diapositivas cinematica para la ingenieria

1. Tema 2. Cinemática de la partícula (Parte I) 1
TEMA 2. Cinemática de la partícula (Parte I)
2.1 Referencia cinemática, vector posición, ecuaciones del
movimiento y trayectoria
Sistema de referencia cinemática:
Se elige arbitrariamente y se considera fijo.
En un espacio de 3 dimensiones se considera punto origen O (0, 0, 0) fijo
y tres ejes rectangulares concurrentes en dicho punto (Fig. 2.1)
Vector posición de un punto P en un sistema de coordenadas cartesianas
se expresa como:
kjirOP
rrrr
zyx ++== (2-1)
Ecuación del movimiento determinada por las funciones escalares:
x = x (t), y = y (t), z = z (t) (2-2)
Ecuación de la trayectoria de la partícula se obtiene cancelando el
parámetro t (t > 0) (tiempo).
2.2 Velocidad
Se define velocidad media medv
r
(Fig. 2.2) al vector que se obtiene
multiplicando el vector desplazamiento 1rrr 2
rrr
−=∆ por el inverso del
incremento del tiempo 1/ ∆t. Se escribe,
ttt
med
∆
∆
=
−
−
=
rrr
v
rrr
r
12
12
(2-3)

2. Tema 2. Cinemática de la partícula (Parte I) 2
Se define la velocidad instantánea v
r
de la partícula en un punto P de la
trayectoria en el instante t (Fig. 2.3), al límite de la razón entre el vector
desplazamiento r
r
∆ y el incremento de tiempo ∆t cuando ∆t → 0. El cálculo
permite escribir el límite (2-4) como la derivada del vector posición respecto
del tiempo. Es decir:
dt
d
tt
rr
v
rr
r
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim (2-4)
Tres dimensiones. Velocidad y módulo en componentes rectangulares se
escriben:
kjiv
rrrr
dt
dz
dt
dy
dt
dx
++= (2-5)
222
zyx vvvv ++==v
r
(2-6)
Dos dimensiones (Fig. 2.4). Vector posición y velocidad en componentes
rectangulares se escriben:
jir
rrr
yx += (2-7)
jijiv
rrrrr
dt
dy
dt
dx
vv yx +=+= (2-8)
22
yx vvv +==v
r
(2-9)

3. Tema 2. Cinemática de la partícula (Parte I) 3
2.3 Aceleración
Se define la aceleración media meda
r
(Fig. 2.5) al cociente entre el cambio
vectorial de la velocidad 1vvv 2
rrr
−=∆ y el intervalo de tiempo ∆t = t2 – t1. Es
decir,
t
v
t
vv
a
2 ∆
∆
=
−
−
=
rrr
r
1
12
t
med (2-10)
La aceleración instantánea a
r
(Fig. 2.6) se define como el límite de la razón
entre el cambio vectorial de la velocidad vector v
r
∆ y el intervalo de tiempo ∆t
(2-10) cuando ∆t → 0 (2-11).
dt
d
tt
vv
a
rr
r
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim (2-11)
Componentes rectangulares de la aceleración:
dt
dv
a x
x =
dt
dv
a
y
y =
dt
dv
a z
z = (2-12)
La anotación del vector a
r
utilizando los vectores unitarios k,j,i
rrr
del triedro
rectangular se escribe:
kjia
rrrr
dt
dv
dt
dv
dt
dv zyx
++= (2-13)
Las componentes rectangulares de la aceleración también se escriben como a
la derivada segunda de las coordenadas de posición x (t), y (t) y z (t) respecto
del tiempo t:
2
2
dt
xd
ax = 2
2
dt
yd
ay = 2
2
dt
zd
az = (2-14)
Con la relación pitagórica el módulo de la vector aceleración se escribe:
222
zyx aaaa ++==a
r
(2-15)

4. Tema 2. Cinemática de la partícula (Parte I) 4
2.4 Componentes tangencial y perpendicular de la aceleración
El vector aceleración a en cada punto P de la trayectoria tiene dirección
hacia la parte cóncava de la misma (Fig. 2-7). Las proyecciones ortogonales
del vector aceleración a sobre las direcciones tangente y normal a la
trayectoria en cada punto P determinan las componentes tangencial a y
normal ⊥a de la aceleración:
dt
v
a
v
r
d
dt
d
== (2-16)
ρ
2
v
a =⊥ (2-17)
En las figuras 2-8 se muestran direcciones de velocidad y aceleración en todas
las situaciones posibles.