El documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos notables. Explica que ciertos triángulos rectángulos tienen proporciones conocidas entre sus lados dependiendo de las medidas de sus ángulos agudos. Luego, muestra los triángulos notables de 45°, 30°-60° y algunos aproximados como 37°-53°. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos.

1. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES
Son aquellos triángulos rectángulos donde b) Triángulo de 16º y 74º
conociendo las medidas de sus ángulos
agudos, se puede saber la proporción
existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
1. Triángulo Notable de 45º
k
c) Triángulo de 8º y 82º
45º
k k
5 2k 82º
k
45º
k
8º
7k
2. Triángulo Notable de 30º y 60º
Ejercicios Resueltos
30º
30º 30º 2k
2k 2k 3 k
1. Calcular: E = Sen230º + Tg37º
60º 60º 60º
Solución:
k k k
Reemplazando valores:
2
 1 3 1 3
E

     E 1
 2
 4 4 4
3. Triángulo Notables Aproximados
sen 2 45º  cos60º
2. Evaluar: E 
a) Triángulo de 37º y 53º csc30º
Solución:
Reemplazando:
2
 
 2  1
   2 1
 2  2 
  4 2 1 1
  E=
2 2 2 2
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2. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria
07. Determine el valor de “m” para que “x” sea
m1
30º. cos2x 
Práctica dirigida Nº 01 m1
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
01. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º
 9θ 
a) 1 b) 2 c) 1/4 Sen3θ . Cos6θ . Csc 


 2 

d) 3/4 e) 4/3 08. Sea: F  θ  
 9θ 
Tg3θ . Sec6θ  Cot 


 2 

02. Calcular Para evaluar:  = 10º
 . sen 30º 3 . tg 60º
F  a) 13 b) 6 /8 c) 15
10 . cos 37 º 2 . sec 45º
a) 1 b) 1/2 c) -1/3 d) 15 / 7 e) 17
d) 2 e) 2/3
09. Del gráfico hallar: ctg
03. Calcular:
E  6tg30º sec 45º 3 sec 53º a) 1,6
a) 3 b) 5 c) 7 b) 1,7 45º
d) 9 e) 11 c) 0,4 x+3
d) 0,6

e) 1,4
2x + 1 5x - 3
04. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4 10. Del gráfico, hallar Ctg 
4
a)
5
05. Resolver: 7
b)
4
5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º 5
2
c)
5
a) 1 b) 2 c) 3 53º 
7
d) 1/2 e) 1/4 d) 10
5
e) 1
senx
06. Indicar el valor de “x” en: 11. Del gráfico calcular: E 
seny
tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º
4 2
a)
5
a) 15º b) 20º c) 25º x y
4
d) 30º e) 35º b)
5
2
c) 53º 45º
5
d) 4 2
e) 1
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3. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria
6. Hallar “x”.
Tarea Nº 01 Siendo: Csc x 45º
1
Csc30º
1. Calcular:
E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º a) –1 b) –2 c) 1
d) 2 e) 3
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
7. Determine tg  en el gráfico.
2. Calcular: “x” a) 3
3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)
csc30º
3
b)
3
30º
a) 1 b) 2 c) 3 3
c)
2
d) 4 e) 5
3
d)
6
sec60º 3 3 
3. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º) e)
2
a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12
d) 49/24 e) 7/18 8. De la figura calcular a/b
a) 1
b) 2 53º
4. Calcular: a-b
c) 5
Tg30º  Sec60º  Sen37º  Cos30º
E d) 7
Sen 2 45º e) 8 a+b
3 11 3 3 3
a) b) c)
5 5 5
5 3 2 3 y
d) e) 9. Del gráfico hallar
3 5 x
5. Calcular: a) 1

45º b) 2
tg
2 c) 3
a) 2 b) 2 1 c) 2 1 d) 4
 37º
d) 1  2 e) 2 2 e) 6 x y y
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4. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
1. Razones Trigonométricas Recíprocas
Ejercicios Resueltos
Para un mismo ángulo, siempre se cumple:
1. Resolver el menor valor positivo de “x”
Sen . Csc = 1 verifique:
Sen5x = Cosx
Cos . Sec = 1 Solución:
Tg . Ctg = 1 Dada la ecuación: Sen5x = Cosx
Luego los ángulos deben sumar 90º,
entonces:
Ejemplos: 5x + x = 90º
6x = 90º
 Sen 10º . Csc10º = 1
 Tg A . Ctg A = 1 .x = 15º.
 Cos(x+y).Sec(x+y) = 1
 Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1
2. Resolver “x” el menor positivo que verifique:
Sen3x – Cosy = 0
Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0
2. Razones trigonométricas de Ángulos Solución:
Complementarios
Nótese que el sistema planteado es
equivalente a:
Si:  y  son dos ángulos complementarios,
siempre se cumple que:  Sen3x = Cosy  3x + y = 90º (R.T.
complementarios)
 Tg2y . Ctg30º = 1  2y = 30º

c (R.T. recíprocas)
sen = cos
a .y = 15º.
tg = ctg
sec = csc  Reemplazando en la primera igualdad:
3x + 15º = 90º
b
3x = 75º
Es decir:  +  = 90º .x = 25º.
3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0,
Ejemplos: Tg7x
calcular: P 
Ctg6x
 Sen20º = Cos 70º
 Tg 50º = Ctg 40º Solución:
 Sec 80º = Csc10º
Del Dato: Sen 9x = Cos 4x
9x + 4 x = 9 0 º
13x = 9 0º
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5. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria
Pero: 7x + 6 x = 13x
7x + 6 x = 90º sen10º 2tg20º 3sec40º
7. Calcular: E   
Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x) cos80º ctg70º csc50º
Tg7x a) 1 b) 2 c) 0
Luego: 1 d) -1 e) -2
Ctg6x
 P=1 8. Si: Sec7x = Csc4x
2Senx Tg3x
Calcular: E  
Cos10x Ctg8x
Práctica Dirigida Nº 02
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
1. Poner V o F según convenga:
9. Calcular: cos(x + y)
a) sen20º = cos70º ( )
Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1
b) tg10º . ctg10º = 1 ( )
Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)
c) sec(x + 40º) = csc(50º - x) ( )
2 1
d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( ) a) 2 b) c)
2 2
e) tg20º = ctg20º ( )
3 3
d) e)
5 2
2. Señale el valor de “x”
Si: Sen2x . Csc40º = 1
10. Simplificar:
a) 10º b) 5º c) 15º Tg10º  Tg20º  Tg30º ........ Tg80º
E
d) 20º e) 40º Ctg10º  Ctg20º  Ctg30º ........ Ctg80º
3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1 1 1
a) 1 b) c)
Calcular: Cos3x 2 3
3 2
1 2 d) e)
a) 1 b) c) 2 2
2 2
2
d) 3 e)
3
11. Determine “x” :
tg 1 5º
4. Hallar “x” sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º +
Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1 ctg 75º
a) 12º b) 24º c) 36º a) 17º b) 20º c) 28º
d) 48º e) 8º d) 30º e) 34º
5. Determine “x” en:
Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1
a) 5º b) 8º c) 10º
d) 15º e) 20º
6. Calcular:
E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º)
a) 5 b) 14 c) 10
d) 12 e) 8
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6. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria
Tarea Nº 02 7. Si: Sen3x = Cos14x
Calcular:
1. Señale el valor de “x” 2 sec x
E  tg5x tg12x 
Si: Sen3x . Csc54º = 1 csc 16x
a) 10º b) 12º c) 14º a) 1 b) 2 c) 3
d) 16º e) 18º d) 4 e) 5
2. Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40º) = 1
8. Si: Sec(4x – 10º) = Csc(40º - x)
Calcular: cos3x
3x
1 2 Calcular: E  tg2 3x  csc
a) 1 b) c) 2
2 2
3 4 a) 3 b) 4 c) 5
d) e)
5 5 d) 6 e) 7
3. Señale el valor de “x” 9. Determine el valor de “x” en :
Si: Cos(2x – 10º) . Sec(x + 30º) = 1 Tg(x – 10º) = Tg1º Tg2º Tg3º ……. Tg89º
a) 10º b) 20º c) 30º a) 30º b) 45º c) 55º
d) 40º e) 50º d) 65º e) 75º
10. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º)
4. Si: Sen(3x – 10º) . Csc(x + 10º) = 1 Calcular:
Calcular: xy xy
E = Sec6x . Tg8x . Tgx Sen( )  Cos( )
4 2
a) 1 b) 2 c) 3 Cos(x  y  85º)  Sen(x  y  120º)
3 2 3
d) e) a) 1/2 b) 2 c) -1
2 3
d) 0 e) 1
5. Calcular:
11. Calcular :
E = (4Sen2º + 3Cos88º) Csc2º
 3
sen(  x) tg(  x)
E 5  8
a) 14 b) 13 c) 11 3 
d) 9 e) 7 cos(  x) ctg(  x)
10 8
6. Simplificar: a) 2 b) 3 c) 1
2sen10º 3tg30º 5 sec 20º
E   d) 0 e) 1/2
cos80º ctg60º csc 70º
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz