Este documento presenta conceptos clave sobre sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes y ecuaciones de segundo grado. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales y determinar si tienen una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. También describe cómo calcular determinantes y las propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo grado como su naturaleza, suma y producto.

1. Sistema de ecuaciones lineales
• Matriz.- arreglo rectangular de numeros.
dispuestos en filas y columnas.
• 𝐴 =
10 −1 3
15 2 1
filas
• columnas orden de la matriz

2. Igualdad de matrices
• del mismo orden:
𝑀 =
𝑚1
𝑁 =
𝑛1
• Seran iguales si sus elementos
correspondientes son iguales.
𝒎 𝟏 = 𝒏 𝟏 𝒎 𝟐 = 𝒏 𝟐 =
= = =

3. determinante
• Notacion:
• 𝐴 ; 𝐷 𝐴 ; 𝐷𝑒𝑡(𝐴)
• Desarrollo de un determinante de orden 2.
• 𝐴 =
3 5
4 7
→ 𝐴 = 3.7 − 4.5 =

4. • Desarrollo de una determinante de orden 3
• ejemplo: calcula el determinante de:
• 𝐴 =
−7 3 −1
1 0 6
2 4 3
cuadro de signos
+ − +
− + −
+ − +
• Tomando como referencia la segunda columna:
•
−7 3 −1
1 0 6
2 4 3
= 3
1 6
2 3
+ 0
−7 −1
2 3
+ 4
−7 −1
1 6

5. Sistema de ecuaciones lineales
• Se verifican ciertos valores para sus incognitas
en forma simultanea para un conjunto de de
ecuaciones.
• Representacion:
• 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
• 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 = 𝑐2
• Donde: 𝑎1; 𝑏1; 𝑐1 𝑦 𝑎2; 𝑏2; 𝑐2 ∈ 𝑅

6. • Interpretacion geometrica
• A) sistema compatible (consistente)
• -existe solucion
• - las rectas se cortan
• - unica solucion
• - ecuaciones independientes
•
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2

7. • Ejemplo:
• Resuelve:
• 𝑥 + 𝑦 = 6
• 𝑥 − 𝑦 = 2

8. • B.- sistema compatible indeterminado.
• -mas de una solucion
• - infinitas soluciones representadas por los
puntos de la recta
• - ecuaciones dependientes
•
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2

9. • Ejemplo:
• 𝑥 − 𝑦 = 5
• 7𝑥 − 7𝑦 = 35

10. Ecuaciones de 2° grado
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ; 𝑎 ≠ 0
𝑎: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑎𝑥2
: 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜
𝑏𝑥: 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝑐: 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

11. Ecuación incompleta
I.- a𝑥2
+ 𝑐 = 0
3𝑥2
− 147 = 0

12. II.- a𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 0
15𝑥2
+ 35𝑥 = 0

13. Ecuación completa
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + c = 0
I.- aspa simple
𝑥2
2
+
𝑥
6
=
1
5
+
3𝑥
5

14. II.- formula general (Carnot)
Sea: 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + c = 0
Entonces:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo:
5𝑥2
= 1 + 4𝑥

15. Propiedades de las raíces:
Sea: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + c = 0
Discriminante:
∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐
∆= 0 → 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠
∆> 0 → 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
∆< 0 → 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠.
Suma de raíces Producto de raíces
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎

16. Pagina 75
3.- 4𝑥2
+ 8𝑥 + 1 = 0

17. 4.- la naturaleza de las raíces
2𝑥2
− 5𝑥 − 1 = 0

18. 5.- una raiz de :
𝑥2
+ 7𝑥 + 8 = 0

19. 6.- valor de K para que :
2𝑥2
+ 7𝑥 + 8 = 0
Tenga soluciones reales.

20. 7.- la menor raiz
3𝑥2
+ 23𝑥 − 8 = 0

21. 8.- mayor raíz de :
4𝑥2
+ 3𝑥 − 1 = 0