Este documento explica cómo calcular la divergencia de un campo vectorial en diferentes sistemas de coordenadas. Presenta las fórmulas para calcular la divergencia en coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas. Resume al final que la divergencia es la suma de las derivadas parciales de las componentes del campo vectorial dividido por el factor de escala de cada sistema de coordenadas.

1. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS
RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS:
Del teorema de la divergencia, se tiene:
r r r
∫
V
div( f ).dτ = ∫ f .dS
S
y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:
r ∂ r r ∂ r r ∂ r r
div( f ).dτ = ( f 1 .dS1 ).dq1 + ( f 2 .dS 2 ).dq 2 + ( f 3 .dS 3 ).dq 3
∂q1 ∂q 2 ∂q3
Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas:
En estas coordenadas es: dSq1 = dy.dz , dSq2 = dx.dz, dSq3 = dxdy
Y también es el elemento diferencial de volumen dτ = dx.dy.dz
Por tanto:
r ∂ ∂ ∂
div( f ).dτ = ( f 1 .dy.dz ).dx + ( f 2 .dxdz ).dy + ( f 3 .dxdy ).dz ⇒
∂x ∂y ∂z
r 1 ∂f 1 1 ∂f 2 1 ∂f 3
⇒ div( f ) = .dy.dz.dx + .dy.dz.dx + .dy.dz.dx =
dx.dy.dz ∂x1 dx.dy.dz ∂x 2 dx.dy.dz ∂x3
∂f1 ∂f 2 ∂f 3
= + +
∂x1 ∂x 2 ∂x3
r ∂f ∂f ∂f
div( f ) = 1 + 2 + 3
∂x1 ∂x 2 ∂x3
Expresión en coordenadas esféricas:
En estas coordenadas es:
dSq1 = ρ 2 .senθ .dθ .dφ , dSq2 = ρ.senθ .dρ.dφ , dSq3 = ρ.dρ.dθ
Y también es dτ = ρ 2 .senθ .dρ.dθ .dφ
Por tanto:
Octubre 2004, Para casanchi.com

2. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
r ∂ ∂ ∂
div( f ).dτ = ( f1 .dS ρ ).dρ + ( f 2 .dSθ ).dθ + ( f 3 .dSφ ).dφ ⇒
∂ρ ∂θ ∂φ
r 1 ∂ ( f1 .ρ 2 .senθ .dθ .dφ )
⇒ div( f ) = 2 .dρ +
ρ .senθ .dρ .dθdφ ∂ρ
1 ∂ ( f 2 .ρ .senθ .dρ .dφ )
+ 2 .dθ +
ρ .senθ .dρ .dθ .dφ ∂θ
1 ∂ ( f 3 .ρ .dρ .dθ )
+ 2 .dφ
ρ .senθ .dρ .dθ .dφ ∂φ
O sea:
r 1 ∂ ( f 1 .ρ 2 ) 1 ∂ ( f 2 .senθ .) 1 ∂( f 3 )
div( f ) = 2 + +
ρ ∂ρ ρ .senθ . ∂θ ρ .senθ ∂φ
Expresión en coordenadas cilíndricas:
En estas coordenadas es:
dSq1 = ρ.dφ.dh dSq2 = dρ.dh dSq3 = ρ.dρ.dφ
Y también es dτ = ρ.dρ.dφ.dh
Por tanto:
r ∂ ∂ ∂
div( f ).dτ = ( f1 .dS ρ ).dρ + ( f 2 .dS φ ).dφ + ( f 3 .dS h ).dh ⇒
∂ρ ∂φ ∂h
r 1 ∂ ( f 1 ρ .dφ .dh)
⇒ div( f ) = .dρ +
ρ .dρ .dφ .dh ∂ρ
1 ∂ ( f 2 .dρ .dh)
+ .dφ +
ρ .dρ .dφ .dh ∂φ
1 ∂ ( f 3 .ρ .dρ .dφ )
+ .dh
ρ ..dρ ..dφ .dh ∂h
Finalmente:
r 1 ∂ ( f1 ρ ) 1 ∂ ( f 2 ) ∂ ( f 3 )
div( f ) = + +
ρ . ∂ρ ρ ∂φ ∂h
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3. LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ
En resumen:
r r ∂f ∂f ∂f
En cartesianas: ∇. f = 1 + 2 + 3
∂x1 ∂x 2 ∂x3
r r 1 ∂ ( f 1 .ρ 2 ) 1 ∂ ( f 2 .senθ .) 1 ∂( f 3 )
En esféricas: ∇. f = 2 + +
ρ ∂ρ ρ .senθ . ∂θ ρ .senθ ∂φ
r r 1 ∂( f1 ρ ) 1 ∂( f 2 ) ∂( f 3 )
En cilíndricas: ∇. f = + +
ρ . ∂ρ ρ ∂φ ∂h
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