2013 iii clase_05

La más fundamental
de las ciencias

Cifras significativas e incertidumbre – Clase 05

Cifras significativas e incertidumbre

Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres
de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por:

• La precisión y exactitud de los instrumentos de medida

• La interacción del método de medición con el mesurando

• La definición del objeto a medir

• La influencia del observador u observadores que realizan la
medición

2007 - Hugo Vizcarra


Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites
probabilísticos de estas incertidumbres.

𝑥 − ∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + ∆𝑥

Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad,
podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física
x. Este mejor valor 𝑥 es el valor más representativo de nuestra
medición y al semi-ancho ∆𝑥 lo denominamos incertidumbre
absoluta. Una forma de expresar la medida es:

𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥

También es posible expresar la incertidumbre en relación al
valor más probable, a esto se le conoce como incertidumbre
relativa porcentual y se expresa en %.

∆𝑥
𝜀% = ∙ 100%
𝑥

Ejemplos:

𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 12,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 = 12,5 𝑐𝑚 ± 4%

Masa = 50 𝑔 ± 1 𝑔 = 50 𝑔 ± 2%
2010 - Hugo Vizcarra 4

Precisión y exactitud
La precisión de un instrumento o de un método de medición
esta asociada a su sensibilidad (menor variación que puede ser
detectada con él) .
Un vaso se llena con agua 5 veces y
en cada vez se mide su masa con el
mismo instrumento:
𝑚1 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔
𝑚2 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔
𝑚3 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔
𝑚4 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔
𝑚5 = 125, 6 𝑔 ± 0,5 𝑔
Poca precisión Se puede decir que el método y/o
instrumento es preciso.

Exactitud
La exactitud de un instrumento o de un método de medición esta
asociada a una buena calibración del mismo. Respecto del ejemplo
anterior, si un laboratorio de mucho prestigio nos indica que el vaso
con agua mencionado tiene una masa 𝑚 = 120, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔.
Entonces llegaríamos a la conclusión de
que nuestra balanza o método de
medición tiene una calibración deficiente.
Por lo tanto nuestras medidas son
precisas pero poco exactas.

Mucha precisión pero
poca exactitud


Precisión y exactitud
Precisión

2007 - Hugo Vizcarra Exactitud

Fuentes de incertidumbre

Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden
clasificarse del siguiente modo:

I. Incertidumbre introducida por el instrumento

• Incertidumbre de apreciación ap
La incertidumbre estará asociada con la mínima variación
que podamos resolver con algún método de medición.

• Incertidumbre de exactitud exac
Representa la incertidumbre absoluta con la que el
instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a
patrones confiables.

Fuentes de incertidumbre

II. Incertidumbre de interacción int
Proviene de la interacción del método de medición con el objeto
a medir.

III. Falta de definición del objeto sujeto a medición def
Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están
medidas con infinita precisión.
En general en un experimento dado, todas las fuentes de
incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la
incertidumbre nominal de una medición como:

2  ap  def  int  exac  .......
nom
2 2 2 2


Clasificación de la incertidumbre

Según su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar en
sistemáticos y estadísticos.

I. Incertidumbre sistemática
Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos
de medición, y siempre se producen en el mismo sentido.

II. Incertidumbre estadística o aleatoria est
Son aquellos que se producen al azar, se cometen con igual
probabilidad por exceso o por defecto.

x  est  2  est  2  2  int  exac  .......
2
nom
2
ap def
2 2

Medición directa

Supongamos que deseamos medir la altura de esta imagen con
la regla representada.


Medición directa
El primer paso es alinear lo mejor posible el cero
de la regla con el limite inferior de la imagen, tal 6

como se observa en la figura.
5

4

3

2

1

cm

Medición directa
Si ampliamos un poco la zona de medición
con una lupa, observamos que no sabemos 6
con precisión cuál es la medida. En todo
caso esta se encuentra comprendida
entre:
5
4,50 cm ≤ 𝐿 ≤ 4,60 𝑐𝑚

Parece ser 4,55 cm, por lo que la mejor
4
forma de expresar la medida es: 4 LUPA

𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Medición directa
Como regla práctica, cada vez que se realiza una medición
directa con un instrumento, es conveniente identificar con
claridad:
Instrumento Regla
Cantidad física a medir Longitud
Unidad de medida del instrumento cm
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
Como este instrumento nos brinda la posibilidad de aproximar
una cifra a lo largo de la mínima división, la incertidumbre
asociada a esta medida es la mitad de la sensibilidad.
0,1 𝑐𝑚
∆𝐿 = ± = ±0,05 𝑐𝑚
2


Medición directa
La medida de la altura de la imagen es entonces igual al valor
mas probable, generado con las cifras exactas proporcionadas
por el instrumento y la aproximada por el que realiza la medida
(en este caso 4,55 cm), incluido el intervalo de incertidumbre
(en este caso ±0,05 𝑐𝑚).
𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
Esta medida tiene tres cifras significativas, notar que el valor
mas probable para esta medida y su incertidumbre tienen la
misma cantidad de decimales, no tendría sentido una medida:
𝐿 = 120,321 𝑚 ± 1 𝑚
ya que si la incertidumbre es del orden de 1 m, como podríamos
asegurar el valor mas probables hasta las milésimas de metro.


Medición directa
Instrumento Regla 6

5
Sensibilidad o mínima división 0,1 cm 4
Incertidumbre asociada 0,05 cm
3
La medida es:
𝐿 = 4,95 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
2
Tiene tres cifras significativas
1

cm


Medición directa
Instrumento Regla
6
Unidad de medida del instrumento cm 5

Sensibilidad o mínima división 0,1 cm
Incertidumbre asociada 0,05 cm 4

La medida es: 3
𝐿 = 5,00 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚
2
Una vez más notar como el valor más
probable y la incertidumbre tienen la misma
1
cantidad de decimales.
cm

Medición directa

Instrumento Regla
Sensibilidad o mínima división 1 cm
Incertidumbre asociada 0,5 cm

La medida es:
𝐿 = 7,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚
Tiene dos cifras significativas, notar como el valor más probable
y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.

Medición directa
¿Cuál es la medida de α?

α


Medición directa
Instrumento Transportador
Cantidad física a medir Ángulo
Unidad de medida del instrumento °
Sensibilidad o mínima división 1°
Incertidumbre asociada 0,5°
La medida es:
𝛼 = 44,5° ± 0,5°
Notar como el valor más probable y la incertidumbre
tienen la misma cantidad de decimales.


Medición directa
Una pesa se coloca sobre la balanza digital que se observa en la
figura, la balanza registra 19 g.

En este caso el instrumento tiene una sensibilidad de 1 g, se
observa 19 g lo siguiente que detectaría es 1 g más, además el
instrumento no permite aproximar una cifra a lo largo de esta
sensibilidad así que en este caso la incertidumbre asociada es
± 1 𝑔.


Medición directa
Instrumento Balanza
Cantidad física a medir Masa
Unidad de medida del instrumento g
Sensibilidad o mínima división 1g
Incertidumbre asociada 1g

La medida es:
M= 19 𝑔 ± 1 𝑔
Tiene dos cifras significativas
Una vez más notar como el valor más probable y la
incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales
(cero decimales).


Medición directa - Incertidumbre aleatoria

Supongamos que desea medir el tiempo que le toma a una
pequeña canica caer desde 7,00 m de altura. La medida se
realiza con un cronómetro con sensibilidad 0,01 s, pero cada
vez que se repite la medida, se obtiene un valor diferente, al
parecer hay una incertidumbre aleatoria asociada con la
medida. Los valores obtenidos son:

Altura (m) / ∆𝐡 = ±𝟎, 𝟎𝟓 𝒎 Tiempo (s) / ∆𝒕 = ±𝟎, 𝟎𝟏 𝒔
7,00 1,51 1,32 1,43 1,54 1,39



El tiempo más representativo o más probable es el promedio.

𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,44 𝑠

Para un número de repeticiones pequeño, en este caso son 5, la
incertidumbre absoluta se determina según:

𝑡 𝑚𝑎𝑥 − 𝑡 𝑚𝑖𝑛
∆𝑡 =
2

1,54 𝑠 − 1,32 𝑠
∆𝑡 = = 0,11 𝑠
2



Así, el tiempo que le toma a la canica caer los 7,00 m es:

𝑡 = 1,44 𝑠 ± 0,11 𝑠

Dada la simplicidad de esta determinación, se usa una sola cifra
significativa para expresar la incertidumbre.

𝑡 = 1,4 𝑠 ± 0,1 𝑠

Nuevamente notar que el valor más probable y su incertidumbre
tiene el mismo número de decimales.


Medición indirecta
OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones
solamente deben tener números significativos.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Para que el resultado de la adición sólo presente cifras
significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor
número de cifras decimales.
Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la
primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la
adición tendrá el menor número de decimales.
Así, la suma será:
12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm


Medición indirecta

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Verifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifras
significativas y, en el resultado, se conservará solamente un
número de cifras igual al de dicho factor.

Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: una
con tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberás
escribirlo entonces con dos cifras significativas.
11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2

Medición indirecta
3 C.S. 3 C.S.

a) 12,5 m 7,97 m  99,625 m 2

3 C.S.

 99,6 m 2

 
2 C.S. 2 C.S.

b) 2,5 m  2,0 m  5 m
2 3

2 C.S.

 5,0 m 2

Medición indirecta
2 C.S. 2 C.S.

c) 2,8 N  4,5 m  12,6 Nm
2 C.S.

 13 Nm
4 C.S.

120,0 m m
d)  8
15,0 s s
3 C.S. 3 C.S.
m
 8,00
s

Medición indirecta

 m
2 C.S. 4 C.S.

e)  2,8    4000 s   11200 m
 s 2 C.S.

1,110 m4

3 C.S.

1, 20 kN
d)  0,089 442719 m
150 kPa
3 C.S. 3 C.S.

 8,94 102 m

Medición indirecta

14,8 m  3,847076812 m
4 2
 3,85m 2

3 C.S. 3 C.S.

10,00 s  3,16227766 s  3,162 s
2

4 C.S. 4 C.S.

10,0 m  3,16227766 m  3,16 m
2

3 C.S. 3 C.S.


Medición indirecta
2
m m m
10 2  3,16227766  3,2
2 C.S.
s s s
2 C.S.

sen(25,4)  0,428935133  0,429
3 C.S. 3 C.S.

2 C.S.
2 C.S.
(0, 25 m) 2
2
 0, 049087385 m  4,9 10 m
2 2

4

Medición indirecta – propagación de la incertidumbre

Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con
incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se
combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este
proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si
operamos con dos cantidades medidas (suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la
incertidumbre se propaga y el resultado termina con una
incertidumbre que depende de las incertidumbres de las
cantidades operadas.



1. Cuando dos cantidades físicas se suman o se restan sus
incertidumbres absolutas se suman.

𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎
𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏

𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏

𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏



2. Cuando dos cantidades físicas se multiplican o dividen sus
incertidumbres relativas porcentuales se suman.

∆𝑎
𝐴= 𝑎± ∙ 100%
𝑎

∆𝑏
𝐵= 𝑏± ∙ 100%
𝑏

∆𝑎 ∆𝑏
𝐴∙ 𝐵 = 𝑎∙ 𝑏 ± + ∙ 100%
𝑎 𝑏

𝐴 𝑎 ∆𝑎 ∆𝑏
= ± + ∙ 100%
𝐵 𝑏 𝑎 𝑏



2. Cuando una cantidad físicas se eleva a un exponente, su error
relativo porcentual se multiplica por el exponente.

∆𝑎
𝐴= 𝑎± ∙ 100%
𝑎

𝑛 𝑛
∆𝑎 ∆𝑏
𝐴 = 𝑎 ± 𝑛 + ∙ 100%
𝑎 𝑏



Se mide la base y la altura de un rectángulo:
b = 28,45 cm  0,05 cm
h = 5,35 cm  0,05 cm
Determine el área de este rectángulo.

Solución:

Área = largo x Ancho

A = (28,45 cm  0,05 cm) x (5,35 cm  0,05 cm)

Á = 28,45 cm×5,35 cm  28,45 cm×0,05 cm  0,05 cm×5,35 cm
 0,05 cm×0,05 cm



A = 152,2075 cm2  1,4225 cm2  0,2675 cm2  0,0025 cm2

Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra
tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación
debería escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman.

A = 152 cm2  1,6925 cm2

Finalmente la incertidumbre debe tener solo una cifra significativa,
por lo tanto:

A = 152 cm2  2 cm2



Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de
propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al
mismo resultado mucho más rápido.

0,05 0,05
𝐴 = 𝑏 × ℎ = 28,45 𝑐𝑚 × 5,35 𝑐𝑚 ± + ∙ 100%
28,45 𝑐𝑚 5,35 𝑐𝑚

A = 152,2075 cm2  1,1 %

A = 152,2075 cm2  1,69 cm2

La incertidumbre de la respuesta debe tener solo una cifra, así que:

A = 152 cm2  2 cm2



Dados las siguientes cantidades medidas:

A = 9,25 s  0,01 s
B = 5,50 s  0,01 s

Calcule las siguientes operaciones:

 A+B
 A–B
 A×B
 AB
 A3


 A + B = (9,25 s + 5,50 s)  (0,01 s + 0,01 s) = 14,75 s  0,02 s

 A – B = (9,25 s - 5,50 s)  (0,01 s + 0,01 s) = 3,75 s  0,02 s

0,01 0,01
 A×B = (9,25 s × 5,50 s)  ( + ) ∙ 100%
9,25 5,50

A×B = 50,875 s2  0,290% = 50,875 s2  0,1475 s2

A×B = 50, 9 s2  0,1 s2



0,01 0,01
 A  B = (9,25 s  5,50 s)  ( + ) ∙ 100%
9,25 5,50

A  B = 1,681818  0,290% = 1,681818  0,004876

A  B = 1,682  0,005

En este caso se ha agregado una cifra significativa ya que la
incertidumbre no puede ser cero.
0,01
 A3 = (9,25 s)3 3 ( ) ∙ 100%
9,25

A3 = 791,453125 s3  2,566875 s3

A3 = 791 s3  3 s3

Bibliografía
 Este material tiene fines enteramente educativos
 Las imágenes de las diapositivas 1, 5, 6, 11, 12, 13, 16, 17, 18,
19 y 21 son tomadas de Internet.
 Las reglas en las figuras de las páginas 11, 12, 13, 16 y 17 han
sido dibujadas por mi.
 La imagen de las diapositivas 7 es mi dibujo.
 Física re-creativa (Experimentos de física usando nuevas
tecnologías) de Salvador Gil/Eduardo Rodríguez
 El método científico aplicado a las ciencias experimentales de
Héctor G. Riveros y Lucia Rosas.
 Física Universitaria de Sears Zemansky


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