1. Divisibilidad
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sean m, n, a = 1 enteros positivos. Demu´strese que
e
M CD(am − 1, an − 1) = aM CD(m,n) − 1
Soluci´n
o
1. Supongamos d = M CD(m, n), luego por definici´n existen s, t ∈ N tales
o
que
sd = m, td = n
Entonces am − 1 = (ad )s − 1 es divisible por ad − 1 y de manera semejante,
an − 1 es divisible por ad − 1.(Luego ser´ un divisor com´n)
ıa u
⇒ (ad − 1)/M CD(am − 1, an − 1).
Ahora bien, existen enteros x, y con mx + ny = d.
N´tese que x, y habr´n de tener signos opuestos (no pueden ser ambos
o a
negativos, ya que d ser´ entonces negativo. Si ambos fuesen positivos
ıa
entonces d ≥ m + n, lo que contradice al hecho que d ≤ m, d ≤ n).
Supongamos, sin p´rdida de generalidad, que x > 0, y ≤ 0.
e
Hagamos t = M CD(am − 1, an − 1), por definici´n se verifica
o
t/(am − 1) ⇒ t/(amx − 1)
An´logamente
a t/(an(−y) − 1) pues (−y ≥ 0) pero
((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = amx − ad−ny + ad − 1
((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = amx − amx + ad − 1
((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = ad − 1
Luego
t/((amx − 1) − ad (a−ny − 1)) = t/ad − 1
⇒ M CD(am − 1, an − 1)/ad − 1
∴ M CD(am − 1, an − 1) = ad − 1.
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