68,3º = 46496,8|33,24º + 25695,6|188,2º =
= 13456,18 + 21822,15𝑖 = 25636,3|58,34º
A continuación realizamos el denominador:
( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º
−67,62 |68,3º (67,62 |68,3º + 63,66 |−90º)
=
122,36 |33,24º −67,62 |68,3º
−67,62 |68,3º 25 |358,09º

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122,36 |33,24º −67,62 |68,3º
−67,62 |68,3º 25 |358,09º
= 122,36|33,24º 25|358,09º − 67,62|68,3º 67,62|68,3º =
= 3060,95|391,33º − 4572,4644|136,6º = 3060,95|31,33º − 4572,4644|136,6º =
= 5936,8 − 1550𝑖 = 6135,89|−14,63º = 6135,89|345,36º
Por lo tanto tenemos que:
80 |0º+67,62 |68,3º 380|120º
−67,62 |68,3º 380|0º
( 80 |0º+67,62 |68,3º) −67,62 |68,3º
−67,62 |68,3º (67,62 |68,3º + 63,66 |−90º)
=
25636,3|58,34º
6135,89|345,36º
= 3,99|−290,23º = 3,99|69,77º
Pasamos a un ángulo
comprendido entre 0º y 360º
Lo expresamos en forma polar
Pasamos a un ángulo
comprendido entre 0º y 360º